PAGEPAGE1歐拉公式——上帝創(chuàng)造的數(shù)學(xué)公式一、上帝創(chuàng)造的數(shù)學(xué)公式1743年，著名的數(shù)學(xué)家歐拉在一篇正式發(fā)表的論文中首次得到了如下這個(gè)結(jié)果(歐拉公式)

eit＝cost+isint其中e是自然常數(shù)，其值約為2.718；cos和sin分別是余弦和正弦函數(shù)；i是虛數(shù)，滿足i2=-1。當(dāng)t=π時(shí)cosπ＝-1，sinπ＝0，于是上面公式變成(歐拉公式)

eiπ+1=0第二個(gè)公式更廣為流傳，短短的公式中聚集了五個(gè)最著名的數(shù)學(xué)常數(shù)：0，1，i(虛數(shù))，π(圓周率)，e(自然對(duì)數(shù))因此，第二個(gè)公式也被數(shù)學(xué)家們稱為“上帝創(chuàng)造的數(shù)學(xué)公式”二、解構(gòu)歐拉公式我們來(lái)看歐拉公式中的五個(gè)常識(shí)0，1，i，π，e和三個(gè)函數(shù)ex，cost，sint其中0和1無(wú)需多言，i在我們此前的文章《復(fù)數(shù)——幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的交響樂(lè)》中也徹底講明白了。圓周率π就是單位圓(半徑為1的圓)周長(zhǎng)的一半。還有函數(shù)

cost，sint，它們分別表示(以原點(diǎn)為圓心的)單位圓周上，逆時(shí)針偏離(1,0)點(diǎn)弧長(zhǎng)距離為t的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，到了自然函數(shù)e和指數(shù)函數(shù)ex問(wèn)題就來(lái)了，自然常數(shù)e為什么會(huì)稱為自然？指數(shù)函數(shù)ex當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，可以用乘方和開(kāi)根號(hào)來(lái)定義，對(duì)于一般實(shí)數(shù)是不是要用極限定義？歐拉公式中指數(shù)函數(shù)ex甚至取x值為虛數(shù)，那又該如何定義？這些問(wèn)題正是歐拉公式給許多人留下神秘印象的原因。要解釋清楚歐拉公式和這么多問(wèn)題，我們?cè)撨x擇從哪里入手作為起點(diǎn)呢？三，起點(diǎn)我們選擇的起點(diǎn)就是用冪級(jí)數(shù)定義的函數(shù)E(x)很多人在這里可能要問(wèn)：為什么選擇這個(gè)冪級(jí)數(shù)作為起點(diǎn)？因?yàn)槲ㄓ腥绱耍拍茏畋憬葑钣行У乩斫鈿W拉公式，請(qǐng)拭目以待！注意這個(gè)函數(shù)E(x)對(duì)于所有的復(fù)數(shù)x都是可以定義的，這一點(diǎn)非常重要。好了，接下來(lái)，我們將從這個(gè)起點(diǎn)出發(fā)，推導(dǎo)出兩個(gè)方程(微分方程，函數(shù)方程)和一個(gè)共軛等式，這三者對(duì)我們理解歐拉公式都是至關(guān)重要的！(函數(shù)方程)

E(x)E(y)=E(x+y)我們直接推導(dǎo)這個(gè)函數(shù)方程：大家注意推導(dǎo)中最后一步使用了二項(xiàng)式定理，實(shí)際上函數(shù)方程是二項(xiàng)式定理的生成函數(shù)表達(dá)式，換句話說(shuō)函數(shù)方程和二項(xiàng)式定理是等價(jià)的。(除了二項(xiàng)式定理外，還有很多組合恒等式可以寫成生成函數(shù)的形式，有興趣的朋友可以自主探索一下。)好了言歸正傳，如果我們令那么根據(jù)函數(shù)方程，E(2)=E(1)E(1)=e2E(3)=E(2)E(1)=e3所以E(x)=ex

對(duì)所有整數(shù)x都是成立的。再根據(jù)函數(shù)方程E(1/3)E(1/3)E(1/3)=E(1/2)E(1/2)=E(1)=e又因?yàn)镋(1/2)，E(1/3)都是正數(shù)，所以E(1/2)=e1/2E(1/3)=e1/3進(jìn)一步可以推導(dǎo)出E(x)=ex

對(duì)所有有理數(shù)，對(duì)所有實(shí)數(shù)(取極限)都是成立的。所以E(x)是指數(shù)函數(shù)ex

的推廣。對(duì)于復(fù)數(shù)x，我們也把E(x)寫成ex。比如eit就是：(微分方程)

(ex

)'=ex逐項(xiàng)求微分就可以得到這個(gè)微分方程：相信不少人都知道e可以用復(fù)利的方式來(lái)理解：假如有人借給你1萬(wàn)元高利貸，年化利息是100%，那么一年后結(jié)算，你要還他2萬(wàn)元。但是如果他半年后結(jié)算，就是(1+1/2)萬(wàn)，然后再借給你，半年后再結(jié)算，那就是(1+1/2)2萬(wàn)=2.25萬(wàn)。如果每四個(gè)月結(jié)算一次，那一年后就是(1+1/3)3萬(wàn)≈2.37萬(wàn)。如果把一年分成許多個(gè)，甚至無(wú)數(shù)多個(gè)時(shí)間段，不停地，連續(xù)地復(fù)利結(jié)算，那最后的結(jié)果就是極限這個(gè)極限也是約等于2.718。也就是說(shuō)最先的1萬(wàn)元，在一年的時(shí)間內(nèi)連續(xù)復(fù)利，最后變成約等于2.718萬(wàn)元另一方面，當(dāng)x從0連續(xù)變到1的時(shí)候，函數(shù)ex的值是從1增長(zhǎng)到e，而且ex的微分方程表明，這種增長(zhǎng)方式也是每個(gè)時(shí)刻都以自身的值作為增長(zhǎng)率，這和上述的復(fù)利模式是相同的。所以我們很直觀地從ex的微分方程看出e表示單位量在單位時(shí)間內(nèi)"自然增長(zhǎng)"得到的數(shù)量，所以稱為自然常數(shù)。這種自然增長(zhǎng)的模式在自然界中經(jīng)常碰到，比如細(xì)菌和其他微生物的繁殖等在講函數(shù)ex的共軛等式之前，我們先復(fù)習(xí)一下共軛復(fù)數(shù)的概念：復(fù)數(shù)z=x+yi的共軛復(fù)數(shù)是定義為z=x-yi，對(duì)應(yīng)到平面上就是兩個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)。很容易驗(yàn)證，共軛和加法，乘方運(yùn)算是交換的：兩個(gè)互為共軛復(fù)數(shù)的乘積剛好等于模的平方：zz=|z|2(共軛等式)這個(gè)等式的推導(dǎo)也很簡(jiǎn)單：共軛等式告訴我們，函數(shù)ex在一對(duì)共軛復(fù)數(shù)處取的值也是互為共軛的。四，揭開(kāi)歐拉公式的神秘面紗我們現(xiàn)在重新來(lái)審視歐拉公式(歐拉公式)

eit＝cost+isint這個(gè)公式的左邊是一個(gè)定義在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的復(fù)值函數(shù)，也就是說(shuō)，對(duì)于每個(gè)實(shí)數(shù)t，都對(duì)應(yīng)著唯一的復(fù)數(shù)eit。我們?cè)谖恼隆稄?fù)數(shù)——幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的交響樂(lè)》中講過(guò)，復(fù)數(shù)和平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。所以如果我們把數(shù)軸看成時(shí)間直線的話，eit就可以看作是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平面上的運(yùn)動(dòng)，在t這個(gè)時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位置是eit。但是這個(gè)公式的右邊也是一個(gè)定義在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的復(fù)值函數(shù)，也可以看作是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平面上的運(yùn)動(dòng)。我們?cè)诘谝还?jié)中說(shuō)過(guò)，函數(shù)

cost，sint

分別表示(以原點(diǎn)為圓心的)單位圓周上，逆時(shí)針偏離(1,0)點(diǎn)弧長(zhǎng)距離為t的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，也就是說(shuō)，在時(shí)刻t，質(zhì)點(diǎn)在單位圓周上走過(guò)長(zhǎng)度為t的路程。換句話說(shuō)，歐拉公式的右邊代表質(zhì)點(diǎn)繞單位圓做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度為1。所以，我們要說(shuō)明歐拉公式的左邊eit也代表質(zhì)點(diǎn)繞單位圓做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)。我們先來(lái)說(shuō)明為什么函數(shù)eit的值總是落在單位圓周上。根據(jù)ex的共軛等式而根據(jù)ex的函數(shù)方程所以eit也確實(shí)代表質(zhì)點(diǎn)在單位圓上的運(yùn)動(dòng)。如何說(shuō)明這種運(yùn)動(dòng)是逆時(shí)針勻速呢？我們可以看它的速度向量，也就是eit的導(dǎo)函數(shù)。根據(jù)ex的微分方程，我們有所以，每個(gè)時(shí)刻的速度向量都是位置向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，因此eit確實(shí)也代表質(zhì)點(diǎn)繞單位圓做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度也為1。所以，既然左右兩邊的函數(shù)代表的是同一個(gè)運(yùn)動(dòng)，歐拉公式自然就成立了。另外，在時(shí)間t=π時(shí)，質(zhì)點(diǎn)剛好走過(guò)半圓周，達(dá)到點(diǎn)(-1,0)。這時(shí)歐拉公式就變成根據(jù)ex的函數(shù)方程，利用歐拉公式，這個(gè)等式可以寫成大家能不能看出來(lái)這實(shí)質(zhì)上就是三角函數(shù)的和差化積公式。實(shí)際上，在以歐拉公式為背景之下ex的函數(shù)方程和三角函數(shù)的和差化積公式是等價(jià)的！四，高觀點(diǎn)下的歐拉公式上一節(jié)講過(guò)，歐拉公式可以看作單位圓上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)在我們把歐拉公式和函數(shù)eit看成是實(shí)數(shù)軸到單位圓的函數(shù)或映射。直觀上看，這種映射可以看作線環(huán)繞圓周其實(shí)，實(shí)數(shù)軸和單位圓都是最特殊的李群。我們簡(jiǎn)單說(shuō)明一下，首先實(shí)數(shù)有加法運(yùn)算，有單位元0，還有加法運(yùn)算的逆運(yùn)算減法，而且這些運(yùn)算都可以看成是二元光滑(無(wú)限可微)函數(shù)，這些性質(zhì)大體上構(gòu)成了李群的定義。類似地，所有模為1的復(fù)數(shù)(對(duì)應(yīng)單位圓上的點(diǎn))上有乘法運(yùn)算，也是可逆的，也有單位元1，也滿足光滑條件，所以也是一個(gè)李群。根據(jù)ex的函數(shù)方程，所以函數(shù)eit把實(shí)數(shù)的加法轉(zhuǎn)化成單位圓上的乘法，因此歐拉公式可以理解為兩個(gè)李群之間的同態(tài)，這是李群同態(tài)最簡(jiǎn)單的例子。(所謂的同態(tài)就是一個(gè)李群到另一個(gè)李群的光滑映射，把單位元映射成單位元，且把一個(gè)李群的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成另一個(gè)李群的運(yùn)算)從拓?fù)涞慕嵌葋?lái)看，歐拉公式所表示的實(shí)數(shù)軸到單位圓的映射其實(shí)是單位圓的萬(wàn)有復(fù)疊映射。這個(gè)萬(wàn)有復(fù)疊映射表明單位圓的基本群(一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?是非平凡的，而這個(gè)事實(shí)是代數(shù)學(xué)基本定理的拓?fù)渥C明的基石。實(shí)數(shù)軸到單位圓的這個(gè)映射還可以從李代數(shù)的角度來(lái)理解，這時(shí)，實(shí)數(shù)軸代表單位圓在單位元處