2022年重慶北碚區田家炳中學高二數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若使得方程

有實數解，則實數m的取值范圍為

參考答案：B2.用火柴棒按下圖的方法搭三角形：按圖示的規律搭下去，則所用的火柴棒數與所搭三角形的個數之間的關系式可以是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C3.從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，那么互斥而不對立的事件是() A．至少有一個紅球與都是紅球 B．至少有一個紅球與都是白球 C．至少有一個紅球與至少有一個白球 D．恰有一個紅球與恰有二個紅球參考答案：D4.已知過點P作曲線y＝x3的切線有且僅有兩條，則點P的坐標可能是A.（0，0）

B.（0，1）C.（1，1）

D.（－2，－1）參考答案：C5.如果為各項都大于零的等差數列，公差，則A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.觀察下式：1=1、2+3+4=3、3+4+5+6+7=5、4+5+6+7+8+9+10=7、…則第幾個式子是

(

)A.n+(n+1)+(n+2)+…+(2n－1)=nB.n+(n+1)+(n+2)+…+(2n－1)=(2n－1）C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n－2)=(2n－1）D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n－1)=(2n－1）參考答案：C略7..函數的圖象大致是（）A. B. C. D.參考答案：A【詳解】因為2、4是函數的零點，所以排除B、C；因為時，所以排除D,故選A8.設m，n是兩條不同的直線，是一個平面，則下列說法正確的是（

）A.若，，則

B．若，，則C．若，，則

D．若，，則參考答案：C對于A，若還可以相交或異面，故A是錯誤的；對于B.若，可以是平行的，故B是錯誤的；對于C.若則，顯然C是正確的；對于D.若則，顯然D是錯誤的.故選：C

9.某農場給某種農作物的施肥量x(單位：噸)與其產量y(單位：噸)的統計數據如表：施肥量x(噸)2345產量y(噸)26394954由于表中的數據，得到回歸直線方程為，當施肥量時，該農作物的預報產量是()A.72.0 B.67.7 C.65.5 D.63.6參考答案：C【分析】根據回歸直線方程過樣本的中心點，先求出中心點的坐標，然后求出的值，最后把代入回歸直線方程呆，可以求出該農作物的預報產量.【詳解】，因為回歸直線方程過樣本的中心點，所以有，因此，當時，，故本題選C.【點睛】本題考查了回歸直線方程的性質，考查了數學運算能力.10.已知點F是拋物線的焦點,是拋物線上的動點,當最小時,點坐標是

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線在點的切線方程為__________;參考答案：12.一個球的半徑為，放在墻角與兩個墻角及地面都相切，那么球心與墻角頂點的距離是．參考答案：13.在矩形ABCD中，對角線AC與相鄰兩邊所成的角為α，β，則有cos2α+cos2β=1．類比到空間中的一個正確命題是：在長方體ABCDA1B1C1D1中，對角線AC1與相鄰三個面所成的角為α，β，γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=

．參考答案：2【考點】類比推理；棱柱的結構特征．【分析】由類比規則，點類比線，線類比面，可得出在長方體ABCDA1B1C1D1中，對角線AC1與相鄰三個面所成的角為α，β，γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=2，解直角三角形證明其為真命題即可．【解答】解：我們將平面中的兩維性質，類比推斷到空間中的三維性質．由在長方形中，設一條對角線與其一頂點出發的兩條邊所成的角分別是α，β，則有cos2α+cos2β=1，我們根據長方體性質可以類比推斷出空間性質，∵長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，如圖對角線AC1與過A點的三個面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分別為α，β，γ，∴cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=，令同一頂點出發的三個棱的長分別為a，b，c，則有cos2α+cos2β+cos2γ===2故答案為：cos2α+cos2β+cos2γ=2．14.如圖，在開關電路中，開關開或關的概率都為，且是相互獨立的，則燈亮的概率是___________.參考答案：略15.直線與拋物線相交于兩點，則=_________．參考答案：16

略16.已知橢圓C：的左、右焦點分別、，過點的直線交橢圓C于兩點，若，且，則橢圓C的離心率是

▲

.參考答案：17.若直線(a＞0,b＞0)過點(1,1)，則a+b的最小值等于

參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.為調查高中生的數學成績與學生自主學習時間之間的相關關系.某重點高中數學教師對高三年級的50名學生進行了跟蹤調查，其中每周自主做數學題的時間不少于15小時的有22人，余下的人中，在高三年級模擬考試中數學平均成績不足120分鐘的占，統計成績后，得到如下的列聯表：

分數大于等于120分鐘分數不足120分合計周做題時間不少于15小時

422周做題時間不足15小時

合計

50（Ⅰ）請完成上面的列聯表，并判斷能否有99%以上的把握認為“高中生的數學成績與學生自主學習時間有關”；（Ⅱ）（ⅰ）按照分層抽樣，在上述樣本中，從分數大于等于120分和分數不足120分的兩組學生中抽取9名學生，設抽到的不足120分且周做題時間不足15小時的人數是，求的分布列（概率用組合數算式表示）；（ii）若將頻率視為概率，從全校大于等于120分的學生中隨機抽取人，求這些人中周做題時間不少于15小時的人數的期望和方差.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828參考答案：（Ⅰ）

分數大于等于120分鐘分數不足120分合計周做題時間不少于15小時18422周做題時間不足15小時121628合計302050∵∴有99%以上的把握認為“高中生的數學成績與學生自主學習時間有關”（Ⅱ）（ⅰ）由分層抽樣知大于等于120分的有3人，不足120分的有2人.的可能取值為0,1,2，，，，（ⅱ）設從全校大于等于120分鐘的學生中隨機抽取20人，這些人中周做題時間不到好于15小時的人數為隨機變量，由題意可知（25,0.6），故，.19.設a≥b＞0，分別用綜合法和分析法證明：3a3+2b3≥3a2b+2ab2．參考答案：【考點】R6：不等式的證明．【分析】綜合法：利用作差法分析符號，推出結果即可．分析法：利用分析法的證明步驟，找出不等式成立的充要條件即可．【解答】證明：綜合法：3a3+2b3﹣（3a2b+2ab2）=3a2（a﹣b）+2b2（b﹣a）=（3a2﹣2b2）（a﹣b）．因為a≥b＞0，所以a﹣b≥0，3a2﹣2b2＞0，從而（3a2﹣2b2）（a﹣b）≥0，所以3a3+2b3≥3a2b+2ab2．…（6分）分析法：要證3a3+2b3≥3a2b+2ab2，只需證3a2（a﹣b）﹣2b2（a﹣b）≥0，只需證（3a2﹣2b2）（a﹣b）≥0，∵a≥b＞0．∴a﹣b≥0，3a2﹣2b2＞2a2﹣2b2≥0，即：3a3+2b3≥3a2b+2ab2…（6分）【點評】本題考查不等式的證明，分析法以及綜合法的應用，考查邏輯推理能力．20.平面向量，若存在不同時為的實數和，使且，試確定函數的單調區間。參考答案：由得所以增區間為；減區間為

21.在某城市氣象部門的數據中，隨機抽取了100天的空氣質量指數的監測數據如表：空氣質量指數t（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]

質量等級優良輕微污染輕度污染中度污染嚴重污染天數K52322251510（1）在該城市各醫院每天收治上呼吸道病癥總人數y與當天的空氣質量t（t取整數）存在如下關系y=，且當t＞300時，y＞500估計在某一醫院收治此類病癥人數超過200人的概率；（2）若在（1）中，當t＞300時，y與t的關系擬合于曲線，現已取出了10對樣本數據（ti，yi）（i=1，2，3，…，10），且=42500，=500，求擬合曲線方程．（附：線性回歸方程=a+bx中，b=，a=﹣b）參考答案：【考點】BK：線性回歸方程．【分析】（1）令y＞200解出t的取值范圍，根據頻數分布表計算此范圍內的頻率，則此頻率近似等于所求的概率；（2）令x=lnt，利用回歸系數公式求出y關于x的回歸方程，再得出y關于t的擬合曲線．【解答】解：（1）令y＞200得2t﹣100＞200，解得t＞150，∴當t＞150時，病人數超過200人．由頻數分布表可知100天內空氣指數t＞150的天數為25+15+10=50．∴病人數超過200人的概率P=