2022-2023學年高一下數學期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖所示，在邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區域，向該正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區域的概率是，則該陰影區域的面積是（）A．3 B． C． D．2．已知向量，，，則實數的值為()A． B． C．2 D．33．在明朝程大位《算法統宗》中，有這樣一首歌謠，叫浮屠增級歌：遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增；共燈三百八十一，請問層三幾盞燈．這首古詩描述的浮屠，現稱寶塔．本浮屠增級歌意思是：有一座7層寶塔，每層懸掛的紅燈數是上一層的2倍，寶塔中共有燈381盞，問這個寶塔第3層燈的盞數有()A． B． C． D．4．已知：平面內不再同一條直線上的四點、、、滿足，若，則（）A．1 B．2 C． D．5．同時擲兩枚骰子，則向上的點數相等的概率為（）A． B． C． D．6．在中，已知，且，則的值是（）A． B． C． D．7．《九章算術》卷第五《商功》中，有問題“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”，意思是：“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體，下底面寬丈，長丈；上棱長丈，無寬，高丈（如圖）．問它的體積是多少?”這個問題的答案是（）A．立方丈 B．立方丈C．立方丈 D．立方丈8．某興趣小組合作制作了一個手工制品，并將其繪制成如圖所示的三視圖，其中側視圖中的圓的半徑為3，則制作該手工制品表面積為（）A． B． C． D．9．已知，，且，則向量在向量上的投影等于（）A．-4 B．4 C． D．10．設等差數列的前n項和為，首項，公差，，則最大時，n的值為()A．11 B．10 C．9 D．8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某校老年、中年和青年教師的人數分別為90，180，160，采用分層抽樣的方法調查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有32人，則抽取的樣本中老年教師的人數為_____12．無窮等比數列的首項是某個正整數，公比為單位分數（即形如：的分數，為正整數），若該數列的各項和為3，則________.13．若，則_________.14．函數的單調遞增區間為______.15．已知向量，，若向量與垂直，則__________．16．已知圓C的方程為，一定點為A(1,2)，要使過A點作圓的切線有兩條，則a的取值范圍是____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在半徑為、圓心角為的扇形的弧上任取一點，作扇形的內接矩形，使點在上，點在上，設矩形的面積為,（1）按下列要求寫出函數的關系式：①設，將表示成的函數關系式；②設，將表示成的函數關系式，（2）請你選用（1）中的一個函數關系式，求出的最大值．18．已知數列{bn}的前n項和，n∈N*．（1）求數列{bn}的通項公式；（2）記，求數列{cn}的前n項和Sn；（3）在（2）的條件下，記，若對任意正整數n，不等式恒成立，求整數m的最大值．19．某校進行學業水平模擬測試，隨機抽取了名學生的數學成績（滿分分），繪制頻率分布直方圖，成績不低于分的評定為“優秀”．（1）從該校隨機選取一名學生，其數學成績評定為“優秀”的概率；（2）估計該校數學平均分（同一組數據用該組區間的中點值作代表）．20．已知，函數，.（1）若在上單調遞增，求正數的最大值；（2）若函數在內恰有一個零點，求的取值范圍.21．求值：（1）一個扇形的面積為1，周長為4，求圓心角的弧度數；（2）已知，計算.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

利用幾何概型的意義進行模擬試驗，即估算不規則圖形面積的大小．【詳解】正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區域內的概率，，又，.故選：B．【點睛】本題考查幾何概型的意義進行模擬試驗，計算不規則圖形的面積，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意豆子落在陰影區域內的概率與陰影部分面積及正方形面積之間的關系.2、A【解析】

將向量的坐標代入中，利用坐標相等，即可得答案.【詳解】∵，∴.故選：A.【點睛】本題考查向量相等的坐標運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.3、C【解析】

先根據等比數列的求和公式求出首項，再根據通項公式求解.【詳解】從第1層到塔頂第7層，每層的燈數構成一個等比數列，公比為，前7項的和為381，則，得第一層，則第三層，故選【點睛】本題考查等比數列的應用，關鍵在于理解題意.4、D【解析】

根據向量的加法原理對已知表示式轉化為所需向量的運算對照向量的系數求解.【詳解】根據向量的加法原理得所以，，解得且故選D.【點睛】本題考查向量的線性運算，屬于基礎題.5、D【解析】

利用古典概型的概率公式即可求解.【詳解】同時擲兩枚骰子共有種情況，其中向上點數相同的有種情況，其概率為.故選：D【點睛】本題考查了古典概型的概率計算公式，解題的關鍵是找出基本事件個數，屬于基礎題.6、C【解析】

由正弦定理邊角互化思想得，由可得出的三邊長，可判斷出三角形的形狀，由此可得出的值，再利用平面向量數量積的定義可計算出的值.【詳解】，，，，，，為等腰直角三角形，.因此，，故選C.【點睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應用，同時也考查了平面向量數量積定義的計算，在求平面向量數量積的計算時，要注意向量的起點要一致，考查運算求解能力，屬于中等題.7、A【解析】過點分別作平面和平面垂直于底面，所以幾何體的體積分為三部分中間是直三棱柱，兩邊是兩個一樣的四棱錐，所以立方丈，故選A.8、D【解析】

由三視圖可知，得到該幾何體是由兩個圓錐組成的組合體，根據幾何體的表面積公式，即可求解.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是由兩個圓錐組成的組合體，其中圓錐的底面半徑為3，高為4，所以幾何體的表面為.選D.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖及表面積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據三視圖的規則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應公式求解.9、A【解析】

根據公式，向量在向量上的投影等于，計算求得結果.【詳解】向量在向量上的投影等于.故選A.【點睛】本題考查了向量的投影公式，只需記住公式代入即可，屬于基礎題型.10、B【解析】

由等差數列前項和公式得出，結合數列為遞減數列確定，從而得到最大時，的值為10.【詳解】由題意可得等差數列的首項，公差則數列為遞減數列即當時，最大故選B。【點睛】本題對等差數列前項和以及通項公式，關鍵是將轉化為，結合數列的單調性確定最大時，的值為10.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據分層抽樣的定義建立比例關系，即可得到答案。【詳解】設抽取的樣本中老年教師的人數為，學校所有的中老年教師人數為270人由分層抽樣的定義可知：，解得：故答案為【點睛】本題考查分層抽樣，考查學生的計算能力，屬于基礎題。12、【解析】

利用無窮等比數列的各項和，可求得，從而，利用首項是某個自然數，可求，進而可求出.【詳解】無窮等比數列各項和為3，，是個自然數，則，.故答案為：【點睛】本題主要考查了等比數列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎題.13、【解析】

利用誘導公式求解即可【詳解】，故答案為：【點睛】本題考查誘導公式，是基礎題14、【解析】

令，解得的范圍即為所求的單調區間.【詳解】令，，解得：，的單調遞增區間為故答案為：【點睛】本題考查正弦型函數單調區間的求解問題，關鍵是能夠采用整體對應的方式，結合正弦函數的單調區間來進行求解.15、【解析】，所以，解得．16、【解析】

使過A點作圓的切線有兩條，定點在圓外，代入圓方程計算得到答案.【詳解】已知圓C的方程為，要使過A點作圓的切線有兩條即點A(1,2)在圓C外：恒成立.綜上所述：故答案為：【點睛】本題考查了點和圓的位置關系，通過切線數量判斷位置關系是解題的關鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（1）①通過求出矩形的邊長，求出面積的表達式；②利用三角函數的關系，求出矩形的鄰邊，求出面積的表達式；（2）利用（1）②的表達式，化為一個角的一個三角函數的形式，根據的范圍確定矩形面積的最大值.試題解析：（1）①因為，所以，所以，．②當時，，則，又，所以，所以，（）．（2）由②得，，當時，取得最大值為．考點：1.三角函數中的恒等變換；2.兩角和與差的正弦函數.【方法點睛】本題主要考查的是函數解析式的求法，三角函數的最值的確定，三角函數公式的靈活運用，計算能力，屬于中檔題，此題是課本題目的延伸，如果（2）選擇（1）①中的解析式，需要用到導數求解，麻煩，不是命題者的本意，因此正確的選擇是選擇（1）②中的解析式，化成一個角的一個三角函數的形式，根據的范圍確定矩形面積的最大值,此類題目選擇正確的解析式是求解容易與否的關鍵.18、(1)bn＝3n﹣2，n∈N*．(2)；(3)最大值為1．【解析】

（1）利用，求得數列的通項公式.（2）利用裂項求和法求得數列的前項和.（3）由（2）求得的表達式，記不等式左邊為，利用差比較法判斷出的單調性，進而求得的最小值，由此列不等式求得的取值范圍，進而求得整數的最大值.【詳解】（1）∵數列{bn}的前n項和，n∈N*．∴①當n＝1時，b1＝T1＝1；②當n≥2時，bn＝Tn﹣Tn﹣1＝3n﹣2；∴bn＝3n﹣2，n∈N*．（2）由（1）可得：；∴Sn＝c1+c2+…+cn，，，；（3）由（2）可知：n；∴；設f（n）；則f（n+1）﹣f（n）＝（）﹣（）0；所以f（n+1）＞f（n），故f（n）的最小值為f（1）；∵對任意正整數n，不等式恒成立，∴恒成立，即m＜12；故整數m的最大值為1．【點睛】本小題主要考查已知求，考查裂項求和法，考查數列單調性的判斷方法，考查不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.19、（1）；（2）該校數學平均分為.【解析】

（1）計算后兩個矩形的面積之和，可得出結果；（2）將每個矩形底邊中點值乘以相應矩形的面積，再將這些積相加可得出該校數學平均分.【詳解】（1）從該校隨機選取一名學生，成績不低于分的評定為“優秀”的頻率為，所以，數學成績評定為“優秀”的概率為；（2）估計該校數學平均分．【點睛】本題考查頻率分布直方圖頻率和平均數的計算，解題時要熟悉頻率和平均數的計算原則，考查計算能力，屬于基礎題.20、（1）（2）【解析】

（1）求出的單調遞增區間，令，得，可知區間，即可求出正數的最大值；（2）令，當時，，可將問題轉化為在的零點問題，分類討論即可求出答案.【詳解】解：（1）由，得，.因為在上單調遞增，令，得時單調遞增，所以解得，可得正數的最大值為.（2），設，當時，.它的圖形如圖所示.又，則，，令，則函數在內恰有一個零點，可知在內最多一個零點.①當0為的零點時，顯然不成立；②當為的零點時，由，得，把代入中，得，解得，，不符合題意.③當零點在區間時，若，得，此時零點為1，即，由的圖象可知不符合題意；若，即，設的兩根分別為，，由，且拋物線的對稱軸為，則兩根