一、數列的極限1、數列★無窮多個實數按一定次序排成一列稱為無窮數列（簡稱數列），記成其中稱為數列的第n項或通項。★

數列對應著數軸上一個點列.可看作一動點在數軸上依次取點:★

數列是整標函數數列的幾何意義.n=19n=32n=42n=50問題:1)當

n

無限增大時,數列

xn

是否無限接近于某一確定的數值?如果是,如何用數學語言描述?2)“無限接近”意味著什么?如何用數學語言刻劃它.隨著n的增加，1/n會越來越小。我們可用兩個數之間的‘距離’來刻化兩個數的接近程度只要n無限增大，xn

就會與1無限靠近。引入符號N和來刻化無限增大和無限接近。定義2.2給定數列如果存在常數a，使得（無論它多么小），使得當時，絕對值不等式恒成立，則稱數列以a為極限，記為或者若數列存在極限，則稱此數列收斂，否則稱此數列發散或不收斂。例如,趨勢不定收斂發散機動目錄上頁下頁返回結束用數學語言給出極限的定義：幾何解釋:由此可知，改變數列的有限項不會影響其斂散性.例1證所以,注:用定義證明數列極限存在時,關鍵是從主要不等式出發,由>0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).有時找N比較困難，可把不等式適當變形、放大。例2(常用結論)證思考：二、函數的極限定義2.3.設函數若存在1、自變量趨向∞時函數的極限（2）幾何解釋:直線y=A為曲線的水平漸近線說明：定義為函數極限的

定義。(1)類似地可以定義下面兩種情況:當時,有當時,有從上述定義容易得到：的充要條件是一般地，若則直線為函數的圖形的水平漸近線.或或例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，例5.證明證:取因此注:就有為使只需2、自變量趨于有限值時函數的極限1).時函數極限的定義定義2.4設函數在點a的某去心鄰域內有定義，或即當時,有若存在常數A,(3)幾何解釋:極限存在函數局部有界這表明:說明：本定義稱為函數的定義，的接近程度，刻畫與的接近程度.(1)(2)當的極限與在點是否有定義無關.例6.證明證:故對任意的當時,因此總有例7.證明證:欲使取則當時,必有因此只要例8.證明證:故取當時,必有因此2）.左極限與右極限左極限:當時,有右極限:當時,有左極限與右極限統稱為單側極限.由定義可知單側極限與極限有下述關系：說明：當兩個單側極限有一個不存在，或者雖然兩個單側極限都存在但不相等時，極限不存在.例9.設函數討論時的極限是否存在.解:

因為顯然所以不存在.三、極限的性質性質1.(唯一性）若存在，那么極限唯一.(有界性)若那么存在常數和使得當有性質2.以下性質對所有極限過程均成立，統一以表示.性質3.（保號性）且A>0

則存在(A<0)，若性質4.（保號性）則思考:若將條件改為是否必有不能!如性質5.（極限存在準則（I）——兩邊夾準則）且常用結論：反之不對，但當

證

解

圓扇形AOB的面積證:當即亦即時，顯然有△AOB的面積＜＜△AOD的面積故有重要極限定義.若則稱函數四、無窮小與無窮大1、無窮小當例如:函數當時為無窮小;函數時為無窮小;函數當時為無窮小.說明:(1)除0以外任何很小的常數都不是無窮小!因為顯然C

只能是0!CC(2)一個變量是否為無窮小，與極限過程有關.定理2.2.(無窮小與函數極限的關系)證:機動目錄上頁下頁返回結束2、無窮大定義.若任給M>0,若在定義中將①式改為①記作記作（負無窮大）當例如:函數當時為無窮大;函數時為負無窮大;函數當時為正無窮大.說明:1.無窮大不是很大的數,它是描述函數的一種狀態.2.一個變量是否為無窮大，與極限過程有關.若則直線為曲線的鉛直漸近線.漸近線一般地，3、無窮小與無窮大的關系(1)若為無窮大,為無窮小;(2)若為無窮小,且則為無窮大.則據此定理,關于無窮大的問題都可