2022年湖南省懷化市虎溪實驗中學高三數學文下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設,是兩條不同的直線,,,是三個不同的平面．有下列四個命題：①若，，，則；

②若，，則；③若，，，則；④若，，，則．其中錯誤命題的序號是A．①③

B．①④

C．②③④

D．②③

數學試題第1頁（共5頁）參考答案：B略2.在樣本頗率分布直方圖中，共有9個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于它8個長方形的面積和的，且樣本容量為140，則中間一組的頻數為(

)A．28 B．40 C．56 D．60參考答案：B【考點】頻率分布直方圖．【專題】概率與統計．【分析】設中間一組的頻數為x，利用中間一個小長方形的面積等于它8個長方形的面積和的，建立方程，即可求x．【解答】解：設中間一組的頻數為x，因為中間一個小長方形的面積等于它8個長方形的面積和的，所以其他8組的頻數和為，由x+=140，解得x=40．故選B．【點評】本題主要考查頻率直方圖的應用，比較基礎．3.已知實數﹣1，x，y，z，﹣4成等比數列，則xyz=（）A．﹣8 B．±8 C． D．參考答案：A【考點】等比數列的通項公式．【分析】由等比數列的性質可得y2=xz=（﹣1）（﹣4），解方程易得答案．【解答】解：由等比數列的性質可得y2=xz=（﹣1）（﹣4），解得xz=4，y=﹣2，（y=2時，和x2=﹣y矛盾），∴xyz=﹣8．故選：A4.設集合，如果方程至少有一個根，就稱方程為合格方程，則合格方程的個數為（

）

參考答案：C5.若復數z滿足，其中i為虛數單位，則共軛復數（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B6.函數的零點個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】根的存在性及根的個數判斷．【分析】利用兩角和與差的三角函數化簡函數的解析式，通過函數為0，轉化為兩個函數的圖象交點個數問題．【解答】解由已知得=cos2x﹣log2|x|，令f（x）=0，即cos2x=log2|x|，在同一坐標系中畫出函數y=cos2x和y=log2|x|的圖象，如圖所示，兩函數圖象有兩個不同的交點，故函數f（x）的零點個數為2，故選B．7.已知在函數（）的圖象上有一點，該函數的圖象與x軸、直線x＝－1及x＝t圍成圖形（如圖陰影部分）的面積為S，則S與t的函數關系圖可表示為（

）參考答案：B由題意知，當時，面積原來越大，但增長的速度越來越慢.當時，S的增長會越來越快，故函數S圖象在軸的右側的切線斜率會逐漸增大，選B．8.已知||＝1，||＝，且，則向量與向量的夾角為A.

B.

C.

D.參考答案：B9.運行如圖所示的程序框圖，則輸出的a、b、c滿足（）A．c≤b≤a B．a≤b≤c C．a≤c≤b D．b≤c≤a參考答案：A【考點】程序框圖．【分析】分析程序運行的功能是比較a、b、c的大小并按大小順序輸出，寫出運行結果即可．【解答】解：由程序框圖知，程序運行的功能是比較a、b、c的大小并按大小順序輸出，程序運行后輸出的是c≤b≤a．故選：A．10.函數f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的圖像經過四個象限，則實數a的取值

范圍是A．－<a<

B．－<a<－

C．－<a<－

D．－<a<－參考答案：Df′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，要使函數f(x)的圖像經過四個象限，則f(－2)f(1)<0，即<0，解得－<a<－.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（不等式選講選做題）不等式的解是

.參考答案：且12.函數，若f(5)=7，則f(-5)=

.參考答案：略13.邊長為1的正方形中，為的中點，在線段上運動，則的取值范圍是____________.參考答案：14.過點作斜率為的直線與橢圓：相交于A,B，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為

參考答案：【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【答案解析】解：設，則，

∵過點作斜率為的直線與橢圓：相交于A，B兩點，是線段的中點，∴兩式相減可得，

∴∴，∴．【思路點撥】利用點差法，結合是線段的中點，斜率為，即可求出橢圓的離心率．15.函數的對稱軸的集合為

參考答案：由，得，即對稱軸的集合為。16.當實數滿足約束條件（為常數）時有最大值為12，則實數的值為

.參考答案：-12略17.直線l與拋物線相交于A，B兩點，當|AB|=4時，則弦AB中點M到x軸距離的最小值為______.參考答案：【分析】由定義直接將所求轉化為焦點三角形中的問題．【詳解】由題意，拋物線的焦點坐標為（0，），根據拋物線的定義如圖，

所求d=故答案為：．【點睛】本題考查拋物線的定義的應用，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題13分）已知函數（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；（2）若在區間單調遞增，求的取值范圍；（3）若，證明：對任意都有成立.參考答案：解：(1)，直線的斜率為，

所以，曲線在點處的切線斜率為，…2分

即：…………4分

（2）

由題意可知，在區間上恒成立，

即在區間上恒成立.…………5分

對于函數，對稱軸為.

所以或，可解的：或.

所以的取值范圍為：.……………………8分（3）構造函數，

則………………9分

對于函數，

恒成立，

恒成立

在單調遞增，……………………11分

從而對任意有，即，

故；

同理，對任意也有，

綜上，對任意都有成立.……………13分【另解】原題等價于函數任意兩點確定的割線斜率，即在任意一點處的切線斜率

即證當時，，

即：，…………11分

因為，所以函數的對稱軸為，

……13分19.已知點，直線，P為平面上的動點，過點P作直線的垂線，垂足為Q，且.（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）設直線與軌跡C交于兩點，、，且(，且a為常數)，過弦AB的中點M作平行于x軸的直線交軌跡C于點D，連接AD、BD.試判斷的面積是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由參考答案：(1)(2)見解析【分析】（1）設，得，向量坐標化得；（2）聯立方程組消去，由得，由的中點，得點，，結合即可證明定值【詳解】（1）設，則，，，即，即，所以動點的軌跡的方程.（2）聯立方程組消去，得，依題意，，且，，由得，即，整理得：，所以，①因為的中點，所以點，依題意，，由方程中的判別式，得，所以，由①知，所以，又為常數，故的面積為定值.【點睛】本題考查拋物線的方程，直線與拋物線的位置關系，定值問題，考察方程思想和轉化化歸能力，是中檔題20.已知是正實數，設函數。（Ⅰ）設，求的單調區間；（Ⅱ）若存在，使且成立，求的取值范圍。參考答案：

（iii）當，即時，單調遞減。當時恒成立

綜上所述，

略21.（14分）已知橢圓的左焦點為，左右頂點分別為，，上頂點為，過，三點作⊙M，其中圓心的坐標為（）。

（I）若⊙M的圓心在直線上，求橢圓的方程。

（Ⅱ）若、是橢圓上滿足的兩點，求證：是定值。參考答案：解析：（I）⊙M過點三點，圓心既在的垂直平分線上，也在的垂直平分線上，的垂直平分線方程為的中點為的垂直平分線方程為由④⑤得即在直線上。由得橢圓的方程為（Ⅱ）設則是定值；

22.已知函數.（1）求函數f(x