第五節 隱函數的求導公式第七章一、一個方程的情形二、方程組的情形

三、小結與思考練習本節討論:方程在什么條件下才能確定隱函數.例如,方程當C

<0

時,能確定隱函數;當C

>0

時,不能確定隱函數;在方程能確定隱函數時,研究其連續性、可微性及求導方法問題.一、一個方程的情形定理1

設函數則方程并有連續定理證明從略，僅就求導公式推導如下：在點的某一鄰域內滿足①具有連續的偏導數;②

F

(x0

,

y0

)

=

0;③

Fy

(x0

,

y0

)

?

0的某鄰域內可唯一確定一個單值連續函數y=f(x),滿足條件導數(隱函數求導公式)兩邊對x

求導d

y

=

-

Fxdx

Fy在的某鄰域內

Fy

?

0則在點(0,0)某鄰域并求例1

驗證方程可確定一個單值可導隱函數解:

令（補充題）則連續,①②③由

定理1

可知,

在

x=0的某鄰域內方程存在單值可導的隱函數

且=

-ex

-

ycos

y

-

xx

=

0,

y

=

0(

)dx

cos

y

-

xd

ex

-

y=

-(

cos

y

-

x

)2=

-=

-3x

=

0y

=

0y￠=

-1(

ex

-

y￠)(cos

y

-

x)

-(ex

-

y)(-sin

y

y

-1)x

=

0

=

-3dx2d

2

ysin

y

+

ex

-

xy

-1

=

0,

y

=

y(x)兩邊對x

求導￠兩邊再對x

求導-

sin

y

(

y￠)2

+

cos

y

y令

x

=

0

,

注意此時

y

=

0

,

y

=

-1ex

-

yy￠x

=

0=

-

cos

y

-

x

(0,0)（自行練習課本

例1）導數的另一求法—利用隱函數求導的某鄰域內具有連續偏導數,在點定理證明從略,僅就求導公式推導如下:定一個單值連續函數z=f(x,y),滿足并有連續偏導數若函數F

(x,y,z)滿足:①在點②

F

(x0

,

y0

,

z0

)

=

0③

Fz

(x0

,

y0

,

z0

)

?

0則方程 某一鄰域內可唯一確定理2F

(x,

y

,

f

(x

,

y

)

)

”

0兩邊對x

求偏導?z

=

-

Fx?x

Fz同樣可得則Fx

+

Fz”

02222+-

4

2

=

0?x?2

z2(

)?x1

+

?z?2

z2x

+

2z

?z

-

4

?z

=

0?x

?x再對x

求導例2

設解法1

利用隱函數求導x

+

y

+

z

-

4z

=

0,

求

.

（補充題）?x2兩邊對x

求偏導（自行練習課本

例2）解法2

利用公式設則二、方程組的情形由F、G

的偏導數組成的行列式稱為F、G

的雅可比(Jacobi)行列式.隱函數存在定理還可以推廣到方程組的情形.以兩個方程確定兩個隱函數的情況為例,即③則方程組的某一鄰域內可唯一確定一組滿足條件的單值連續函數且有偏導數公式:滿足:的某一鄰域內具有連續偏定理3

設函數①在點導數；②定理證明略.僅推導偏導數公式如下：Fv1Fu

FvGu

Gv?u

=

-

1

?(F

,

G)

=

-?x

J

?(

x,

v

)

Fu

FvGu

Gv?u

=

-

1

?(F

,

G)

=

-

1?y

J

?(

y,

v

)FuGu1Fu

FvGu

GvFu

FvGu

Gv1?v

=

-

1

?(F

,

G)

=

-?x J

?(

u,

x

)?v

=

-

1

?(F

,

G)

=

-?y J

?(

u,

y

)Gx

GvFxFy

FvGy

GvFxGxFu

FyGu

Gy有隱函數組則兩邊對x

求導得設方程組二元線性代數方程組解的公式在點P

的某鄰域內故得系數行列式?u

=

-

1

?(F

,

G)?x

J

?(

x,

v

)?v

=

-

1

?(F

,

G)?x

J

?(

u,

x

)同樣可得?u

=

-

1

?(F

,

G)?y J

?(

y

,

v

)?v

=

-

1

?(F

,

G)?y J

?(

u

,

y

)2

2

2

2例

3

求由方程組x

+

y

+

u

+

v

=1,x

+

y

+

u

+

v

=

2,確定的函數u(x,y)和v(x,y)的偏導數?u

，?u

，?v

和?v

.?x

?y

?x

?y分析：此題可以直接用課本中的公式（6）求解，但也可按照推導公式（6）的方法來求解.下面用后一種方法求解.解：將所給方程兩邊對x

求導，并移項，得?u

+

?v

=

-1,

?x

?x?u2u

+

2v=

-2x.?x?v?x在J

==2(v

-u)?0

的條件下，解得1

12u

2v1

12u

2v-1

1-2x

2v?ux

-

v=?x=v

-

u1

12u

2v1

-1?v

=

2u

-2x

=

u

-

x?xv

-

u將所給方程的兩邊對y

求導.用同樣方法在J

=2(v

-u)?0的條件下可得?y v

-

u?y v

-

u?u

=

y

-

v

，

?v

=

u

-

y

.例4設r(x,y)和q(x,y)由x=r

cosq

，y

=r

sinq

確定，求?r

，?r

，?q

，?q

.?x

?y

?x

?y

y

=

r

sinq解：方程組x

=r

cosq,兩邊對x

求偏導并移項，得xrx

cosq

-

r

sinq

qx

=1,r

sinq

+

r

cosq

q

=

0.

xsinqr

cosqcosq

-r

sinq在

J

= =

r(cos2

q

+

sin2

q)

=

r

?

0

的條件下，解得?r

=

cosq

，

?q

=-?x

?x

rsinq

.類似地，方程組兩邊對

y

求偏導，解得

?r

=

sinq

，

?q

=

cosq

.?y

?y

r內容小結隱函數(組)存在定理隱函數(組)求導方法方法1.

利用復合函數求導法則直接計算;方法2.

代公式課后練習習題7－51、3、5、7、10、11（1）（3）思考練習1.

設求???解法1:d

z

=

f1(dx

+dy

+

dz

+

f2

(yz

dx

+

xzdy

+

xyd

z解出dx

:dx

=

-(f1

+

xz

f2

)dy

+

(1-

f1

-

xy

f2

)dzf1

+

yz

f2由d

y,d

z

的系數即可得解法2：利用全微分形式不變性同時求出各偏導數.e

-

xy

=

2

,xy有連續的一階偏導數

,

又函數分別由下列兩式確定

:2.

設解:

兩個隱函數方程兩邊對

x

求導,

得d

u

y

ex

(x

-

z)d

x

=

f1￠-

x

f2￠+

[1

-

sin(x

-

z)

]f3sin(x

-

z)ex

(x

-

z)z￠=1-0d

t

,tsin

txx-ze

=(2001考研)解得因此是由方程和

所確定的函數,求解法1

分別在各方程兩端對

x

求導,

得(99考研)3.

設對各方程兩邊分別求微分:化簡得消去 可得解法2

微分法.雅可比(1804

–1851)德國數學家.他在數學方面最主要的成就是和挪威數學家阿貝兒相互獨地奠定了橢圓函數論的基礎.他對行列式理論也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引進了“雅可比行列式”并,應用在微積分中.他的工作還包括代數學,變分法,復變函數和微分方程,

在分析力學,動力學及數學