南師大附中2022-2023學年度第一學期高二10月月考

數學試卷2022.10

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.設直線44的斜率和傾斜角分別為占，％2和%,%，則“占＞〃2”是的

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】當傾斜角均為銳角或均為鈍角時，若“Ai＞Jb”則“包＞。2為若“0|＞。2"則“A1＞A2”,

當傾斜角一個為銳角一個為飩角時，不能確定，

故"一＞一”是“?＞一”的既不充分也不必要條件.

2.已知直線ox+by+1=0與直線4x+3y+5=0平行，且ar+by+l=0在y軸上的截距為

則a+b的值為

3

A.-1B.-7C.1D.7

【捽案】B

【解析】av+"+l=0與11線4.什3）+5=0平行，，4b=3a,

又宜線以+6/1=0在y軸上的被距為4■,.?冬+1=0,解得6=-3,."=-4,U|Ia+b=-7.

oJ

3./r，2是分別經過4（1，1）3（0,一1）兩點的兩條平行直線，當小，2間的距離最大時，直線

/1的方程為

A.x+2y—3=0B.x—2y—3=0C.2x—y—l=0D.2x—y—3=0

【答案】A

【解析】由題析杼,h,，2間的距離最大時，力8和這兩條立線都理立.

IllAB斜率為?空=2得百線/i的斜率為-g故方程是尸1=（X-1），化簡為x+2v-3=0.

1-022

4.體育老師記錄了班上10名同學1分鐘內的跳繩次數，得到如下數據：88,94,96,98,

98,99,100,101,101,116.這組數據的60百分位數是

A.98B.99C.99.5D.100

【答案】C

【解析】10X60%=6,故這組數據的60%分位數是1x（99+100）=99.5.

5.已知圓G：（X—3）2+0+2）2=1與圓C2：（X—7）2+8—1）2=50—4,若圓G與圓G有且僅

高二數學試卷第1頁（共13頁）

有一個公共點，則實數”的值為

A.14B.34C.14或45D.34或14

【答案】D

【肝析】兩圓圓心距d=J(3-7，+(-2-l)2=5,貝“同二￡-1|=5或|病二￡+1|=5,舸得。=34或14.

6.已知點”(2,—3),8(—3,-2).若直線/：mx-\—機-1=0與線段相交，實數機的取

值范圍是

3333

A.(-co,--]U[4,+oo)B.4]C.(-00,-4]U+oo)D.[-4,-]

4444

【答案】A

[解析】直線/：m.v+j-m-1=0化簡得m(^-1)+j-1=0?故該直線恒過定點P(1?1).

故kAP=-4,kPB=—,立紋在PA和PB之間時，滿足一切22或-冽V-4,即mw(-co,--]U[4,+00)

7.已知4為直線/：3x—4y+m=0上一點，點僅4,0),若||48『+依。『=16(。為坐標原點),

則實數機的取值范圍是

A.[-4,16]B.[-16,4]C.(-4,16)D.(-16,4)

【答案】B

【佛折】設4(X,y),則?8|2+MO|2=16,B(4,0),:.(x-4)2+>2+?+>-2=16,即(x-2)2+^=4,

又X在直線/上，即宜紋/與陰(x-2)2+,=4有公共點，.16；"；/,解得陽e|-i6,4].

8.設點/(I,0),8(4,0),動點「滿足2網|=/8|,設點P的軌跡為G，圓

。2：(x+S)斗。-3尸=4,G與G交于點M,N,0為直線0。2上一點(°為坐標原點)，則

MNMQ=

A.4B.C.2D.S

【答案】C

高二數學試卷第2頁(共13頁)

【解析】設p(x,J，)，rtl2\PA\=\PB\n2V(x-1)2+y2=V(x-4)2+y2?

整理得『+『=4,即Ci為F+J2=4；

又一。2：(“+石)2+()'-3)2=4,

聯立Cl與Cl得MN：瓜-3y+6=O.

：.O點到直線MV的距離d=—坦==V3.

V379

|AW|=2sM2-/=2斥I=2,

:.MN-MQ=MN-(^O+OQ)=MN-MO=^\MN\1=^22=2.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.如圖為某市某年國慶節7天假期的樓房認購量與成交量的折線圖，某同學根據折線圖對

這7天的認購量（單位：套）與成交量（單位：套）作出如下判斷，則判斷正確的是

A.日成交量的中位數是16

B.日成交量超過平均成交量的只有1天

C.10月7日認購量的增長率大于10月7日成交量的增長率

D.日認購量的方差大于日成交量的方差

'?一,91一，2.」叱一-TS/

00

50

10月舊10月2日10月汨10月，日10月5日10月6曰10月7日日期

?—一■■認購~~?~~成交

高二數學試卷第3頁（共13頁）

【答案】BD

【解析】對于/,日成交量從小到大排列為：8,13,16,26,32,38,166,所以中位數是26,選項4鉗誤:

對于8,日成交量的平均數為《X（8+13+16+26+32+38+166）=2盥243,

77

所以日成交Wt超過平均值的只有10月7日I天，選項8正確：

對于C.10月7日認購房的增幅為164套，10月7日成交量的增幅為128套，

計算認購量增長率為里=1.464,成交量增長率為喑％3368,所以選項C錯誤；

對于0,因為日認購量的數據分布較分散些，方差大些，

所以日認購量:的方差大于日成交量的方差，選項D正確.

綜上所述，故選BD.

10.下列敘述中，正確的是

A.某班有40名學生，若采用簡單隨機抽樣從中抽取4人代表本班參加社區活動，那么學

號為04的學生被抽到的可能性為40%

B.某大學為了了解在校本科生對參加某想社會實踐活動的意向，采用分層抽樣的方法從該

校四個年級的本科生中抽取一個容量為500的樣本進行調查.已知該校一、二、三、四年級

本科生人數之比為8：5：4：k,若從四年級中抽取75名學生，則％=3

C.一組數據按從小到大的順序排列為1,4,4,x,7,8（其中xW7）,若該組數據的中位數

是眾數的工倍，則該組數據的平均數是6

4

D.四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現的點數，得到四組數據，若某組數據的

平均數為2,方差為2.4,則這組數據一定沒有出現6

【答案】BD

【解析】Ax；學號為04的學生被抽到的可能性為冬=10%,錯誤,

40

B：；抽樣比為意.?.A=3,...8正確,

5008+5+4+k

C：；數據I,4,4,x,7,8（其中xH7）的中位數為等，眾數為4,

二生區=4x5,；.X=6,即該組數據的平均數是1+4+4+6+7+8=5,二C錯誤.

246

D-.若這組數據有6,則方差s2d（61,2=孕＞2.4,二。正確,

55

綜上所述，故選80.

11.已知圓C：x2+J-%+3=0,一條光線從點P（2,1）射出經x軸反射，下列結論正確的

是

高二數學試卷第4頁（共13頁）

A.圓C關于x軸的對稱圓的方程為f+/+4y+3=0

B.若反射光線平分圓C的周長，則入射光線所在直線方程為3x—2y—4=0

C.若反射光線與圓C相切于Z,與x軸相交于點8,則|P8|+|R1|=2

D.若反射光線與圓C交于“，N兩點，則ZCNM面積的最大值為1

2

[答案】ABD

【卿析】對于“：由于1MIC的方程為：/-4盧3=0,轉換為標準式為『+（y2）2=],則閱C關于x軸對稱的

硼的方程為『+（尹2）2=|,E|jX2+/+4>H-3=0.故4正確；

對于8：反射光線平分閱C的周長，故該反射光線經過陰心（0,2）.故入射光線的斜率%=上133,

2-02

所以入射光線的方程為y-l[（x-2），整理得3x-2j，-4=O,故8正確：

對于C：由十反射光線經過點P（2,】）的關于x軸的對稱點P'（2.-1）.

則|PB|+|B川=儼'A\^\BA\=\P'A\.如圖所示：

所以|/”|=J|pzC|2-1=。(2-0)2+(-/2)2=W^,所以|P8|+|B川=]2遮，故C錯誤:

對于。：設NCMV=0,eC（0,-y-）.則留心C（0.2）到且線（X-2）的距離d=sin0：

|叔Y|=2cos8,所以S^CUK.*d*|UN|=sin8cos9=ysin29?

jri

當8#時，面枳的鼓大值為士，故。正確.

42

綜上所述，故選/BD.

12.在平面直角坐標系xOy中，圓O：，+y2=],若曲線y=%|x—1|+2上存在四個點

2,3,4）,過動點R作圓。的兩條切線，4,8為切點，滿足PM,尸,8=京則人的值可能為

A.-7B.一5C.-2D.—1

【答案】ABC

=

【輯析】設產‘（"，，n）.連接PQ,設N/tPQ=NBPQ=6,則|尸,。|=痛力，cosG|p^Q|2'

高二數學試卷第5頁（共13頁）

2

AcosZ.APtB=cos29=I-2sin~9=1

m+n

V|PJ|=|P,5|=Vm2+n2.1(

二亙7"77=|PM"，8|COS4HB=WK+f-l)2(1「2)=卑，

11m"+n"2

令”P+，，=，，則(r-1)(1-2)=與，解得，=4或/=5，

t22

VP,(m.n)在單位冏外，...s!舍去，即尸，5,?)在以原點為例心，半轉為2的網上,

?.?曲線產砧-1|+2上存在四個點戶，"=1,2.3.4).

即)=米-1|+2與例f+)2=4有4個點P,(,'=1,2,3,4),即y=Ajx-1|+2與㈱;P+)2=4Tf4個交點,

結合圖象可知，“<0幾只需要原點到直線)，=”(x-1)+2的距離小于半徑2即可，

綜上所述，故選XBC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.9月19日，航天科技集團五院發布消息稱，近日在法國巴黎召開的第73屆國際宇航大

會上，找國而飲火星探測天問一號任務團隊獲得國際宇航聯合會2022年度世界航天獎，為

科普航天知識，某校組織學生參與航天知識競答活動，某班8位同學成績如下：7,6,8,9,

8,7,10,m.若去掉機，該組數據的下四分位數保持不變，則整數用(IW/MWIO)的值可以

是(寫出一個滿足條件的m值即可).

【答案】7或8或9或10

【削析】因為八個數字，下四分位數就是第二個數和第三個數的平均值，

而七個數的下四分位數就是第二位的數

去掉"，后，從小往大排列分別是6,7,7……也就是說，笫2個數和第3個數都是七

所以只要加27,就是排在第四個數往后，不管是8,9,10都不會影響.

14.若直線x—y+"?=0(,">0)與圓(x—if+G，-19=3相交所得的弦長為"?，則m

高二數學試卷第6頁(共13頁)

【答案】2

【航'析】閱心C(1,1)到K線x-j+，”=0(/n>0)的距離1=力^",

.______2

又點線與圓相交所得的弦長為附，即w=2Vr2-d2，m2=4(3-Y).解得”，=2.

15.已知平面直角坐標系中，A[~\,0),B(l,-1),若4B,C是等邊三角形的頂點，且

依次按逆時針方向排列，則點C的坐標是.

【答案】(亭,JJ-；)

【解析】設C(X,y),

等邊三用形/8C中C/=/8,HM(x+l)2+y2=4(-l-l)2+i2,整理得(*+|)^=5,①，

設48的中點A/(0,-1■),直線48的斜率為-1,所以宜線CA/的斜率為2,

22

y或1c

即一乙=2,整理得y=2x-々，②

x2

①②聯立，解得/=w,

4

因為4,B,C依次按逆時針方向排列，所以x>0,故C(正,G-工).

22

16.已知/(x)是定義在R上的奇函數,其圖象關于點(20)對稱，當xW[0,2]時,/仁)=不石二i7,

若方程式x)—%(x—2)=0的所有根的和為6,則實數k的取值范圍是.

【答案】{-g}UC^，+8)

【解析】方程/(x)-k(X-2)=0的根轉化為)，=/(x)和y=?(x-2)的圖象的公共點的橫坐標，

因為兩個圖象均關于點(2,0)對稱，要使所布?根的和為6,則兩個圖象tffl只ff3個公共點.

作出y=/(x)和)，=A(x-2)的圖象如圖所示.

當A>0時，只需立線y=A(x-2)與例(x-7)2+)2=1相高，可得噂：

當4<0時，只需直線y=A(x-2)與圓(x-5)2+)2=i相切，可得％=-返.

4

故A的取傷范圍是{-#}U(杏，+8).

高二數學試卷第7頁(共13頁)

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本小題滿分10分)

求滿足下列條件的圓的方程：

(I)經過點(2,—1)且和直線工一丁=1相切，同時圓心在直線y=-2x上的圓：

⑵經過點出一2,-4),且與直線/：*+3夕-26=0相切于點8(8,6)的圓.

【解析】

(1)設圓心A/(a,-2a),圓方程為心+(y+2a>=R?

(2—4+(-1+2。)2=代以=]以=9

,|a+2a-l|或

R=1_/~~1[R2=2]R2=338

即所求圓方程為(x-1)2+(y+2)2=2或(x-9尸+(y+18)2=338.

6+4

(2)長.出=?二=1=線段48的中垂線方程為y-l=-(x-3),即y=-x+4

8+2

過B點n與;垂立的立線為--6=3(x_8),即y=3x-18

圓心(5'-斜，半徑為尸=(-2-?)2+(-4+$2=與

y=3x-1822222

11112s

即所求同方程為。-止尸+()，+期2=子.

18.(本小題滿分12分)

已知點4(0,1),，從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為己知條件補

充在橫線處，并作答.

(1)求直線乙的方程；

(2)求直線七x—2y+2=0關于直線/1的對稱直線的方程.

條件①：點/關于直線4的對稱點8的坐標為(2,-1)；

條件②：點8的坐標為(2,-1),直線。過點(2,1)且與直線48垂直;

高二數學試卷第8頁(共13頁)

條件③：點C的坐標為(2,3),直線/1過點(2,1)且與直線4c平行.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【解析】

I選擇條件①，

(1)因為點A關于直線/)的對稱點B的坐標為(2,-1),所以h是線段AB的垂直平分線，

因為-I.所以直線/1的斜率為1,

2-0

又線段的中點坐標為(1,0),所以直線人的方程為y=x-1,即x-)，-l=O.

(2)/i：x-y-l=OV/2；x-2八2=0的交點坐標為(4,3),

因為/(0,1)在立線〃：x-2)+2=0上，A(0,I)關于/i對稱的點為8(2,-1),

立線/2關于直線八對稱的直線經過點(2.-I),(4,3),

代入兩點式方程得丫+1-'-2,即1r-)，-5=0,

3+14-2

所以/2：X-2)+2=0關于苴線/1的對稱直線的方程為2x-y-5=0.

19.(本小題滿分12分)

某城市100戶居民的月平均用電量(單位：千瓦時)以[160,180),[180,200),[200,220),

[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求直方圖中x的值：

(2)求月平均用電量的60百分位數和平均數(同組數據用該組區間的中點值作代表)：

(3)在月平均用電量為1240,260),[260,280),[280,300]的三組用戶中，用分層抽樣的方

法抽取6戶居民并從抽取的6戶中任選2戶參加一個訪談節目，求參加節目的2戶來自相同

組的概率.

【解析】

高二數學試卷第9頁(共13頁)

1(1)llj(0.002+0.0095+0.01l+0,0125+x+0.005+0,0025)X20=l得x=0.0075,所以宜方圖中x的值是0.0075.

(2)100x60%=60,0.002x20x100=4,0.0025x20x100=5,0.005x20x100=10,

0.0075x20x100=15,0.0095x20x100=19,0.011x20x100=22,0.0125x20x100=25.

4x170+5x290+10x270+15x250+19x190+22x210+25x230…，

=225.6.

100

(3)月平均用電最在［240,260)的用戶有0.0075X20X100=15戶

月平均用電量在［260,280)的用戶有0.005X20X100=10戶

月平均川電量在［280,300)的用戶有0.0025X20X100=5戶

所以在［240,260),［260,280),［280,300)中分別抽取3戶,2戶和1戶.

設參加節目的2戶米自相同組為事件基本事件總數〃=15,

事件/中包含的基本事件個數";=3+1=4,

4

參加節目的2戶來自相同組的概率戶(力)=行.

20.(本小題滿分12分)

已知圓C：(x-2)2+y2=25.

(1)設點M-1，|).過點M作直線/與圓C交于48兩點，若/8=8,求直線/的方程；

(2)設P是直線x+y+6=0上的點，過尸點作圓C的切線必1,PB,切點、為A,B,求證：經

過4P,C三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標.

【解析】

(1)根據題感，圓C的方程為(x-2)2+/=25,其圓心C為(2,0),半徑r=5,

若直線/的斜率不存在，即x=-l,代入圓方程得，y=±4,即卜8|=8,成立；

若直線/的斜率存在，設直線/的方程為y-畀*(x+l).即2Ax-2)+3+2A=0,

若4B=8,則圓心C到￡［紋/的即陷d=V25-16=3,則〃=洛絲季吐=3,解得

V4+4k24

即宜線/的方程為y-滬總(x+l),化簡得3*-儕9=0.

綜上所述，直線/的方程為、=-I或3x-4j+9=0.

.2)由于尸是宜線x+尸上的點，設P(m,-m-6),由切線的性質得47_LA1,

經過4P,C,的三點的圓，即為以PC為直徑的圓，則方程為(x-2)(x-m)+y(j-+m+6)=0,

整理得(j-x+2)=0,

高二數學試卷第10頁(共13頁)

戶42x+6y=0,x=-2

令'或

y-x+2=Qy=0y=-4

則經過兒P,C三點的網必過定點，所有定點的坐標為(2,0).(-2,-4).

21.(本小題滿分12分)

已知圓E：(XT)2+/=4與x軸交于4,8兩點，尸是該圓上任意一點，AP,尸5的延

長線分別交直線/：x=4于M,N兩點、.

(1)若弦/戶長為2,求直線P8的方程：

(2)以線段A/N為直徑作圓C,當圓C面積最小時，求此時圓C的方程.

【解析】

(1)在陰E：(x-I)2+)2=4中，令y=o,解得x=-l或x=3,

?:AP.?8的延長線分別交直線/：x=4于A/,N兩點，

：.A(-1,0),B(3,0),陰心(1,0)在x軸上,：.PALPB,

?.?弦”長為2,

PA1TT

\AB\—^f即sinNP8/l=—=—,?\NPBA=■,

AB26

當戶在X軸上方時，立絞尸8的斜率為tan(n-=)=-返，

63

:.直線PB的方程為y=-率(X-3),.?.缶+3y-3弧=0,

O

當P在x軸下方時，直線尸8的斜率為：tanP=號，

63

:.立線PB的方程為夕=卑G-3),.,.V3.r-3y-3V3=0,

V

綜上所述，直線PB的方程為心+3)，-3愿=0或北x-3)，-3百=0：

(2)由(I)知/(-I,0),B(3,0),PAA.PB,

設總線PA的斜率為k,因此直線PB的斜率為-X

于是直線小的方程為j，=A(x+l),令x=4,y^5k.即A/(4,5k),

直線尸8的方程為夕=-工＜x-3),令x=4,7=-▲,即N(4,-工)，

kkk

|MV|=|54+'^|=|5A|+|(]22^15k|°|=2V^，當旦僅當k=時取等號,

于是有以線段"