8.2.4三角恒等變換的應(yīng)用(二)類型一利用積化和差、和差化積公式化簡求值、證明角度1利用積化和差、和差化積公式化簡求值【典例】1.在△ABC中,若sinAsinB=cos2,則△ABC是(

)

A.等邊三角形 B.等腰三角形C.不等邊三角形 D.直角三角形2.=________.

【思維·引】利用積化和差與和差化積公式化簡、求值.【解析】1.選B.由已知得,[cos(A-B)-cos(A+B)]=(1+cosC),又A+B=π-C,所以cos(A-B)-cos(π-C)=1+cosC,所以cos(A-B)=1,又-π<A-B<π,所以A-B=0,所以A=B,故三角形為等腰三角形.2.原式=答案:

【素養(yǎng)·探】本題考查三角函數(shù)式的化簡求值問題,同時(shí)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).若把本例2改為:sin20°cos70°+sin10°sin50°,試求值.【解析】原式=(sin90°-sin50°)+(cos40°-cos60°)=-sin50°+cos40°-=.角度2利用積化和差、和差化積公式證明恒等式【典例】在△ABC中,求證:sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC.【思維·引】利用和差化積公式變形,直至兩邊相等.【證明】左邊=sin2A+sin2B+sin2C=2sincos+sin2C=2sin(A+B)cos(A-B)-2sin(A+B)·cos(A+B)=2sinC[cos(A-B)-cos(A+B)]=2sinC·(-2)sin=4sinAsinBsinC=右邊.所以原等式成立.【類題·通】(1)套用和差化積公式的關(guān)鍵是記準(zhǔn)、記牢公式,為了能夠把三角函數(shù)式化為積的形式,有時(shí)需要把常數(shù)首先化為某個(gè)角的三角函數(shù),然后再化積,有時(shí)函數(shù)不同名,要先化為同名再化積,化積的結(jié)果能求值則盡量求出值來.(2)在運(yùn)用積化和差求值時(shí),盡量出現(xiàn)特殊角,同時(shí)注意互余角、互補(bǔ)角的三角函數(shù)間的關(guān)系.【習(xí)練·破】(1)求值:cos20°+cos60°+cos100°+cos140°.(2)已知A+B+C=π,求證:sinA+sinB-sinC=【解析】(1)原式=cos20°++(cos100°+cos140°)=cos20°++2cos120°cos20°=cos20°+-cos20°=.(2)因?yàn)樽筮?sin(B+C)+2sin=2sin=2cos=2cos=右邊.所以原等式成立.類型二利用積化和差、和差化積公式解決三角函數(shù)性質(zhì)問題【典例】已知f(x)=-,x∈(0,π).(1)將f(x)表示成cosx的多項(xiàng)式.(2)求f(x)的最小值.【思維·引】(1)利用積化和差、和差化積公式逐步化簡,直至將f(x)表示成cosx的多項(xiàng)式.(2)根據(jù)化簡結(jié)果靈活選擇求最值的方法.【解析】(1)f(x)==cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1.(2)因?yàn)閒(x)=2(cosx+)2-,且-1<cosx<1.所以當(dāng)cosx=-時(shí),f(x)取最小值-.【類題·通】(1)利用積化和差、和差化積公式,一定要清楚這些公式的形式特征,理解公式間的關(guān)系.(2)求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到的類型:①形如y=asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+c或y=Acos(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);②形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函數(shù),可先設(shè)sinx=t或cosx=t,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).【習(xí)練·破】1.函數(shù)f(x)=sin的周期是 (

)

A.

B.π

C.2π

D.4π【解析】選A.因?yàn)閒(x)=所以T=.2.函數(shù)y=cos的最大值是________.

【解析】y=cos

所以ymax=.答案:

類型三三角恒等變換中角的變換問題【典例】1.求值:sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)=________.

2.求值:=________.

3.已知tan(α+β)=λtan(α-β),其中λ≠1,求證:. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【思維·引】1.尋找角之間的關(guān)系,可令α=θ+15°,則原式可轉(zhuǎn)換為sin(α+60°)+cos(α+30°)-cosα.2.看到正切,想到將正切轉(zhuǎn)化為正、余弦.3.因?yàn)?α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),把“未知”角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)“已知”角的代數(shù)和,然后求解.【解析】1.令α=θ+15°,則原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-cosα=sinα+cosα+cosα-sinα-cosα=0.答案:0

答案:-【內(nèi)化·悟】1.當(dāng)求式中既含有正弦、余弦,又含有正切時(shí),我們通常怎樣解決?提示:利用同角的基本三角函數(shù)關(guān)系式tanα=將正切化為正弦和余弦,即“切化弦”,旨在減少三角函數(shù)名稱,轉(zhuǎn)化為正弦、余弦的恒等變換.2.當(dāng)已知角與未知角不同時(shí),我們通常如何處理?提示:通過角的變換(拆并角)找到已知角與未知角之間的聯(lián)系,使公式順利運(yùn)用.【類題·通】角的三種變換(1)常見的配角變換.α=2·,α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=[(α+β)+(α-β)],β=[(α+β)-(α-β)],(2)輔助角變換.asinx+bcosx=sin(x+φ),其中tanφ=(3)注意常值的代換.用某些三角函數(shù)值代替某些常數(shù),使之代換后能用相關(guān)公式,如1=sin2α+cos2α,1=sin90°,=sin30°,=cos30°等.【習(xí)練·破】1.=________.

【解析】原式=

答案:42.已知sinα=4sin(α+β),α+β≠kπ+,k∈Z,求證:tan(α+β)=【證明】因?yàn)閟inα=4sin(α+β),所以sin[(α+β)-β]=4sin(α+β),所以sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=4sin(α+β).所以(cosβ-4)sin(α+β)=sinβcos(α+β),因?yàn)棣?β≠kπ+,k∈Z,【加練·固】

-tan20°= (

)【解析】選C.原式=類型四三角恒等變換在實(shí)際問題中的應(yīng)用實(shí)際問題情境如圖,某工匠要將一塊圓心角為120°,半徑為20cm的扇形鐵片裁成一塊面積最大的矩形,現(xiàn)有兩種裁法:①讓矩形一邊在扇形的一半徑OA上(如圖①),②讓矩形一邊與弦AB平行(如圖②),請問該工匠應(yīng)采用哪種裁法?并求出這個(gè)矩形面積的最大值.轉(zhuǎn)化模板1.—由題意可建立三角函數(shù)模型求解.2.—如題干圖①設(shè)∠MON=θ,如題干圖②設(shè)∠MON=α.3.—在題干圖①中,求出矩形面積S1的最大值,在題干圖②中,求出矩形面積S2的最大值,比較大小即可.4.—在題干圖①中,MN=20sinθ,ON=20cosθ,所以S1=ON·NM=400sinθcosθ=200sin2θ,所以當(dāng)sin2θ=1,即θ=45°時(shí),(S1)max=200cm2.在題干圖②中,MQ=40sin(60°-α),MN=sinα