專題07圓錐曲線中的向量共線問題一、單選題1．已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，點M，N分別在拋物線C上.若，則點M到y軸的距離為（）A． B． C． D．1【答案】D【分析】由可得，設，，由，可得.【詳解】由可得，設，，由，可得，所以且，所以，解得，所以，所以點M到y軸的距離為1.故選：D.【點睛】本題考查了拋物線的幾何性質，考查了平面向量共線的坐標表示，屬于基礎題.2．拋物線的焦點為，準線為，點在上，線段與拋物線交于點，若，點到軸的距離為2，則的值是（）A． B．4 C． D．2【答案】C【分析】畫出圖形，通過向量關系，轉化為：，通過求解三角形，結合拋物線的性質轉化求解即可．【詳解】解：拋物線的焦點為，準線為，點在上，線段與拋物線交于點，若，過作于，則，所以，設準線與軸交于，則，因為點到軸的距離為2，所以，解得，故選：C．【點睛】本題考查拋物線幾何性質、平面向量的線性運算，熟練掌握拋物線的幾何性質是解題的關鍵，考查學生的分析能力和運算能力，屬于中檔題．3．已知雙曲線的標準方程為，過其右焦點F的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若，則AB的垂直平分線與x軸交點的橫坐標是（）A．20 B．10 C．12 D．18【答案】A【分析】解法一：先根據雙曲線的方程得到焦點F的坐標,設出直線AB的方程,并將其與雙曲線方程聯立,再結合及根與系數的關系,求出AB的中點坐標,進而可得AB的垂直平分線的方程,最后求其與x軸交點的橫坐標即可；解法二：設出A,B兩點的坐標,結合,利用向量的坐標表示求出兩點坐標之間的關系進行求解.【詳解】解法―：由,得雙曲線的右焦點,故由題意可設直線AB的方程為.聯立方程,得,消去x得.設,.由及根與系數的關系,得,得,或,由對稱性不妨設,則AB的中點坐標為,所以AB的垂直平分線的方程為,令,得.故選：A.解法二：由,得雙曲線的右焦點.不妨設點A在第一象限內,設,,因為,所以,得.又點A,B在雙曲線上,所以,得,則,所以AB的中點坐標為,直線AB的斜率,所以AB的垂直平分線的方程為,令,得.故選：A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質、直線與雙曲線的位置關系、向的坐標表示.試題綜合考查直線與雙曲線的位置關系,引導考生抓住解析幾何問題的本質,透過本質建立數與形之間的聯系,體現了直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養.4．已知拋物線，焦點為，圓，過的直線與交于、兩點（點在第一象限），且，直線與圓相切，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設點、，可得，且，由結合向量的坐標運算以及可求得點的坐標，進而可求得直線的方程，由直線與圓相切，得出圓心到直線的距離等于圓的半徑，由此可求得實數的值.【詳解】拋物線的焦點為，設點、，則，且，由得，，由，即，即，可得，，所以，點的坐標為，直線的斜率為，則直線的方程為，即，將圓的方程寫為標準式得，則，可得.由于直線與圓相切，則，解得，合乎題意.故選：B.【點睛】本題考查利用直線與圓相切求參數，同時也考查了利用拋物線中向量共比例關系求直線方程，考查計算能力，屬于中等題.5．已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于、兩點，若，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設雙曲線的右準線為，過、分別作于，于，于，根據直線的斜率為，得到，再利用雙曲線的第二定義得到，又，結合求解.【詳解】設雙曲線的右準線為，過、分別作于，于，于，如圖所示：因為直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，∴，，由雙曲線的第二定義得：，又∵，∴，∴故選：B【點睛】本題主要考查雙曲線的第二定義的應用以及離心率的求法，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.6．已知點與拋物線，過拋物線焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，與y軸交于點，若，且直線QA的斜率為1，則（）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】判斷A、B的位置，結合向量關系，推出A、B橫坐標與縱坐標的關系，通過直線的斜率關系，轉化求解即可.【詳解】解：由題意可知A在第一象限，B在第四象限，設，由，所以，得，又，所以，又A、F、B三點共線，可得，即，可得，∴，，，由QA斜率為1可得：，即，則.故選：C.【點睛】在直線和拋物線的位置關系中，結合向量共線考查求拋物線中的參數；基礎題.二、解答題7．在平面直角坐標系xOy中，設橢圓（）的左、右焦點分別為、，左頂點為A，上頂點為B，離心率為e．橢圓上一點C滿足：C在x軸上方，且⊥x軸．（1）如圖1，若OC∥AB，求e的值；（2）如圖2，連結并延長交橢圓于另一點D．若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據軸，設C，，再根據點C在橢圓上求得其坐標，然后再根據OC∥AB，由求解.（2）設，，由（1），，然后用表示D的坐標，代入橢圓方程求解.【詳解】（1）設橢圓的焦距為2c．∵軸可設C，，因為，所以，解得，∴C∵OC∥AB，所以∴b=c∴.（2）設，，由（1）知：，，，，∵∴，所以，，∴又∵D在橢圓上∴，化簡得：又∵，∵，，則，解得：所以取值范圍是．【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率的常用方法：①直接求出a，c來求解e.通過已知條件列出方程組，解出a，c的值；②構造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關于a，c的二元齊次方程，然后轉化為關于離心率e的一元二次方程求解；③通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．(2)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求橢圓相關量的范圍時，要注意應用這些不等關系．8．已知橢圓經過點，離心率為.（1）求曲線的方程；（2）設直線與曲線交于兩點，點為中點，與曲線的另一個交點為，設，試求出的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由橢圓的離心率及經過的點列方程即可得解；（2）設，由韋達定理得、，再由平面向量的數乘運算可得，代入橢圓方程運算即可得解.【詳解】（1）由題意得，解得，的方程為；（2）設，將代入得，所以，所以，由點為中點得，由得，所以，因為在橢圓上，所以，所以，即，又因為，所以，化簡得，解得（負值舍去）.【點睛】解決本題的關鍵是設出點的坐標，利用韋達定理及向量的數乘對條件合理轉化，細心計算即可得解.9．已知橢圓：的兩個焦點為，，焦距為，直線：與橢圓相交于，兩點，為弦的中點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線：與橢圓相交于不同的兩點，，，若（為坐標原點），求的取值范圍.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）為弦的中點,設，,代入橢圓方程利用點差法可求解.（2）由，，三點共線，，根據三點共線性質可得：，則，將直線的方程和橢圓方程聯立，利用韋達定理即可求得答案.【詳解】（1）∵焦距為，則，設，，∵為弦的中點，根據中點坐標公式可得：，，又∵將，代入橢圓：∴∴將兩式作差可得：，所以，所以………①.∵………②由①②得：所以橢圓的標準方程為.（2）∵，，三點共線，∴根據三點共線性質可得：，則設，，則，∴.將直線和橢圓聯立方程消掉.可得：.………③，根據韋達定理：，，代入，可得：，，∴，即.∵，，∴………④，代入③式得，即，∴，∴滿足④式，∴或.【點睛】本題考查橢圓的中點弦問題，考查直線與橢圓的綜合問題，聯立方程，韋達定理的應用，屬于中檔題.10．如圖，已知橢圓，，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓的上頂點，直線交橢圓于另一點.（1）若，求橢圓的離心率；（2）若橢圓的焦距為2，且，求橢圓的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據得到，，可得；（2）設，根據得到，，代入，解得，可得，從而可得橢圓方程.【詳解】（1）若，則和為等腰直角三角形．所以有，即．所以，．（2）由題知，，設，由，得，所以，．代入，得．即，解得．所以，所以橢圓方程為．【點睛】本題考查了求橢圓的離心率，考查了求橢圓方程，考查了平面向量共線的坐標表示，屬于中檔題.11．已知橢圓：（），為坐標原點，長軸長為4，離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設直線的方程為：，點為橢圓在軸正半軸上的頂點，過點作，垂足為，點在橢圓上（不同于點）且滿足：，求直線的斜率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由長軸長為4求a，再由離心率求c，根據橢圓的性質求b，從而得到橢圓方程．（2）橢圓的右頂點為．直線，直線的方程為，分別與橢圓方程聯立，求出的縱坐標，利用向量關系，轉化求解直線的斜率即可．【詳解】（1）由橢圓的離心率，長軸長為4可知，，∴，∴橢圓的方程為．（2）橢圓的右頂點為．由題可知，直線：，直線的方程為，由，可知，由，得，則，∵，∴，則∵，∴，解之，．【點睛】本題考查橢圓的簡單性質以及橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，同時考查了平面向量的坐標運算，考查計算能力，屬于綜合題.12．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過且與軸垂直的直線被橢圓和圓截得的弦長分別為2和.（1）求的標準方程；（2）已知動直線與拋物線：相切（切點異于原點），且與橢圓相交于，兩點，問：橢圓上是否存在點，使得，若存在求出滿足條件的所有點的坐標，若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，點坐標為或【分析】（1）（1）設直線方程為，分別與橢圓方程，圓聯立解得交點坐標，再根據弦長分別為2和.求解.（2）設：，，，，與拋物線方程聯立，根據與相切，則，與橢圓方程聯立，由結合韋達定理得到Q坐標代入橢圓方程求解.【詳解】（1）設直線方程為，與橢圓方程聯立解得，所以，直線方程為，與圓聯立解得，所以，解得，故：.（2）由題知存在且斜率不為0，設：，，，，聯立，得，因為與相切，故，聯立，得，所以，，，又，所以.因為，所以，由韋達定理，代入計算得，因為點在橢圓上，即，代入得，即，，解得或（舍），所以，此時點坐標為或.【點睛】本題主要考查直線與橢圓，直線與拋物線，直線與圓的位置關系，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.13．已知橢圓的離心率是，且橢圓經過點，過橢圓的左焦點的直線與橢圓交于,兩點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）依題意得到方程組，解得即可；（2）設直線的方程為，，，聯立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，由，可得，從而求出參數的值，【詳解】解：（1）設橢圓的半焦距為.由題意可得解得，.故橢圓的標準方程為.（2）由（1）可得當直線的斜率為0時，，或，，此時，不符合題意.當直線的斜率不為0時，可設直線的方程為，，.聯立，整理得，則，因為，所以.從而，，則，解得.故直線的方程為.【點睛】本題考查待定系數法求橢圓方程，直線與橢圓的綜合應用，屬于中檔題.14．已知過點的直線與拋物線相交于A，B兩點.（1）若，且點A在第一象限，求直線AB的方程；（2）若點A，B在直線上的射影分別為，，線段的中點為Q，求證.【答案】（1）；（2）證明見解析；【分析】（1）由題意，設過點的直線的斜率為，則．然后由，根據定比分點的知識，可得，．將，代入最終可得到的值，則即可求出直線的方程；（2）先聯立直線與拋物線方程，整理得到一元二次方程，根據韋達定理有，．再根據題意寫出，，，．再根據平行向量的坐標公式進行代入計算即可證明．【詳解】（1）解：由題意，設過點的直線的斜率為，則．設，，，．，根據定比分點的知識，有，，．聯立，消去，整理得．解得，，，整理，得，解得．直線的方程為．（2）證明：根據（1），聯立直線與拋物線方程，得，整理，得．則，．，，，．，．，，，．．．【點睛】本題主要考查直線與拋物線的綜合問題，考查了定比分點的應用，平行向量坐標公式的應用，考查了邏輯思維能力和數學運算能力．屬于中檔題．15．已知，直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，，線段的中點為．（1）若，點在橢圓上，、分別為橢圓的兩個焦點，求的范圍；（2）若過點，射線與橢圓交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時直線斜率；若不能，說明理由．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求得焦點坐標，設，運用向量數量積的坐標表示，結合橢圓的范圍，可得所求范圍；（2）設，的坐標分別為，，，，運用中點坐標公式和點差法，直線的斜率公式，結合平行四邊形的性質，即可得到所求斜率．【詳解】解：（1）時，橢圓，兩個焦點，，，，設，可得，即，，，，，，因為，所以的范圍是；（2）設，的坐標分別為，，，，可得，，則，兩式相減可得，，即，故，又設，，直線，即直線的方程為，從而，代入橢圓方程可得，，由與，聯立得，若四邊形為平行四邊形，那么也是的中點，所以，即，整理可得，解得，經檢驗滿足題意，所以當時，四邊形為平行四邊形．【點睛】本題考查橢圓的方程和性質，考查直線和橢圓的位置關系，注意運用點差法，考查向量數量積的坐標表示，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．16．設拋物線：焦點為，準線為，為上一點，已知以為圓心，為半徑的圓交于、點．（Ⅰ）若，的面積為，求的值及圓的方程；（Ⅱ）若點在第一象限，且、、三點在同一直線上，直線與拋物線的另一個交點記為，且，求實數的值．【答案】（Ⅰ），圓為：；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）依題意可得為正三角形，且，根據的面積，即可求出，從而得到圓的方程；（Ⅱ）依題意可得直線的傾斜角為或，由對稱性可知，設直線：，，，聯立直線與拋物線方程消元列出韋達定理，由，即可得到，解得即可；【詳解】解：（Ⅰ）焦點到準線的距離為，又∵，，∴為正三角形．∴，，∴，，∴圓為：．（Ⅱ）若、、共線，則，∴，∴直線的傾斜角為或，由對稱性可知，設直線：，，，，聯立，∴，，或，又，，，所以．【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合應用，向量共線求出參數的值，屬于中檔題.17．已知拋物線，過拋物線的焦點且垂直于軸的直線交拋物線于兩點，.（1）求拋物線的方程，并求其焦點的坐標和準線的方程；（2）過拋物線的焦點的直線與拋物線交于不同的兩點，直線與準線交于點.連接，過點作的垂線與準線交于點.求證：三點共線.【答案】（1）拋物線的方程為，焦點坐標為，準線方程為（2）證明見解析【分析】（1）根據拋物線通徑的性質，得出，即可求出拋物線的標準方程，即可得出焦點坐標和準線方程；（2）根據題意，設直線，與拋物線方程聯立，求出則，，通過直線相交分別求出和，從而求出和，通過化簡求出，即可證出三點共線.【詳解】解：（1），則，故拋物線的方程為：，其焦點坐標為，準線方程為：（2）設直線，聯立，得，則，設，，則，.法1：直線，由得，故點，直線的斜率，則直線的斜率，直線，則點直線的斜率.直線的斜率，由得，則，所以三點共線.法2：直線，由得，故點，由，得.直線的斜率，直線，得點，由，得.直線的斜率.直線的斜率，由得，由，得，則有.所以三點共線.法3：（1）∵，∴，∴，∴，，∴拋物線的標準方程為：，則焦點坐標為：，準線方程為：.（2）設直線，聯立得：，，設，，∴直線，當時，，∴，∴，∴，∴直線，當時，，∴，∴，，∴，∴，∴共線.【點睛】本題考查拋物線的標準方程和簡單幾何性質，以及直線與拋物線的位置關系，通過聯立方程組，韋達定理，利用直線斜率的關系證明三點共線，考查轉化思想和計算能力.18．已知拋物線上的焦點為.（1）求拋物線的標準方程；（2）過作斜率為的直線交曲線于、兩點，若，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據焦點坐標求得，結合拋物線的開口方向求得拋物線的標準方程.（2）聯立直線的方程和拋物線方程，寫出根與系數關系，結合求得的值，進而求得直線的方程.【詳解】（1）依題意，拋物線的焦點為，開口向上，，所以曲線的方程為：；（2）設過的斜率為的直線方程為：，聯立，消去并化簡得.令、，所以，，由題可知：，即：，即得，由，，得：，，所求直線的方程為：.【點睛】本小題主要考查拋物線方程的求法，考查直線和拋物線的位置關系，屬于中檔題.19．已知橢圓（1）求橢圓的標準方程和離心率；（2）是否存在過點的直線與橢圓相交于，兩點，且滿足．若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1），；（2）存在，7x﹣+3＝0或7x+﹣3＝0【分析】（1）將橢圓方程化為標準方程，可得a，b，c，由離心率公式可得所求值；（2）假設存在過點P（0，3）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且滿足，可設直線l的方程為x＝m（y﹣3），聯立橢圓方程，消去x可得y的二次方程，運用韋達定理和判別式大于0，再由向量共線的坐標表示，化簡整理解方程，即可判斷是否存在這樣的直線．【詳解】（1）由，得，進而，；（2）假設存在過點P（0，3）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且滿足，可設直線l的方程為x＝m（y﹣3），聯立橢圓方程x2+2y2＝4，可得（2+m2）y2﹣6m2y+9m2﹣4＝0，△＝36m4﹣4（2+m2）（9m2﹣4）＞0，即m2＜，設A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝，y1y2＝，①由，可得（x2，y2﹣3）＝2（x1，y1﹣3），即y2﹣3＝2（y1﹣3），即y2＝2y1﹣3，②將②代入①可得3y1﹣3＝，y1（2y1﹣3）＝，消去y1，可得?＝，解得m2＝，所以，故存在這樣的直線l，且方程為7x﹣y+3＝0或7x+y﹣3＝0．【點睛】本題考查橢圓的方程和性質，考查直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理，同時考查向量共線的坐標表示，考查化簡運算能力和推理能力，屬于中檔題．20．設分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓相交于兩點，直線的傾斜角為,到直線的距離為.（1）求橢圓的焦距；（2）如果，求橢圓的方程.【答案】（1）4；（2）.【分析】（1）由題意可設直線的方程為，再利用點到直線的距離公式即可求解.（2）由（1）可得，聯立方程消，求出兩交點的縱坐標，再由得出兩交點縱坐標的關系即可求解.【詳解】（1）由題意可得：直線的方程為，到直線的距離為，，解得，橢圓的焦距.（2）由（1）可得，設，，，，聯立，整理可得，解得，，因為，所以，即，解得，又，故，故橢圓的方程為.【點睛】本題考查了橢圓的簡單幾何性質、直線與橢圓的位置關系，此題要求有較高的計算求解能力，屬于中檔題.21．設橢圓左焦點為，過點的直線與橢圓交于兩點，直線的傾斜角為，且（1）求橢圓的離心率；（2）若，求橢圓的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設直線方程為，聯立，解得，根據，由求解.（2）根據，結合（1）的數據代入求解.【詳解】（1）設，由題意得，直線方程為：，聯立得，解得，因為，所以，即，所以.（2）因為，所以，又，則，解得，所以橢圓的方程是.【點睛】本題主要考查橢圓的離心率的求法和橢圓方程的求法以及平面向量的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.22．如圖，已知橢圓：，點，是它的兩個頂點，過原點且斜率為的直線與線段相交于點，且與橢圓相交于、兩點．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由橢圓的方程可得，的坐標，設直線，的方程分別為，，，，，，，，且，滿足方程，進而求得的表達式，進而根據，求得的表達式，由在上知，進而求得的另一個表達式，兩個表達式相等求得．（Ⅱ）由題設可知和的值，設，，進而可表示出四邊形的面積，進而根據基本不等式的性質求得最大值．【詳解】（Ⅰ）橢圓：，，，直線，的方程分別為，．如圖，設，，，，，，其中，且，滿足方程，故．①由，知，得，由在上知，得，所以，化簡得，解得或．（Ⅱ）由題設，，．由（Ⅰ）知，，，，，不妨設，，由①得，根據與關于原點對稱可知，故四邊形的面積為，當時，上式取等號．所以的最大值為．【點評】本題主要考查了直線與橢圓的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內容，問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運算量繁簡差別很大．23．已知點是拋物線的焦點，過的弦被焦點分成兩段的長分別是2和6.（1）求此拋物線的方程；（2）是拋物線外一點，過點作拋物線的兩條切線，（，是切點），兩切線分別交軸于，，直線交拋物線對稱軸于點，求證四邊形是平行四邊形.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）設過的弦所在直線方程為：，其與拋物線交于，證明，則可求解.（2）設，，根據切線分別表示出直線、的方程，則、的坐標能表示出，聯立直線、的方程，則的坐標可表示出，表示出直線的方程，則的坐標可表示出，最后說明即可.【詳解】解：（1），設過的弦所在直線方程為：，其與拋物線交于，聯立，即，，所以，不妨設，，，∴此拋物線的方程為：；（2）設，，，∴直線的方程為：，即：；令，所以，同理，直線的方程為：；令，所以，直線的方程為：，即：；令，所以，，所以，，，所以，∴四邊形是平行四邊形.【點睛】以直線和拋物線的位置關系為載體，考查求拋物線的標準方程，同時考查用向量法證明四邊形是平行四邊形，難題.24．設拋物線的焦點為，過的直線與拋物線交于點和，且恒.（1）求的值；（2）直線過與軸平行，直線過與垂直，若與交于點，且直線與軸交于點，求直線的斜率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直線與拋物線方程聯立，利用韋達定理得，建立關于的方程，從而得到答案；（2）分別求出三點坐標用表示，由三點共線得到關于的方程，求得答案.【詳解】（1）由條件得.易知不垂直于軸，可設：.由得，所以，所以.（2）由（1）知拋物線方程為，.設，由題易知且.因為，所以，所以的斜率為，直線的斜率為.直線：，直線：，所以.由，，三點共線得，解得.所以直線的斜率為.【點睛】本題主要考查直線方程、直線與拋物線的位置關系.屬于中檔題.25．已知圓，直線與圓交于不同的兩點．（1）求實數的取值范圍；（2）若，求直線的方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】試題分析：（Ⅰ）由直線與圓有兩個不同交點得，圓心到直線距離小于半徑，或利用直線方程與圓方程聯立方程組有兩個不同的解列判別式恒大于零，列出關于的限制條件，解出的取值范圍；（Ⅱ）由得為的中點，設，則，代入圓方程得，，解方程組可得或，因此可出求直線的方程試題解析：（Ⅰ）將直線的方程代入圓的方程后，整理得，依題意，直線與圓交于不同的兩點．又∵，∴只需，解得的取值范圍為．（Ⅱ）由已知為的中點，設，，則，①，②解①②可得或，∴直線的方程為考點：直線與圓位置關系三、填空題26．已知拋物線C：的焦點為F，直線l：與C交于P、Q(P在x軸上方)兩點，若，則實數λ的值為_______【答案】【分析】先求出、、，再求出和，最后建立方程求即可.【詳解】解：由題意聯立方程組，解得或因為P在x軸上方，所以、,因為拋物線C的方程為，所以，所以，因為，所以，解得：，故答案為：【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系、拋物線的幾何性質、利用共線向量求參數，是中檔題27．已知點在拋物線：上，過點的直線交拋物線于，兩點，若，則直線的傾斜角的正弦值為______.【答案】【分析】求出，設過點的直線方程為，將直線與拋物線聯立，利用韋達定理可得，，根據向量可得，從而求出直線的傾斜角，即求.【詳解】因為點在拋物線：上，所以，得，所以，設過點的直線方程為：，所以，所以，設，，所以，，又因為，所以，所以，因為直線的斜率，由，所以或，所以.故答案為：【點睛】本題考查了直線與拋物線的位置關系，考查了基本運算求解能力，屬于中檔題.28．設，分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線交橢圓E于A，B兩點．若，軸，則橢圓E的方程為________．【答案】【分析】根據軸，可求得A點坐標，又，得，則可求得B點坐標，代入橢圓方程，即可求得，即可得答案.【詳解】設，因為軸，所以，代入橢圓方程得，設，因為，得，所以，解得，即，又B在橢圓上，將代入橢圓方程得：，又，解得，所以橢圓方程為：故答案為：.【點睛】本題考查橢圓的幾何性質，將，轉化為，可大大簡化計算，考查分析理解，求值計算的能力，屬基礎題.29．已知直線與拋物線相交于、兩點，拋物線的準線與軸的交點為，且滿足，則的值是______.【答案】【分析】設點、，設，可得出直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，由可知點為線段的中點，可得，結合韋達定理可求得正數的值，即可得出的值.【詳解】設點、，設，則直線的方程為，則點，將直線的方程與拋物線的方程聯立，消去得，，，解得.由韋達定理得，，，則，，即，，，，解得，所以，.故答案為：.【點睛】本題考查利用拋物線中向量共線求參數，考查韋達定理設而不求思想的應用，屬于中等題.30．已知點，橢圓上兩點A，B，存在異于P，A，B的點E，滿足，則點B的橫坐標的取值范圍為________.【答案】【分析】由題意結合平面向量的線性運算法則可得，設，，由平面向量基本定理可得，代入橢圓方程可得，進而可得，結合二次函數的性質即可得解.【詳解】由可得即，∴.設，，則，，∴即，又點A，B均在橢圓上，則即，解得，而，又，∴，.故答案為：.【點睛】本題考查了橢圓性質的應用及向量的線性運算，考查了運算求解能力及轉化與化歸思想，屬于中檔題.31．已知直線經過拋物線:的焦點，與交于，兩點，其中點在第四象限，若，則直線的斜率為______.【答案】【分析】根據題中所給條件，設出直線方程為，聯立直線方程與拋物線方程，依據條件，得出交點橫坐標之間的數量關系，然后再根據韋達定理，求出交點橫坐標，從而求得結果．【詳解】依題意，拋物線的焦點設直線的方程為由得，設，，，，且，即，，解得或或又，所以，，得解得：，結合圖象得.故答案為：【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關系，考查了韋達定理的應用，考查了學生的運算求解能力.四、雙空題32．已知拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為，則______；過點作斜率為的直線交拋物線于兩個不同點，．若，則實數的值為______．【答案】4【分析】（1）解方程，即得的值；（2）由題可知，設，，直線的方程為，聯立直線和拋物線的方程得到韋達定理，由可得，即可求出的值.【詳解】由題得拋物線的焦點為，且點到雙曲線的漸近線的距離為，則，解得．由題可知，設，，直線的方程為，與聯立，消去可得，則，．由可得，即，即，因此，，整理得，即．所以實數的值為．故答案為：4；.【點睛】本題主要考查拋物線和雙曲線的幾何性質，考查直線和拋物線的位置關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.新高考數學培優專練共39講（附解析版）目錄如下。全套39講（附解析）word版本見：高考高中資料無水印無廣告word群559164877新高考數學培優專練01圓錐曲線中的弦長問題（原卷板及解析版）新高考數學培優專練02圓錐曲線中的面積問題（原卷板及解析版）新高考數學培優專練03圓錐曲線中的中點弦問題（原卷板及解析版）新高考數學培優專練04圓錐曲線