第二章－矩陣與矩陣的Jordan標準形矩陣的基本概念定義：設為數域上的多項式，則稱

北京理工大學高數教研室*為多項式矩陣或矩陣。定義

如果矩陣中有一個階子式不為零，而所有階子式(如果有的話)全為零，則稱的秩為，記為零矩陣的秩為0。定義

一個階矩陣稱為可逆的，如果有一個階矩陣，滿足這里是階單位矩陣。稱為矩陣的逆矩陣，記為。北京理工大學高數教研室*定理

一個階矩陣可逆的充分必要是一個非零的常數。定義下列各種類型的變換，叫做矩陣的初等變換：矩陣的任二行(列)互換位置；非零常數乘矩陣的某一行(列)；矩陣的某一行(列)的倍加到另一行(列)上去，其中是的一個多項式。對單位矩陣施行上述三種類型的初等變換便得相應得三種矩陣得初等矩陣

北京理工大學高數教研室*定理

對一個的矩陣的行作初等行變換，相當于用相應的階初等矩陣左乘。對的列作初等列變換，相當于用相應的階初等矩陣右乘。定義如果經過有限次的初等變換之后變成，則稱與等價，記之為定理

與等價的充要條件是存在兩個可逆矩陣與，使得北京理工大學高數教研室*

矩陣Smith標準形的存在性

定理

任意一個非零的型的矩陣都等價于一個對角矩陣，即

北京理工大學高數教研室*其中是首項系數為1的多項式且稱這種形式的矩陣為的Smith標準形。稱為的不變因子。例1將其化成Smith標準形。北京理工大學高數教研室*解：北京理工大學高數教研室*北京理工大學高數教研室*例2將其化成Smith標準形。解：北京理工大學高數教研室*北京理工大學高數教研室*北京理工大學高數教研室*例3將其化為Smith標準形。解：北京理工大學高數教研室*北京理工大學高數教研室*北京理工大學高數教研室*北京理工大學高數教研室*北京理工大學高數教研室*北京理工大學高數教研室*將其化為Smith標準形。例4解：北京理工大學高數教研室*北京理工大學高數教研室*北京理工大學高數教研室*北京理工大學高數教研室*矩陣標準形的唯一性定義：為一個矩陣且對于任意的正整數，，必有非零的階子式，的全部階子式的最大公因式稱為的階行列式因子。北京理工大學高數教研室*顯然，如果，則行列式因子一共有個。例1

求的各階行列式因子。解：北京理工大學高數教研室*由于，所以。顯然而且其余的7個2階子式也都包含作為公因子，所以另外北京理工大學高數教研室*注意：觀察三者之間的關系。定理：等價（相抵）矩陣有相同的各階行列式因子從而有相同的秩。設矩陣的Smith標準形為北京理工大學高數教研室*容易計算上面的標準形的各階行列式因子為北京理工大學高數教研室*顯然有：北京理工大學高數教研室*由于與上面的Smith標準形具有相同的各階行列式因子，所以的各階行列式因子為而又是由這些行列式因子唯一確定的，于是我們得到定理：的Smith標準形是唯一的。例1

求下列矩陣的Smith標準形。北京理工大學高數教研室*北京理工大學高數教研室*解：（1）容易計算出北京理工大學高數教研室*（2）首先觀察此矩陣的元素排列規律，顯然下面看階行列式因子。有一個階子式要注意，即北京理工大學高數教研室*容易計算出從而北京理工大學高數教研室*北京理工大學高數教研室*(3)定理

矩陣與等價的充要條件是對于任何的，它們的階行列式因子相同。定理

矩陣與等價的充要條件是與有相同的不變因子。北京理工大學高數教研室*與一般的數字矩陣一樣，我們有下面的推論：推論矩陣可逆的充要條件為與單位矩陣等價。推論矩陣可逆的充要條件為可以表示成一系列初等矩陣的乘積。北京理工大學高數教研室*初等因子和矩陣的相似設矩陣的不變因子為在復數域內將它們分解成一次因式的冪的乘積：北京理工大學高數教研室*其中是互異的復數，是非負整數。因為，所以滿足如下關系定義在上式中，所有指數大于零的因子稱為矩陣的初等因子北京理工大學高數教研室*例如果矩陣的不變因子為則的初等因子為北京理工大學高數教研室*例如果矩陣的秩為4，其初等因子為求的Smith標準形。解：首先求出的不變因子北京理工大學高數教研室*從而的Smith標準形為定理階矩陣與等價的充要條件是它們有相同的秩且有相同的初等因子。北京理工大學高數教研室*定理設矩陣為準對角形矩陣，則與的初等因子的全體是的全部初等因子。此定理也可推廣成如下形式：北京理工大學高數教研室*定理若

矩陣則各個初等因子的全體就是的全部初等因子。北京理工大學高數教研室*例1

求矩陣的初等因子，不變因子與標準形。解：記北京理工大學高數教研室*那么對于，其初等因子為由上面的定理可知的初等因子為因為的秩為4，故的不變因子為北京理工大學高數教研室*因此的Smith標準形為北京理工大學高數教研室*例2

判斷下面兩個矩陣是否等價？北京理工大學高數教研室*例3

求下面矩陣不變因子北京理工大學高數教研室*例4

求下列矩陣的行列式因子與不變因子北京理工大學高數教研室*數字矩陣的相似與矩陣的等價定理：設是兩個階的數字矩陣，那么與相似的充分必要條件為它們的特征矩陣與等價。定義：對于數字矩陣，我們稱的不變因子為的不變因子，稱的初等因子為的初等因子。北京理工大學高數教研室*

對于任何一個數字矩陣所以，于是可得下面兩個定理定理：兩個同階的方陣相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子。定理：兩個同階的方陣相似的充分必要條件是它們有相同的行列式因子（或不變因子）。例設，證明：北京理工大學高數教研室*（1）階矩陣與北京理工大學高數教研室*相似；（2）階矩陣與北京理工大學高數教研室*不相似。

矩陣的Jordan標準形定義：稱階矩陣北京理工大學高數教研室*為Jordan塊。設為Jordan塊，稱準對角形矩陣北京理工大學高數教研室*為Jordan標準形矩陣。由前面的例題和定理可知Jordan塊的初等因子為，從而Jordan標準形矩陣的初等因子為北京理工大學高數教研室*于是可以得到下面的定理定理：設的初等因子為則，這里北京理工大學高數教研室*其中我們稱是矩陣的Jordan標準形。特別地，我們有定理：可以對角化的充分必要條件是北京理工大學高數教研室*的初等因子都是一次因式。例1

求矩陣的Jordan標準形。解：先求出的初等因子。對運用初等變換可以得到北京理工大學高數教研室*所以的初等因子為北京理工大學高數教研室*故的標準形為或北京理工大學高數教研室*例2

求矩陣的Jordan標準形。解：先求出的初等因子。對運用初等變換可以得到北京理工大學高數教研室*所以的初等因子為北京理工大學高數教研室*故的Jordan標準形為或北京理工大學高數教研室*求Jordan標準形的另一種方法：特征矩陣秩的方法.具體操作步驟：（1）先求出該矩陣的特征多項式及其特征值（2）其Jordan標準形的主對角線上都是的特征值，并且特征值在主對角線上出現的次數等于作為特征根的重數。對于每個特征值，求出以它為主對角元的各級Jordan塊的數目，首先求出

那么以為主對角元的Jordan塊的總數是北京理工大學高數教研室*這里為該矩陣的階數，而以為主對角元的級Jordan塊的數目是依次先求出直至滿足條件北京理工大學高數教研室*為止。（3）根據第二步求出的各級Jordan塊的數目，就可以寫出的一個Jordan標準形。例1

用矩陣秩的方法求出矩陣的Jordan標準形。北京理工大學高數教研室*解：先求出的特征多項式及其特征值。對于特征值，它是的1重根，從而在的Jordan標準形的主對角線上出現一次，因此中主對角元為1的Jordan塊只有一個且它為一階的。北京理工大學高數教研室*對于特征值，先求

所以從而北京理工大學高數教研室*特征值是的兩重根，從而在

的Jordan標準形的主對角線上出現兩次，因此中主對角元為3的Jordan塊只有一個且它為二階的。故的標準形為或北京理工大學高數教研室*例2

用矩陣秩的方法求出矩陣的Jordan標準形。解：首先求出其特征值，顯然其特征多項式為北京理工大學高數教研室*所以為的4重根，從而在的Jordan標準形的主對角線上出現四次，下面計算中主對角元為1的Jordan塊的數目，先計算，容易得到那么中主對角元為的Jordan塊數是由此立即可得其Jordan標準形為北京理工大學高數教研室*如何求相似變換矩陣？

設階方陣的Jordan標準形為,則存在可逆矩陣使得北京理工大學高數教研室*，稱為相似變換矩陣。對于相似變換矩陣的一般理論我們不作過多的討論，只通過具體的例題說明求的方法。例1

求方陣的Jordan標準形及其相似變換矩陣。北京理工大學高數教研室*解：首先用初等變換法求其Jordan標準形：北京理工大學高數教研室*故的初等因子為從而的Jordan標準形為再求相似變換矩陣：設所求矩陣為，則，對于按列分塊記為北京理工大學高數教研室*于是有從而可得北京理工大學高數教研室*整理以后可得三個線性方程組前面的兩個方程為同解方程組，可以求出它們的一個基礎解系：可以取，但是不能簡單地取，這是因為如果選取不當會使得第三個非齊次線性方程組無解。由于北京理工大學高數教研室*的任意線性組合都是前兩個方程組的解，所以應該取使得第三個非齊次方程有解，即其系數矩陣與增廣矩陣有相同地秩，容易計算出其系數矩陣的秩為1，從而應該使得增廣矩陣的秩也為1。即北京理工大學高數教研室*容易看出只需令就會使得上述矩陣的秩為1，于是再由第三個方程解出一個特解為北京理工大學高數教研室*，那么所求相似變換矩陣為例2

求方陣的Jordan標準形及其相似變換矩陣。北京理工大學高數教研室*解：首先用初等變換法求其Jordan標準形：北京理工大學高數教研室*故的初等因子為從而的Jordan標準形為再求相似變換矩陣：設所求矩陣為，則，對于按列分塊記為北京理工大學高數教研室*于是有從而可得北京理工大學高數教研室*整理以后可得三個線性方程組前面的兩個方程為同解方程組，可以求出它們的一個基礎解系：可以取，但是不能簡單地取，這是因為如果選取不當會使得第三個非齊次線性方程組無解。由于北京理工大學高數教研室*的任意線性組合都是前兩個方程組的解，所以應該取

使得第三個非齊次方程有解，即其系數矩陣與增廣矩陣有相同地秩，容易計算出其系數矩陣的秩為1，從而應該使得增廣矩陣的秩也為1。即北京理工大學高數教研室*容易看只要就會使得上述增廣矩陣的秩為1。令，于是再由第三個方程解出一個特解為北京理工大學高數教研室*，那么所求相似變換矩陣為從而有北京理工大學高數教研室*一般地，設，則存在階可逆矩陣使得其中為Jordan塊，記這里北京理工大學高數教研室*那么有記，又可得北京理工大學高數教研室*注意：是矩陣的對應于特征值的特征向量，特征向量的選取應該保證特征向量可以求出，同樣特征向量的選取應該保證特征向量可以求出，依此類推，并且使得線性無關。Jordan標準形的某些應用例1

對于方陣北京理工大學高數教研室*求。解：首先用初等變換法求其Jordan標準形：北京理工大學高數教研室*故的初等因子為北京理工大學高數教研室*從而的Jordan標準形為再求相似變換矩陣且，那么按照前面例題的方式，容易計算出北京理工大學高數教研室*從而北京理工大學高數教研室*例2

求解常系數線性微分方程組解：令北京理工大學高數教研室*那么此方程組可表示成北京理工大學高數教研室*由前面的例題可知存在使得北京理工大學高數教研