第四章根軌跡法7/10/20231北京航空航天大學(xué)基本要求

1.正確理解開環(huán)零、極點(diǎn)和閉環(huán)零、極點(diǎn)以及主導(dǎo)極點(diǎn)、偶極子等概念。2.正確理解和熟記根軌跡方程(模方程及相角方程)。熟練運(yùn)用模方程計(jì)算根軌跡上任一點(diǎn)的根軌跡增益和開環(huán)增益。3.正確理解根軌跡法則，法則的證明只需一般了解，熟練運(yùn)用根軌跡法則按步驟繪制反饋系統(tǒng)K從零變化到正無窮時(shí)的閉環(huán)根軌跡。7/10/20232北京航空航天大學(xué)4.正確理解閉環(huán)零極點(diǎn)分布和階躍響應(yīng)的定性關(guān)系，初步掌握運(yùn)用根軌跡分析參數(shù)對響應(yīng)的影響。能熟練運(yùn)用主導(dǎo)極點(diǎn)、偶極子等概念，將系統(tǒng)近似為一、二階系統(tǒng)給出定量估算。5.了解繪制廣義根軌跡的思路、要點(diǎn)和方法。7/10/20233北京航空航天大學(xué)根軌跡法根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，直接由開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)求出閉環(huán)極點(diǎn)（閉環(huán)特征根）。這給系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)帶來了極大的方便。閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標(biāo)主要有閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)在復(fù)平面的位置決定，因此，分析或設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)確定出閉環(huán)極點(diǎn)位置是十分有意義的。7/10/20234北京航空航天大學(xué)定義：根軌跡是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某個(gè)參數(shù)（如開環(huán)增益K）從零變到無窮時(shí)，閉環(huán)特征根在s平面上移動的軌跡。§4－1根軌跡與根軌跡方程當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)為正反饋時(shí)，對應(yīng)的軌跡為零度根軌跡；而負(fù)反饋系統(tǒng)的軌跡為根軌跡。一.根軌跡7/10/20235北京航空航天大學(xué)例子如圖所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為7/10/20236北京航空航天大學(xué)開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)。沒有零點(diǎn)，開環(huán)增益為K。閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征根為閉環(huán)傳遞函數(shù)為7/10/20237北京航空航天大學(xué)從特征根的表達(dá)式中看出每個(gè)特征根都隨K的變化

而變化。例如，設(shè)K=0K=0.5K=1K=2.5K=+∞7/10/20238北京航空航天大學(xué)如果把不同K值的閉環(huán)特征根布置在s平面上，并連成線，則可以畫出如圖所示系統(tǒng)的根軌跡7/10/20239北京航空航天大學(xué)二.閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系如圖所示系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為（4－4）圖4－3控制系統(tǒng)7/10/202310北京航空航天大學(xué)將前向通道傳遞函數(shù)G（s）表示為（4－5）7/10/202311北京航空航天大學(xué)

為前向通道增益，為前向通道根軌跡增益其中為反饋通道的根軌跡增益。（4－7）（4－6）7/10/202312北京航空航天大學(xué)（4－8）7/10/202313北京航空航天大學(xué)閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為閉環(huán)零、極點(diǎn)。式中（4－10）7/10/202314北京航空航天大學(xué)比較式（4－8）和（4－10）可得出以下結(jié)論閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益；閉環(huán)系統(tǒng)零點(diǎn)由前向通道的零點(diǎn)和反饋通道的極點(diǎn)組成；閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)與開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)、零點(diǎn)以及開環(huán)根軌跡增益有關(guān)。根軌跡法的任務(wù)就在于已知開環(huán)零、極點(diǎn)分布的情況下，如何通過圖解法求出閉環(huán)極點(diǎn)。7/10/202315北京航空航天大學(xué)三.根軌跡方程根軌跡方程

G(s)H(s)=-1（4-12）

式中G(s)H(s)是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，該式明確表示出開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系。

閉環(huán)特征方程

D(s)=1+G(s)H(s)=0（4-11）

閉環(huán)極點(diǎn)就是閉環(huán)特征方程的解，也稱為特征根。7/10/202316北京航空航天大學(xué)設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)有m個(gè)零點(diǎn)，n個(gè)極點(diǎn)，并假定n≥m，這時(shí)式（4－12）又可以寫成（4－13）不難看出，式子為關(guān)于s的復(fù)數(shù)方程，因此，把它分解成模值方程和相角方程。7/10/202317北京航空航天大學(xué)相角方程（4－15）模值方程（4－14）7/10/202318北京航空航天大學(xué)注意在實(shí)際應(yīng)用中，用相角方程繪制根軌跡，而模值方程主要用來確定已知根軌跡上某一點(diǎn)的值。

模值方程不但與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)，與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)；而相角方程只與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)。

相角方程是決定系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的充分必要條件。7/10/202319北京航空航天大學(xué)例4－1它們應(yīng)滿足相角方程（4－15）已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試證明復(fù)平面上點(diǎn)是該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。若系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)為證明：

該系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)7/10/202320北京航空航天大學(xué)圖4－4例4－1開環(huán)零、極點(diǎn)分布圖7/10/202321北京航空航天大學(xué)（k=-1)(k=0)以為試驗(yàn)點(diǎn)，可得以為試驗(yàn)點(diǎn)，觀察圖4－4，可得圖4－47/10/202322北京航空航天大學(xué)證畢。可見，都滿足相角方程，所以，點(diǎn)是閉環(huán)極點(diǎn)。7/10/202323北京航空航天大學(xué)例4－2已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)變化時(shí)其根軌跡如圖4-5，求根軌跡上點(diǎn)所對應(yīng)的K值。解

根據(jù)模值方程求解值模值方程圖4-57/10/202324北京航空航天大學(xué)根據(jù)圖4－5可得所以圖4-57/10/202325北京航空航天大學(xué)上面兩個(gè)例子說明如何應(yīng)用根軌跡方程確定復(fù)平面上一點(diǎn)是否是閉環(huán)極點(diǎn)以及確定根軌跡上一點(diǎn)對應(yīng)的值方法。根軌跡法可以在已知開環(huán)零、極點(diǎn)時(shí)，迅速求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時(shí)閉環(huán)特征方程所有根在復(fù)平面上的分布，即根軌跡。7/10/202326北京航空航天大學(xué)§4－2繪制根軌跡的基本法則一、根軌跡的分支數(shù)分支數(shù)＝開環(huán)極點(diǎn)數(shù)

＝閉環(huán)特征方程的階數(shù)二、根軌跡對稱于實(shí)軸閉環(huán)極點(diǎn)為實(shí)數(shù)→在實(shí)軸上復(fù)數(shù)→共軛→對稱于實(shí)軸7/10/202327北京航空航天大學(xué)起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)。三、根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)由根軌跡方程有：7/10/202328北京航空航天大學(xué)

若開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m<開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n(有個(gè)開環(huán)零點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處)

則有()條根軌跡終于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)→→

起點(diǎn)→→終點(diǎn)7/10/202329北京航空航天大學(xué)四、實(shí)軸上的根軌跡

實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。證明：設(shè)一系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖。7/10/202330北京航空航天大學(xué)在實(shí)軸上任取一試驗(yàn)點(diǎn)s代入相角方程則所以相角方程成立，即s是根軌跡上的點(diǎn)。7/10/202331北京航空航天大學(xué)一般，設(shè)試驗(yàn)點(diǎn)右側(cè)有L個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，h個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，則有關(guān)系式證畢如滿足相角條件必有所以，L-h必為奇數(shù)，當(dāng)然L+h也為奇數(shù)。7/10/202332北京航空航天大學(xué)例4－3設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求時(shí)的閉環(huán)根軌跡。解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點(diǎn)形式7/10/202333北京航空航天大學(xué)最后繪制出根軌跡如圖4－7所示。法則一，有兩條根軌跡法則三，兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(diǎn)0、－2，一條終于有限零點(diǎn)－1，另一條趨于無窮遠(yuǎn)處。法則四，在負(fù)實(shí)軸上，0到－1區(qū)間和－2到負(fù)無窮區(qū)間是根軌跡。按繪制根規(guī)跡法則逐步進(jìn)行：7/10/202334北京航空航天大學(xué)圖4－7例4－3根軌跡7/10/202335北京航空航天大學(xué)法則五：根軌跡的漸近線漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為：漸近線與實(shí)軸相交點(diǎn)的坐標(biāo)為：7/10/202336北京航空航天大學(xué)例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試根據(jù)法則五，求出根軌跡的漸近線。極點(diǎn)解：零點(diǎn)7/10/202337北京航空航天大學(xué)按照公式得7/10/202338北京航空航天大學(xué)以下是幾種開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡漸近線7/10/202339北京航空航天大學(xué)7/10/202340北京航空航天大學(xué)對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(a)(b)(c)(d)7/10/202341北京航空航天大學(xué)法則六：根軌跡的起始角和終止角根軌跡的終止角是指終止于某開環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在該點(diǎn)處的切線與水平正方向的夾角。根軌跡的起始角是指根軌跡在起點(diǎn)處的切線與水平正方向的夾角。7/10/202342北京航空航天大學(xué)起始角與終止角計(jì)算公式起始角計(jì)算公式：終止角計(jì)算公式：7/10/202343北京航空航天大學(xué)例4－5設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制系統(tǒng)概略根軌跡。解

將開環(huán)零、極點(diǎn)畫在圖4－12的根平面上，逐步畫圖：7/10/202344北京航空航天大學(xué)圖4－12例4－5根軌跡7/10/202345北京航空航天大學(xué)1、n=2，有兩條根軌跡2、兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(diǎn)(-1-j2),(-+j2)；終于開環(huán)零點(diǎn)(-2-j),(-2+j)3、確定起始角,終止角。如圖4－13所示。7/10/202346北京航空航天大學(xué)例4－5根軌跡的起始角和終止角圖4－137/10/202347北京航空航天大學(xué)定義：幾條（二條）根軌跡在s平面上相遇又分開的點(diǎn)。若根軌跡位于實(shí)軸兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間，則此二極點(diǎn)之間至少存在一個(gè)分離點(diǎn)。若根軌跡位于實(shí)軸兩相鄰開環(huán)零點(diǎn)之間，則此二極點(diǎn)之間至少存在一個(gè)會合點(diǎn)。七、根軌跡的分離點(diǎn)座標(biāo)d7/10/202348北京航空航天大學(xué)分離點(diǎn)的坐標(biāo)d可由下面方程求得式中：為各開環(huán)零點(diǎn)的數(shù)值，為個(gè)開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值。7/10/202349北京航空航天大學(xué)例4－6已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡分離點(diǎn)坐標(biāo)d，并概略繪制出根軌跡圖。7/10/202350北京航空航天大學(xué)解：根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出開環(huán)極點(diǎn)按步驟：1、n=2,m=1,有兩條根軌跡2、兩條根軌跡分別起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)3、實(shí)軸上根軌跡位于有限零點(diǎn)－1和無窮零點(diǎn)之間，因此判斷有分離點(diǎn)7/10/202351北京航空航天大學(xué)4、離開復(fù)平面極點(diǎn)的初始角為7/10/202352北京航空航天大學(xué)5、漸近線（舍去）6、求分離點(diǎn)坐標(biāo)d7/10/202353北京航空航天大學(xué)此系統(tǒng)根軌跡如圖圖4－157/10/202354北京航空航天大學(xué)八、分離角與會合角所謂分離角是指根軌跡離開重極點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角。分離角計(jì)算公式（4－45）7/10/202355北京航空航天大學(xué)所謂會合角是指根軌跡進(jìn)入重極點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角。7/10/202356北京航空航天大學(xué)會合角計(jì)算公式7/10/202357北京航空航天大學(xué)分離角與會合角不必經(jīng)公式計(jì)算，可以用下列簡單法則來確定：若有條根軌跡進(jìn)入d點(diǎn)，必有條根軌跡離開d點(diǎn)；條進(jìn)入d點(diǎn)的根軌跡與條離開d點(diǎn)的根軌跡相間隔；任一條進(jìn)入d點(diǎn)的根軌跡與相鄰的離開d點(diǎn)的根軌跡方向之間的夾角為；因此只要確定了d點(diǎn)附近的一條根軌跡的方向，由上述規(guī)律就可以方便地確定d點(diǎn)附近所有的根軌跡方向，而確定d點(diǎn)附近根軌跡方向的方法可根據(jù)法則(2)、法則(4)或取試驗(yàn)點(diǎn)用相角條件來驗(yàn)證。7/10/202358北京航空航天大學(xué)九、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)如根軌跡與虛軸相交，則交點(diǎn)上的值和值可用勞思判據(jù)判定，也可令閉環(huán)特征方程中的，然后分別令其實(shí)部和虛部為零求得。7/10/202359北京航空航天大學(xué)例4－7設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。7/10/202360北京航空航天大學(xué)解：按步驟畫圖1、有4條根軌跡2、各條根軌跡分別起于開環(huán)極點(diǎn)0，-3，-1+j1,-1-j1；終于無窮遠(yuǎn)3、實(shí)軸上的根軌跡在0到-3之間4、漸近線7/10/202361北京航空航天大學(xué)5、確定分離點(diǎn)d解方程得（舍去）7/10/202362北京航空航天大學(xué)6、確定起始角7/10/202363北京航空航天大學(xué)7、確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。令代入上式解得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為7/10/202364北京航空航天大學(xué)圖4－17例4－7根軌跡7/10/202365北京航空航天大學(xué)十、根之和與根之積如果系統(tǒng)特征方程寫成如下形式1、閉環(huán)特征根的負(fù)值之和，等于閉環(huán)特征方程第二項(xiàng)系數(shù)。若根之和與開環(huán)根軌跡增益無關(guān)。7/10/202366北京航空航天大學(xué)Tips在開環(huán)極點(diǎn)已確定不變的情況下，其和為常值，因此，n-m2的系統(tǒng)，當(dāng)增益Ｋ的變動使某些閉環(huán)極點(diǎn)在Ｓ平面上向左挪動時(shí)，則必有另一些極點(diǎn)向右移動，這樣才能保證極點(diǎn)之和為常值。這對于判斷根軌跡的走向很有意義。2、閉環(huán)特征根之積乘以，等于閉環(huán)特征方程的常數(shù)項(xiàng)。7/10/202367北京航空航天大學(xué)例4－8已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡，并求出時(shí)的閉環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)極點(diǎn)。7/10/202368北京航空航天大學(xué)解；根據(jù)根軌跡繪制法則，按步計(jì)算：n=4，有四條根軌跡；起始于開環(huán)極點(diǎn)0，－20，－2-j4,-2+j4，終于無窮遠(yuǎn)處；實(shí)軸上的根軌跡在（0，－20）區(qū)間；n=4,m=0,則有四條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)，他們的漸近線于實(shí)軸的交點(diǎn)和夾角為7/10/202369北京航空航天大學(xué)取7/10/202370北京航空航天大學(xué)5、根軌跡的起始角。解得6、分離點(diǎn)坐標(biāo)d。舍7/10/202371北京航空航天大學(xué)7、根軌跡于虛軸交點(diǎn)。系統(tǒng)特征方程解得則兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)令代入7/10/202372北京航空航天大學(xué)此時(shí)特征方程為利用綜合除法，可求出其他兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)7/10/202373北京航空航天大學(xué)圖4－19例4－8根軌跡圖7/10/202374北京航空航天大學(xué)圖4-18常見閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖7/10/202375北京航空航天大學(xué)§4－3廣義根軌跡一、開環(huán)零點(diǎn)變化時(shí)的根軌跡設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(4-59)閉環(huán)特征方程為(4-60)等效變換成7/10/202376北京航空航天大學(xué)令（4－61）顯然，利用式4－61就可以畫出關(guān)于零點(diǎn)變化的根軌跡，它就是廣義根軌跡。7/10/202377北京航空航天大學(xué)二、開環(huán)極點(diǎn)變化時(shí)的根軌跡設(shè)一負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為現(xiàn)在研究變化的根軌跡。等效開環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)（4－62）可畫出變化時(shí)的廣義根軌跡。7/10/202378北京航空航天大學(xué)已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制當(dāng)開環(huán)增益K為時(shí)，時(shí)間常數(shù)變化時(shí)的根軌跡。例4-10解：

題目顯然是求廣義根軌跡問題。7/10/202379北京航空航天大學(xué)系統(tǒng)特征方程為等效開環(huán)傳遞函數(shù)為等效開環(huán)傳遞函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)0，0，-1；2個(gè)極點(diǎn)，不同K值可計(jì)算出不同極點(diǎn)。按照常規(guī)根軌跡的繪制法則可繪制出廣義根軌跡如圖4-21。7/10/202380北京航空航天大學(xué)圖4-21例4-10根軌跡圖7/10/202381北京航空航天大學(xué)分析復(fù)雜控制系統(tǒng)如圖，其中內(nèi)回路為正反饋。為了分析整個(gè)控制系統(tǒng)的性能，需求出內(nèi)回路的閉環(huán)零、極點(diǎn)。用根軌跡的方法繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡。三、零度根軌跡圖4-227/10/202382北京航空航天大學(xué)特征方程根軌跡方程研究內(nèi)回路7/10/202383北京航空航天大學(xué)從而相角方程及模值方程相應(yīng)為7/10/202384北京航空航天大學(xué)使用常規(guī)根軌跡法繪制零度根軌跡時(shí)，對于與相角方程有關(guān)的某些法則要修改法則四實(shí)軸上某一區(qū)域，若其右方開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。法則五根軌跡的漸近線計(jì)算公式不變。7/10/202385北京航空航天大學(xué)法則六根軌跡的起始角與終止角法則八分離角與會合角除上述四個(gè)法則外，其他法則不變7/10/202386北京航空航天大學(xué)例4-11圖4-23正反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-23所示，試?yán)L制開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益變化時(shí)的根軌跡。其中7/10/202387北京航空航天大學(xué)解：該系統(tǒng)是正反饋系統(tǒng)。當(dāng)變化時(shí)的根軌跡是零度根軌跡。利用零度根軌跡法則繪制該系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。終止于開環(huán)零點(diǎn)實(shí)軸根軌跡在區(qū)間內(nèi)。起始于開環(huán)極點(diǎn)7/10/202388北京航空航天大學(xué)圖4-24例4-11根軌跡圖7/10/202389北京航空航天大學(xué)§4－4系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)分別

與階躍響應(yīng)的關(guān)系由開環(huán)→閉環(huán)極點(diǎn)的根軌跡求閉環(huán)極點(diǎn)確定閉環(huán)傳函閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能主要任務(wù)：7/10/202390北京航空航天大學(xué)一、用閉環(huán)零、極點(diǎn)表示的階躍響應(yīng)表達(dá)式Ｎ階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：7/10/202391北京航空航天大學(xué)設(shè)輸入為單位階躍：r(t)=1(t),有：假設(shè)(s)中無重極點(diǎn)，上式分解為部分分式7/10/202392北京航空航天大學(xué)7/10/202393北京航空航天大學(xué)將C(s)表達(dá)式進(jìn)行拉式反變換得：（4－74）從式子看出，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)將有閉環(huán)極點(diǎn)及系數(shù)決定，而系數(shù)也與閉環(huán)零、極點(diǎn)分布有關(guān)。7/10/202394北京航空航天大學(xué)二、閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的定

性關(guān)系穩(wěn)定性所有閉環(huán)極點(diǎn)為于s平面的左半部；復(fù)數(shù)極點(diǎn)設(shè)置在s平面中與負(fù)實(shí)軸成夾角線附近；平穩(wěn)性7/10/202395北京航空航天大學(xué)快速性閉環(huán)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸；動態(tài)過程盡快消失小,閉環(huán)極點(diǎn)之間間距大,零點(diǎn)與極點(diǎn)間間距小。7/10/202396北京航空航天大學(xué)三、主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子主導(dǎo)極點(diǎn)：就是對動態(tài)過程影響占主導(dǎo)地位的極點(diǎn)，一般是離虛軸最近的極點(diǎn)。7/10/202397北京航空航天大學(xué)偶極子：就是一對靠得很近的閉環(huán)零、極點(diǎn)。7/10/202398北京航空航天大學(xué)四、利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)既然主導(dǎo)極點(diǎn)在動態(tài)過程中起主要作用，那么，計(jì)算性能指標(biāo)時(shí)，在一定條件下就可以只考慮暫態(tài)分量中主導(dǎo)極點(diǎn)對應(yīng)的分量，將高階系統(tǒng)近似看做一、二階系統(tǒng)，直接應(yīng)用第三章中計(jì)算性能指標(biāo)的公式和曲線。7/10/202399北京航空航天大學(xué)例4-12試近似計(jì)算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。解：這是三階系統(tǒng)，有三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)其零、極點(diǎn)分布如圖4-25所示。某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為7/10/2023100北京航空航天大學(xué)極點(diǎn)離虛軸最近，所以系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)為，而其他兩個(gè)極點(diǎn)可以忽略。圖4-257/10/2023101北京航空航天大學(xué)這時(shí)系統(tǒng)可以看做是一階系統(tǒng)。傳遞函數(shù)為式中：T=0.67s根據(jù)時(shí)域分析可知一階系統(tǒng)無超調(diào)，調(diào)節(jié)時(shí)間7/10/2023102北京航空航天大學(xué)例4-13系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)試估計(jì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。7/10/2023103北京航空航天大學(xué)解：閉環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖(4-26)所示圖4-267/10/2023104北京航空航天大學(xué)系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)對應(yīng)性能指標(biāo)7/10/2023105北京航空航天大學(xué)例4-14已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試應(yīng)用根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計(jì)算閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)具有阻尼比0.5時(shí)的性能指標(biāo)。7/10/2023106北京航空航天大學(xué)解：圖4-27

根軌跡圖圖4-27根軌跡圖按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖4-27所示。7/10/2023107北京航空航天大學(xué)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性在平面上畫出時(shí)的阻尼線。阻尼線與根軌跡交點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為，從圖上測得，與之共軛的復(fù)數(shù)極點(diǎn)為。已知系統(tǒng)閉環(huán)特征方程及兩個(gè)極點(diǎn)，用長除法求出第三個(gè)極點(diǎn)。使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍是7/10/2023108北京航空航天大學(xué)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)近似為二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的性能指標(biāo)：7/10/2023109北京航空航天大學(xué)§4－5系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析例4－15已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4－28所示。試畫出當(dāng)由時(shí)的閉環(huán)根軌跡，并分析對系統(tǒng)動態(tài)過程的影響。圖4－287/10/2023110北京航空航天大學(xué)解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)0，－2；有