河南省商丘市程樓鄉聯合中學高三數學理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：B【考點】二倍角的余弦；直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關系．【分析】根據直線的斜率等于傾斜角的正切值，由已知直線的斜率得到tanθ的值，然后根據同角三角函數間的基本關系求出cosθ的平方，然后根據二倍角的余弦函數公式把所求的式子化簡后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根據題意可知：tanθ=2，所以cos2θ===，則cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．故選：B．2.關于x的不等式ax-b>0的解集為(1,+∞)，則關于x的不等式的解集（

） A．(-1,2) B．(-∞,-1)∪(2,+∞)C．(1,2) D．(-∞,-2)∪(1,+∞)參考答案：B略3.函數的圖像因酷似漢字的“囧”字，而被稱為“囧函數”。則方程的實數根的個數為（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C4.設向量，均為單位向量且互相垂直，則（+2）?（+）等于（）A．2 B．0 C．1 D．﹣1參考答案：D【考點】平面向量數量積的運算．【專題】平面向量及應用．【分析】根據平面向量的運算性質計算即可．【解答】解：因為，所以，故選：D．【點評】本題考查了平面向量的運算性質，是一道基礎題．5.函數的零點所在的區間是（

）A．（0，1）

B．(1，2）

C．（2，3）

D．（3，10）參考答案：C6.已知向量，，若∥，則實數的取值為（

）（A） （B） （C） （D）參考答案：A7.已知△ABC，點M是邊BC的中點，若點O滿足，則（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】由向量的中點表示和加減運算、以及向量的共線定理，即可得到結論．【詳解】點M是邊BC的中點，可得2，，可得2（）4，即2（）+12，可得6，即∥，故選：D．【點睛】本題考查向量的中點表示，以及向量的加減運算和向量共線定理的運用，考查化簡運算能力，屬于基礎題．8.已知=2+i，則復數z的共軛復數為（）A．3+i B．3﹣i C．﹣3﹣i D．﹣3+i參考答案：A【考點】A5：復數代數形式的乘除運算；A2：復數的基本概念．【分析】先由已知，得出z=（1﹣i）（2+i），化為代數形式后，求其共軛復數．【解答】解：由已知，z=（1﹣i）（2+i）=3﹣i，其共軛復數為3+i．故選A．【點評】本題考查復數代數形式的基本運算運算，復數的共軛復數的概念．屬于基礎題．9.三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=AB，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，則BM與AN所成角的余弦值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】異面直線及其所成的角．【分析】如圖所示，取AC的中點D，A1C1的中點D1，建立空間直角坐標系．利用=，即可得出．【解答】解：如圖所示，取AC的中點D，A1C1的中點D1，建立空間直角坐標系．不妨設AC=2．則A（0，﹣1，0），M（0，0，2），B（﹣，0，0），N．=（0，1，2），=．∴===．故選：C．10.給定函數①，②，③，④，其中在區間上單調遞減的函數序號是A.①② B.②③ C.②④ D.③④參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…由以上等式推測到一個一般的結論，對于n∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝

.參考答案：(－1)n＋112.(幾何證明選講選做題)如圖4所示，圓的直徑AB=6，為圓周上一點，．過作圓的切線，過A作的垂線AD，垂足為D，則∠DAC=

．參考答案：答案：30解析：由RtACB的各邊的長度關系知∠CAB=30,而弦切角

=∠CAB=30。那么在RtADC中∠ACD=60，故∠DAC=30。

13.設函數在定義域恒有，當時，，則=

．參考答案：14.已知a，b，c為△ABC的內角A，B，C所對的邊，且A=30°，a=1，D為BC的中點，則AD的最大值為．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【分析】利用向量平行四邊形法則、余弦定理、基本不等式的性質即可得出．【解答】解：，，即=根據余弦定理知，又a=1，得，故，由得，；．故答案為：．15.某工廠為了對新研發的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據：單價x（元）88.28.48.68.89銷量y（件）908483807568由表中數據，求得線性回歸方程為=﹣20x+．若在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線左下方的概率為．參考答案：【考點】線性回歸方程．【專題】應用題；壓軸題；概率與統計．【分析】根據已知中數據點坐標，我們易求出這些數據的數據中心點坐標，進而求出回歸直線方程，判斷各個數據點與回歸直線的位置關系后，求出所有基本事件的個數及滿足條件兩點恰好在回歸直線下方的基本事件個數，代入古典概率公式，即可得到答案．【解答】解：==8.5，==80∵b=﹣20，a=﹣b，∴a=80+20×8.5=250∴回歸直線方程=﹣20x+250；數據（8，90），（8.2，84），（8.4，83），（8.6，80），（8.8，75），（9，68）．當x=8時，∵90=﹣20×8+250，∴點（2，20）在回歸直線下方；…如圖，6個點中有2個點在直線的下側．則其這些樣本點中任取1點，共有6種不同的取法，其中這兩點恰好在回歸直線兩側的共有2種不同的取法，故這點恰好在回歸直線下方的概率P==．故答案為：．【點評】本題考查的知識是等可能性事件的概率及線性回歸方程，求出回歸直線方程，判斷各數據點與回歸直線的位置關系，并求出基本事件的總數和滿足某個事件的基本事件個數是解答本題的關鍵．16.已知甲、乙、丙三人在3天中值班，每人值1天，那么甲在乙前面值班的概率為

．參考答案：17.給出右面的程序框圖，則輸出的結果為_________.參考答案：4略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.參考答案：（1）當時,,∴

當時,

,即

∴數列是以為首項,3為公比的等比數列,∴

，

設的公差為∴

………6分（2），

①②

由①②得，

………12分略19.如圖，在多邊形ABPCD中（圖1），ABCD為長方形，為正三角形，現以BC為折痕將折起，使點P在平面ABCD內的射影恰好在AD上（圖2）. （Ⅰ）證明：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）若點E在線段PB上，且，當點Q在線段AD上運動時，求三棱錐的體積.參考答案：（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）3【分析】（Ⅰ）利用點在平面內的射影恰好在上，過P作AD的垂線段PO，由此證得，再計算出，，從而證得，命題得證。（Ⅱ）求出點到底面的距離，利用計算，問題得解。【詳解】解：（Ⅰ）過點作，垂足.由于點在平面內的射影恰好在上，∴平面.∴.∵四邊形為矩形，∴.又，∴平面，∴又由，，可得，同理.又，∴，∴，且，∴平面.（Ⅱ）設點到底面的距離為，則.由，可知，∴.又，∴.【點睛】本題主要考查了面面垂直的性質、線面垂直的判定，考查了轉化思想，體積計算，考查計算能力，屬于基礎題。20.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且S3=9，a1，a3，a7成等比數列．（1）求數列{an}的通項公式；（2）若數列{an}的公差不為0，數列{bn}滿足bn=（an﹣1）2n，求數列{bn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數列的求和；數列遞推式．【分析】（1）根據條件利用等比數列的公式，求出公差，即可求數列{an}的通項公式；（2）求得數列{bn}的通項公式，采用乘以公比錯位相減法即可求得數列{bn}的前n項和Tn．【解答】解：（1）等差數列{an}公差為d，首項為a1，∵a1，a3，a7成等比數列．∴a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），化簡得d=a1，或d=0．當d=a1，S3=3a1+×a1=9，得a1=2，d=1．∴an=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即an=n+1，數列{an}的通項公式an=n+1；當d=0時，S3=3a1=9，a1=3，∴數列{an}的通項公式an=3；（2）若數列{an}的公差不為0，an=n+1，bn=（an﹣1）2n=（n+1﹣1）2n=n2n，∴bn=n?2n，數列{bn}的前n項和Tn，Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n，2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1，兩式相減：得﹣Tn=2+22+22+…+2n﹣n×2n+1，=2n+1﹣2﹣n×2n+1，∴Tn=（n﹣1）2n+1+2．數列{bn}的前n項和Tn，Tn=（n﹣1）2n+1+2．21.（本小題滿分12分）如圖，正三棱柱（底面為正三角形，側棱垂直于底面）中，是的中點，

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：∥平面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積.參考答案：（Ⅰ）證明：∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，

∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD

在正△ABC中，∵D是BC的中點，∴AD⊥BD，∴AD⊥平面BB1CC1,∵B1D平面BB1CC1,∴AD⊥B1D

…4分

（Ⅱ）解：連接A1B，設A1B∩AB1=E，連接DE.

∵AA1=AB

∴四邊形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中點，

又D是BC的中點，

∴DE∥A1C.…………7分

∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D.……9分

……12分22.（本小題滿分13分）已知點列(，)滿足，且與()中有且僅有一個成立．（Ⅰ）寫出滿足且的所有點列；（Ⅱ）證明：對于任意給定的（，），不存在點列，使得；（Ⅲ）當且（）時，求的最大值．參考答案：（Ⅰ）；或；或．（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）（Ⅱ）證明：由已知，得，

所以數列是公差為1的等差數列．

由，得（）．

………………3分

故．

…………