正交試驗設計正交實驗設計法對于單因素或兩因素試驗，因其因素少，試驗的設計、實施與分析都比較簡單。但在實際工作中，常常需要同時考察3個或3個以上的試驗因素，若進行全面試驗，則試驗的規模將很大，往往因試驗條件的限制而難于實施。正交試驗設計就是安排多因素試驗、尋求最優水平組合的一種高效率試驗設計方法。正交試驗設計的概念及原理正交試驗設計的基本概念正交試驗設計是利用正交表來安排與分析多因素試驗的一種設計方法。它是由試驗因素的全部水平組合中，挑選部分有代表性的水平組合進行試驗的，通過對這部分試驗結果的分析來了解全面試驗的情況，找出最優的水平組合。例如，要考察增稠劑用量、pH值和殺菌溫度對豆奶穩定性的影響。每個因素設置3個水平進行試驗。A因素是增稠劑用量，設Al、A2、A33個水平；B因素是pH值，設Bl、B2、B33個水平；C因素為殺菌溫度，設C1、C2、C33個水平。這是一個3因素3水平的試驗，各因素的水平之間全部可能組合有27種。全面試驗：可以分析各因素的效應，交互作用，也可選出最優水平組合。但全面試驗包含的水平組合數較多，工作量大，在有些情況下無法完成。若試驗的主要目的是尋求最優水平組合，則可利用正交表來設計安排試驗。正交試驗設計的基本特點是：用部分試驗來代替全面試驗，通過對部分試驗結果的分析，了解全面試驗的情況。正因為正交試驗是用部分試驗來代替全面試驗的，它不可能像全面試驗那樣對各因素效應、交互作用一一分析；當交互作用存在時，有可能出現交互作用的混雜。雖然正交試驗設計有上述不足，但它能通過部分試驗找到最優水平組合，因而很受實際工作者青睞。如對于上述3因素3水平試驗，若不考慮交互作用，可利用正交表L9(34)安排，試驗方案僅包含9個水平組合，就能反映試驗方案包含27個水平組合的全面試驗的情況，找出最佳的生產條件。正交試驗設計的基本原理在試驗安排中，每個因素在研究的范圍內選幾個水平，就好比在選優區內打上網格，如果網上的每個點都做試驗，就是全面試驗。如上例中，3個因素的選優區可以用一個立方體表示(圖1),3個因素各取3個水平，把立方體劃分成27個格點，反映在圖1上就是立方體內的27個“.”若27個網格點都試驗，就是全面試驗，其試驗方案如表1所示。

表表13因康3水平全面試驗方案?GG昂且禺匚如心如Q且盡QA￡G如心^4? 民昭口月耳G隔G罟Q且禺G隔G且禺G且禺G民彰Q彰C話G畑G話G艱G畑G3因素3水平的全面試驗水平組合數為33=27，4因素3水平的全面試驗水平組合數為34=81，5因素3水平的全面試驗水平組合數為35=243，這在科學試驗中有可能做不到。

正交設計就是從選優區全面試驗點(水平組合)中挑選出有代表性的部分試驗點(水平組合)來進行試驗。圖1中標有試驗號的九個“(?)”就是利用正交表L9(34)從27個試驗點中挑選出來的9個試驗點。即：A1B1C1 (2)A2B1C2 (3)A3B1C3(4)A1B2C2 (5)A2B2C3 (6)A3B2C1(7)A1B3C3 (8)A2B3C1 (9)A3B3C2上述選擇，保證了A因素的每個水平與B因素、C因素的各個水平在試驗中各搭配一次。對于A、B、C這3個因素來說，是在27個全面試驗點中選擇9個試驗點，僅是全面試驗的三分之一。從圖1中可以看到，9個試驗點在選優區中分布是均衡的，在立方體的每個平面上，都恰是3個試驗點；在立方體的每條線上也恰有一個試驗點。9個試驗點均衡地分布于整個立方體內，有很強的代表性，能夠比較全面地反映選優區內的基本情況。正交表及其基本性質正交表由于正交設計安排試驗和分析試驗結果都要用正交表，因此，我們先對正交表作一介紹。表2是一張正交表，記號為L(27)，其中“L”代表正交表；L右下角的數字8“8”表示有8行，用這張正交表安排試驗包含8個處理(水平組合)；括號內的底數“2”表示因素的水平數，括號內2的指數“7”表示有7列，用這張正交表最多可以安排7個2水平因素。12123456711111111112222122112212222112121212212212122112212212112L(3J正交實驗表試驗號列號1234111112122231333421235223162312731328321393321常用的正交表已由數學工作者制定出來，供進行正交設計時選用。2水平正交表除L8(27)外，還有L4(23)、L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(213)……等(詳見有關參考書)。正交表的基本性質1.3.2.1正交性任一列中，各水平都出現，且出現的次數相等例如L8(27)中不同數字只有1和2,它們各出現4次；L9(34)中不同數字有1、2和3，它們各出現3次。幻燈片15任兩列之間各種不同水平的所有可能組合都出現，且出現的次數相等例如L8(27)中(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)各出現2次；L9(34)中(1,1), (1,2), (1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)各出現1次。即每個因素的一個水平與另一因素的各個水平所有可能組合次數相等，表明任意兩列各個數字之間的搭配是均勻的。1.3.2.2代表性一方面：(1)任一列的各水平都出現，使得部分試驗中包括了所有因素的所有水平；任兩列的所有水平組合都出現，使任意兩因素間的試驗組合為全面試驗。另一方面：由于正交表的正交性，正交試驗的試驗點必然均衡地分布在全面試驗點中，具有很強的代表性。因此，部分試驗尋找的最優條件與全面試驗所找的最優條件，應有一致的趨勢。1.3.2.3綜合可比性任一列的各水平出現的次數相等；任兩列間所有水平組合出現次數相等，使得任一因素各水平的試驗條件相同。這就保證了在每列因素各水平的效果中，最大限度地排除了其他因素的干擾。從而可以綜合比較該因素不同水平對試驗指標的影響情況。根據以上特性，我們用正交表安排的試驗，具有均衡分散和整齊可比的特點。所謂均衡分散，是指用正交表挑選出來的各因素水平組合在全部水平組合中的分布是均勻的。由圖1可以看出，在立方體中，任一平面內都包含3個“(?”任一直線上都包含1個“(?)”，因此，這些點代表性強，能夠較好地反映全面試驗的情況。整齊可比是指每一個因素的各水平間具有可比性。因為正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含著另外因素的各個水平，當比較某因素不同水平時，其它因素的效應都彼此抵消。如在A、B、C3個因素中，A因素的3個水平A1、A2、A3條件下各有B、C的3個不同水平，即：在9個水平組合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3個水平，雖然搭配方式不同，但B、C皆處于同等地位，當比較A因素不同水平時，B因素不同水平的效應相互抵消，C因素不同水平的效應也相互抵消。所以A因素3個水平間具有綜合可比性。同樣，B、C因素3個水平間亦具有綜合可比性。正交表的三個基本性質中，正交性是核心，是基礎，代表性和綜合可比性是正交性的必然結果。正交表的類別等水平正交表各列水平數相同的正交表稱為等水平正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中的水平為2，稱為2水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列水平為3，稱為3水平正交表。混合水平正交表各列水平數不完全相同的正交表稱為混合水平正交表。如L8(4X24)表中有一列的水平數為4，有4列水平數為2。也就是說該表可以安排一個4水平因素和4個2水平因素。再如L16(44X23)，L16(4X212)等都混合水平正交表。2.正交試驗設計的基本程序對于多因素試驗，正交試驗設計是簡單常用的一種試驗設計方法，其設計基本程序如圖所示。正交試驗設計的基本程序包括試驗方案設計及試驗結果分析兩部分。試驗方案設計明確試驗目的，確定試驗指標試驗設計前必須明確試驗目的，即本次試驗要解決什么問題。試驗目的確定后，對試驗結果如何衡量，即需要確定出試驗指標。試驗指標可為定量指標，如強度、硬度、產量、出品率、成本等；也可為定性指標如顏色、口感、光澤等。一般為了便于試驗結果的分析，定性指標可按相關的標準打分或模糊數學處理進行數量化，將定性指標定量化。選因素、定水平，列因素水平表根據專業知識、以往的研究結論和經驗，從影響試驗指標的諸多因素中，通過因果分析篩選出需要考察的試驗因素。一般確定試驗因素時，應以對試驗指標影響大的因素、尚未考察過的因素、尚未完全掌握其規律的因素為先。試驗因素選定后，根據所掌握的信息資料和相關知識，確定每個因素的水平，一般以2-4個水平為宜。對主要考察的試驗因素，可以多取水平，但不宜過多(W6),否則試驗次數驟增。因素的水平間距，應根據專業知識和已有的資料，盡可能把水平值取在理想區域。試驗分析，影響山楂液化率的因素很多，如山楂品種、山楂果肉的破碎度、果肉加水量、原料pH值、果膠酶種類、加酶量、酶解溫度、酶解時間等等。經全面考慮，最后確定果肉加水量、加酶量、酶解溫度和酶解時間為本試驗的試驗因素，分別記作A、B、C和D,進行四因素正交試驗，各因素均取三個水平，因素水平表見表3所示。表3因素水平表水平試驗因素加水量(mL/100g)A加酶量(mL/100g)B酶解溫度(°C)C酶解時間(h)D1101201.52504352.53907503.5選擇合適的正交表正交表的選擇是正交試驗設計的首要問題。確定了因素及其水平后，根據因素、水平及需要考察的交互作用的多少來選擇合適的正交表。正交表的選擇原則是在能夠安排下試驗因素和交互作用的前提下，盡可能選用較小的正交表，以減少試驗次數。一般情況下，試驗因素的水平數應等于正交表中的水平數；因素個數(包括交互作用)應不大于正交表的列數；各因素及交互作用的自由度之和要小于所選正交表的總自由度，以便估計試驗誤差。若各因素及交互作用的自由度之和等于所選正交表總自由度，則可采用有重復正交試驗來估計試驗誤差。正交表選擇依據：列：正交表的列數c$因素所占列數+交互作用所占列數+空列。自由度：正交表的總自由度(a-l)$因素自由度+交互作用自由度+誤差自由度。此例有4個3水平因素，可以選用L9(34)或L27(313)；例中試驗僅考察四個因素對液化率的影響效果，不考察因素間的交互作用，故宜選用L9(34)正交表。若要考察交互作用，則應選用L27(313)。表頭設計所謂表頭設計，就是把試驗因素和要考察的交互作用分別安排到正交表的各列中去的過程。在不考察交互作用時，各因素可隨機安排在各列上；若考察交互作用，就應按所選正交表的交互作用列表安排各因素與交互作用，以防止設計“混雜”。此例不考察交互作用，可將加水量（A）、加酶量（B）和酶解溫度（C）、酶解時間（D）依次安排在L9（34）的第1、2、3、4列上，見表4所示。表4表頭設計列號1234因素ABCD（5）編制試驗方案，按方案進行試驗，記錄試驗結果。把正交表中安排各因素的列（不包含欲考察的交互作用列）中的每個水平數字換成該因素的實際水平值，便形成了正交試驗方案（表5）。表5試驗方案及試驗結果試驗號因素ABCD111112122231333421235223162312731328321393321說明：試驗號并非試驗順序，為了排除誤差干擾，試驗中可隨機進行安排試驗方案時，部分因素的水平可采用隨機安排。試驗結果分析?分清各因素及其交互作用的主次順序，分清哪個是主要因素，哪個是次要因素；判斷因素對試驗指標影響的顯著程度；找出試驗因素的優水平和試驗范圍內的最優組合，即試驗因素各取什么水平時，試驗指標最好；分析因素與試驗指標之間的關系，即當因素變化時，試驗指標是如何變化的找出指標隨因素變化的規律和趨勢，為進一步試驗指明方向；了解各因素之間的交互作用情況；估計試驗誤差的大小。不考察交互作用的試驗結果分析（1）確定試驗因素的優水平和最優水平組合分析A因素各水平對試驗指標的影響。由表5可以看出，A1的影響反映在第1、2、3號試驗中，A2的影響反映在第4、5、6號試驗中，A3的影響反映在第7、8、9號試驗中。A因素的1水平所對應的試驗指標之和為KA1二y1+y2+y3=0+17+24=41，kA1=KA1/3=13.7；A因素的2水平所對應的試驗指標之和為KA2=y4+y5+y6=12+47+28=87，kA2=KA2/3=29；A因素的3水平所對應的試驗指標之和為KA3=y7+y8+y9=1+18+42=61，kA3=KA3/3=20.3。根據正交設計的特性，對A1、A2、A3來說，三組試驗的試驗條件是完全一樣的（綜合可比性），可進行直接比較。如果因素A對試驗指標無影響時，那么kA1、kA2、kA3應該相等，但由上面的計算可見，kA1、kA2、kA3實際上不相等。說明，A因素的水平變動對試驗結果有影響。因此，根據kA1、kA2、kA3的大小可以判斷A1、A2、A3對試驗指標的影響大小。由于試驗指標為液化率，而kA2〉kA3〉kA1，所以可斷定A2為A因素的優水平。同理，可以計算并確定B3、C3、D1分別為B、C、D因素的優水平。四個因素的優水平組合A2B3C3D1為本試驗的最優水平組合，即酶法液化生產山楂清汁的最優工藝條件為加水量50mL/100g，加酶量7mL/100g，酶解溫度為50°C，酶解時間為1.5h。（2） 確定因素的主次順序（3） 繪制因素與指標趨勢圖以各因素水平為橫坐標，試驗指標的平均值（kjm）為縱坐標，繪制因素與指標趨勢圖。由因素與指標趨勢圖可以更直觀地看出試驗指標隨著因素水平的變化而變化的趨勢，可為進一步試驗指明方向。以上即為正交試驗極差分析的基本程序與方法表8試驗結果分析試驗號因素液化率％ABCD1111102122217313332442123125223147623122873132183213189332142K141134689K287827146K361947254k113.74.315.329.7k229.027.323.715.3k320.331.324.018.0極差R15.327.08.714.3主次順序B〉A〉D〉C優水平A2B3C3D1優組合A2B3C3D1例2試驗結果極差分析(1)計算Ki值。Ki為同一水平之和。以第一列A因素為例：K1=36.20+31.77+38.79+38.02=144.78K2=31.54+35.02+30.90+35.62=133.08K3=30.09+32.37+32.87+34.02=129.35

K4=29.32+32.64+34.54+32.80=129.30計算各因素同一水平的平均值Ki。K1=36.20，K2=33.27，K3=32.34，K4=31.83計算各因素的極差R,R表示該因素在其取值范圍內試驗指標變化的幅度。R=max(Ki)-min(Ki)根據極差大小，判斷因素的主次影響順序。R越大，表示該因素的水平變化對試驗指標的影響越大,因素越重要。由以上分析可見,因素影響主次順序為A〉C〉B〉D，A因素影響最大，為主要因素，D因素為不重要因素。做因素與指標趨勢圖，直觀分析出指標與各因素水平波動的關系。幻燈片48選優組合，即根據各因素各水平的平均值確定優水平，進而選出優組合。本例A、B、C為主要因素，按照平均值大小選取優水平為A1B1C4，即茶多酚用量取0.1%水平；以0.5%維生素C作為增效劑；1.0%葡萄糖液為被膜劑為形成的鴨肉保鮮復合劑為優組合，而浸泡時間為次要因素，選取操作時間1-3min即可。考察交互作用的試驗設計與結果分析(1)交互作用在多因素試驗中，不僅因素對指標有影響，而且因素之間的聯合搭配也對指標產生影響。因素間的聯合搭配對試驗指標產生的影響作用稱為交互作用。因素之間的交互作用總是存在的，這是客觀存在的普遍現象，只不過交互作用的程度不同而異。一般地，當交互作用很小時，就認為因素間不存在交互作用。對于交互作用，設計時應引起高度重視。在試驗設計中，表示A、B間的交互作用記作AXB，稱為1級交互作用；表示因素A、B、C之間的交互作用記作AXBXC，稱為2級交互作用；依此類推，還有3級、4級交互作用等。幻燈片58(2)交互作用的處理原則試驗設計中，交互作用一律當作因素看待，這是處理交互作用問題的總原則。作為因素，各級交互作用都可以安排在能考察交互作用的正交表的相應列上，它們對試驗指標的影響情況都可以分析清楚，而且計算非常簡單。但交互作用又與因素不同，表現在：用于考察交互作用的列不影響試驗方案及其實施；一個交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有(m-1)p列。表頭設計時，交互作用所占列數與因素的水平m有關，與交互作用級數p有關。幻燈片592水平因素的各級交互作用均占1列；對于3水平因素，一級交互作用占2列，二級交互作用占4列，……，可見，m和p越大，交互作用所占列數越多。例如，對一個25因素試驗，表頭設計時，如果考慮所有各級交互作用，那么連同因素本身，總計應占列數為：C51+C52+C53+C54+C55=5+10+10+5+1=31，那么此試驗必選L32(24)正交表進行設計。一般對于多因素試驗，在滿足試驗要求的條件下，有選擇地、合理地考察某些交互作用。綜合考慮試驗目的、專業知識、以往的經驗及現有試驗條件等多方面情況進行交互作用選擇。一般原則是：忽略高級交互作用有選擇地考察一級交互作用。通常只考察那些作用效果較明顯的，或試驗要求必須考察的。試驗允許的條件下，試驗因素盡量取2水平。有交互作用的試驗表頭設計表頭設計時，各因素及其交互作用不能任意安排，必須嚴格按交互作用列表進行安排。這是有交互作用正交試驗設計的一個重要特點，也是關鍵的一步。在表頭設計中，為了避免混雜，那些主要因素、重點要考察的因素、涉及交互作用較多的因素應該優先安排；次要因素、不涉及交互作用的因素后安排。所謂混雜，就是指在正交表的同列中，安排了兩個或兩個以上的因素或交互作用，這樣，就無法區分同一列中這些不同因素或交互作用對試驗指標的影響效果。有交互作用的正交設計與分析實例在實際研究中，有時試驗因素之間存在交互作用。對于既考察因素主效應又考察因素間交互作用的正交設計，除表頭設計和結果分析與前面介紹略有不同外，其它基本相同。正交試驗結果的方差分析極差分析法簡單明了，通俗易懂，計算工作量少便于推廣普及。但這種方法不能將試驗中由于試驗條件改變引起的數據波動同試驗誤差引起的數據波動區分開來，也就是說，不能區分因素各水平間對應的試驗結果的差異究竟是由于因素水平不同引起的，還是由于試驗誤