重難點03動點產生的面積問題目錄考點一：面積計算的問題考點二：與面積相關的函數解析式技巧方法技巧方法運動變化題是隨著圖形的某一元素的運動變化，導致問題的結論改變或者保持不變的幾何題，它揭示了“運動”與“靜止”、“一般”與“特殊”的內在聯系．解題的關鍵是分清幾何元素運動的方向和捷徑，注意在運動過程中哪些是變量，哪些不是變量，通常要根據幾何元素所處的不同位置加以分類討論，同時，綜合運用勾股定理、方程和函數等知識，本節課的內容涉及三角形、特殊的四邊形的面積問題．能力拓展能力拓展考點一：面積計算的問題本節主要是在函數背景下求三角形或四邊形的面積問題，較復雜的題目可以采取“割補”的思想構造較簡單的圖形進行求解．一、解答題1．（2022秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┰诰匦沃?，，分別以、在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．是邊上的一個動點（不與、合），過點的反比例函數的圖像與邊交于點．(1)求證：與的面積相等；(2)記，求當為何值時，有最大值，最大值是多少？【答案】(1)證明過程見詳解(2)當時，有最大面積，最大面積為【分析】（1）設，，根據點，在反比例函數圖像上，則可求出，，且，，由此即可求證；（2）確定，，，，將轉化為含有的一元二次方程方程，根據一元二次方程的頂點式即可求解．【詳解】（1）證明：設，，的面積為，的面積為，∵，都在反比例函數的圖像上，∴，，則，，∴，，∴．（2）解：根據題意可知，，，∴，∴，即，∴，即，∴當時，有最大面積，最大面積為．【點睛】本題主要考查矩形的性質，反比函數與幾何的綜合問題，掌握反比例函數圖形的性質，矩形的性質是解題的關鍵．2．（2022秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┤鐖D，正方形的邊長為6，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，M是邊上的一點，且．反比例函數的圖象經過點M，并與邊相交于點N．(1)求這個反比例函數的解析式；(2)求的面積；(3)求證：垂直平分線段．【答案】(1)(2)16(3)見解析【分析】（1）根據正方形的性質及條件確定點M坐標，利用待定系數法求反比例函數解析式；（2）令，在上，則，解得，得到，則點，，利用即可求解；（3）根據點N在反比例函數圖象上求點N坐標，通過全等證得，進而證明，即可證得垂直平分線段.【詳解】（1）設反比例函數的解析式為：，正方形邊長為6，，，，點的坐標為，點在反比例函數的圖象上，解得：，反比例函數的解析式為：；（2）令，在上，則，解得，所以，∴點，，則；即的面積為16；（3）在和中，，，，在的中垂線上，，，，在的中垂線上垂直平分線段【點睛】本題主要考查了反比函數和正方形的性質以及垂直平分線的判定，點坐標和線段長度的相互轉換，即數形結合是解答此題的關鍵.3．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ袕埥瘓F中學?？计谀咎骄颗c應用】我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發現有很多結論．例如：在平行四邊形ABCD中，，將△ABC沿直線AC翻折至△AEC，連結DE，則AC∥ED．(1)如圖1，若AD與CE相交于點O，證明以上個結論；(2)如圖2，AD與CE相交于點O，若，，，求△AOC的面積；(3)如果，，當A、C、D、E為頂點的四邊形是正方形時，請畫圖并求出AC的長；(4)如果，，當△AED是直角三角形時，直接寫出BC的長．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)或2；圖形見解析；(4)或或【分析】（1）由平行四邊形的定義可得AD∥BC，AD=BC，由折疊的性質可得∠ACB=∠ACE，BC=CE，于是可得△OAC、△ODE是等腰三角形，利用對頂角相等求得∠OCA和∠OED即可證明；（2）設OD=x，由（1）解答可得OD=OE=x，由折疊的性質可得OC=2-x，由∠B=90°可得ABCD是矩形，Rt△ODC中由勾股定理建立方程求得x，進而求得OA即可解答；（3）分∠ACB=45°和∠ACB=90°兩種情況作出圖形，再根據正方形的性質計算求值即可；（4）分∠ACB=60°，∠ACB=90°和∠ACB=30°，三種情況，根據30°直角三角形的邊長關系和勾股定理計算求值即可；【詳解】（1）證明：∵ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠OAC=∠ACB，∵∠ACB=∠ACE，∴∠OAC=∠OCA，∴OA=OC，∠OCA=（180°-∠AOC），∵BC=CE，BC=AD，∴AD=CE，∴AD-OA=CE-OC，∴OE=OD，∴∠OED=（180°-∠EOD），∵∠AOC=∠EOD，∴∠OCA=∠OED，∴AC∥DE；（2）解：設OD=x，由（1）解答可得OD=OE=x，∵CE=CB=2，∴OC=2-x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=，AD=BC=2，∠ADC=90°，Rt△ODC中，OC2=OD2+CD2，∴（2-x）2=x2+2，∴x=，∴OA=AD-OD=，∴△OAC面積=OA?CD=；（3）解：①如圖，∠ACB=45°時，∠B=45°，AB=AC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=45°，則∠BCD=135°，∴∠ACD=90°，∵∠BAC=180°-∠B-∠ACB=90°，AC∥ED，∴∠AED=90°，∠CDE=90°，∴四邊形ACDE是矩形，∵AB=AC=AE，∴四邊形ACDE是正方形，∵CE=CB=2，∴AC2+AE2=CE2，∴AC=；②如圖，∠ACB=90°時，∠B=∠BAC=45°，CA=CB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=45°，則∠BAD=135°，∴∠CAD=90°，∵AC∥ED，∴∠ADE=90°，∠CED=90°，∴四邊形ACDE是矩形，∵BC=CE=CA，∴四邊形ACDE是正方形，∴AC=2；∴AC=或2；（4）解：①如圖，∠ACB=60°時，∠B=30°，則∠BAC=90°，∴∠CAE=90°，∵AC∥DE，∴∠AED=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABC中，AB=3，BC=2AC，∴BC2=AB2+AC2=9+BC2，BC=；②如圖，∠ACB=90°時，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=30°，則∠BAD=150°，∵∠BAC=90°-∠B=60°，∴∠CAD=90°，∵AC∥DE，∴∠ADE=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABC中，AB=3，AC=，∴BC==，③如圖，∠ACB=30°時，作AH⊥BC于點H，由四邊形ABCD是平行四邊形得AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=120°，由折疊的性質可得∠EAC=∠BAC=120°，∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABH中，AB=3，AH=，∴BH=，∠B=∠ACB=30°，AH⊥BC，則BH=HC=BC，∴BC=2BH=，綜上所述BC的長為：或或.【點睛】本題考查了特殊平行四邊形的判定和性質，折疊的性質，等腰三角形的判定和性質，含30°直角三角形，勾股定理等知識；正確作出圖形并分類討論是解題關鍵．4．（2022秋·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，在長方形ABCD中，AB=3，AD=，點P為對角線BD上異于B、D的一個動點，連接AP，將△ABP沿AP所在直線翻折，使得點B落在E處；(1)當∠DPA=45°時，求點E到直線AB的距離；(2)連接AE，交線段BD于點F，當△EFP為直角三角形時，求線段BP的長度；(3)當∠DPE=30°時，請直接寫出△ABP的面積．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）作EH⊥AB于H，由矩形的性質和勾股定理可求出，即得出AD=BD，從而可判定∠ABD=30．再根據∠APD=∠ABD+∠PAB，即得出∠PAB=∠PAE=15，從而得出∠EAH=30，再由翻折的性質得出AE=AB=3，從而可求出EH=AE=；（2）分類討論：當∠EPF=90時，易得出∠EFP=∠AFD=∠ADB=60，作PM⊥AB于M，在AM上截取一點N，使得AN=PN，即得出∠ADF=60，∠EAB=30，從而得出∠PAB=∠PAE=15．由等邊對等角可求出∠NAP=∠NPA=15，即可求出∠PNM=30．設PM=m，則PN=PB=AN=2m，MN=BM=，由AB=AN+BN，即得出關于m的等式，解出m的值，即得出答案；當∠EFP=90時，即得出∠DAF=30，∠EAB=60，證明PA=PB，PA=PD，即得出PB=PD=；（3）作PM⊥AB于M，當∠DPE=30°時，點F與點D重合，即∠PAE=∠PAB=45，設AM=PM=n，則BM=n，由AM+BM=AB，即得出關于n的等式，解出n，再根據三角形面積公式計算即可．(1)如圖1，作EH⊥AB于H，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90，∴，∴AD=BD，∴∠ABD=30，∵∠APD=45=∠ABD+∠PAB，∴∠PAB=∠PAE=15，∴∠EAH=30，由翻折可知AE=AB=3，∴EH=AE=；(2)分類討論：當∠EPF=90時，∵∠E=∠ABD=30，∴∠EFP=∠AFD=∠ADB=60，如圖2-1，作PM⊥AB于M，在AM上截取一點N，使得AN=PN．∴∠ADF=60，∠EAB=30，∴∠PAB=∠PAE=15．∵AN=PN，∴∠NAP=∠NPA=15，∠PNM=30．設PM=m，則PN=PB=AN=2m，MN=BM=，∴2m+=3，解得：m=，∴PB=；如圖2-2，當∠EFP=90時，∴∠DAF=30，∠EAB=60，∴∠PAB=∠PAE=30，∴∠PAB=∠PBA=30，∠PAD=∠PDA=60，∴PA=PB，PA=PD，∴PB=PD=；綜上述，滿足條件的PB的值為或；(3)如圖3，作PM⊥AB于M，當∠DPE=30°時，易知點F與點D重合，此時，∠PAE=∠PAB=45，設AM=PM=n，則BM=n，∴n+n=3，解得：n=，∴=．【點睛】本題考查矩形與折疊，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，等腰三角形的性質．正確的作出圖形和輔助線是解題關鍵．5．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在梯形ABCD中，上底AD＝5厘米，下底BC＝11厘米，高是4厘米，點P、Q分別是AD、BC上的點，BQ＝2DP，設DP＝t厘米．(1)求梯形ABQP的面積；(2)求梯形ABQP的面積與梯形QCDP的面積相等時t的值．【答案】(1)（10+2t）平方厘米(2)3【分析】（1）根據題意用t表示出AP、BQ，根據梯形的面積公式計算，得到答案；（2）根據梯形的面積公式列出方程，解方程即可得到答案．(1)解：∵AD＝5厘米，BQ＝2DP，設DP＝t厘米，∴AP＝（5﹣t）厘米，BQ＝2t厘米，∴S梯形ABQP＝×（5﹣t+2t）×4＝（10+2t）平方厘米；(2)解：當梯形ABQP的面積與梯形QCDP的面積相等時，梯形ABQP的面積等于梯形ABCD的面積的一半，則10+2t＝×（5+11）×4×，解得：t＝3，∴當t＝3時，梯形ABQP的面積與梯形QCDP的面積相等．【點評】本題考查的是梯形的面積計算，列代數式，一元一次方程的解法，掌握梯形的面積公式是解題的關鍵．6．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）已知：如圖，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，點E、F是垂足．(1)聯結DE、FB，求證：四邊形DFBE是平行四邊形；(2)如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面積．【答案】(1)見解析(2)12【分析】（1）先根據矩形的性質得到AB=CD，AB∥CD，再證明BE∥DF，接著證明△ABE≌△CDF，從而得到BE＝DF，然后根據平行四邊形的判定方法得到結論；（2）矩形面積ABCD的面積=AC?DF，求出DF，AC即可求得矩形面積．(1)證明：如圖：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠EAB＝∠FCD，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴BE∥DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形；(2)∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAC＝∠BCA，又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠DAF＝∠BCE，在△DAF和△BCE中，，∴△DAF≌△BCE（AAS），∴AF＝CE，連接BD交AC于點O，∵AF＝FE＝2，∴AC＝BD＝6，又∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝DO＝3，在△ODF中，OD＝3，OF＝1，∠OFD＝90°，∴DF＝＝＝2，∴矩形ABCD的面積＝AC×DF＝6×2＝12．【點睛】本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定和性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．7．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在△ABC中，AB＝BC，點D、E分別在邊AB、BC上，且DE∥AC，AD＝DE，點F在邊AC上，且CE＝CF，連接FD．(1)求證：四邊形DECF是菱形；(2)如果∠A＝30°，CE＝4，求四邊形DECF的面積．【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形DECF的面積＝8【分析】（1）根據等腰三角形的性質和平行線的性質得到，求得，推出四邊形是平行四邊形，于是得到結論；（2）過點作交于，根據菱形的性質得到，根據等腰三角形的性質得到，根據直角三角形的性質得到，于是得到結論．【詳解】（1）解：，，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）解：過點作交于，四邊形是菱形，，，，，，，，，，四邊形的面積．【點睛】本題考查了菱形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，解題的關鍵是正確的識別圖形．8．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一動點（點P與點B不重合），AB＝AD＝10，BC＝24，∠C＝45°，，設BP＝x，四邊形APCD的面積為y．(1)求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；(2)連接PD，當△APD是以AD為腰的等腰三角形時，求四邊形APCD的面積．【答案】(1)(2)88或96或48【分析】（1）過A作于，過作于，設，表示出與的長，利用解出，從而計算四邊形的面積，得到與的函數關系式；（2）分兩種情形：①，②．先求出兩種情形下的值，再代入函數解析式中求出的值，即四邊形的面積．（1）解：過A作于，過作于，設．，，，，,，解得或，，，，，即，當時，不成立，舍去；當時，，符合題意．．，即．（2）解：連接．①當時，，，由（1）得，，即．．②當時，，，又，四邊形是平行四邊形或等腰梯形，或，即或，當時，；當時，．綜上，四邊形的面積為或或．【點睛】本題考查了一次函數的實際應用，勾股定理的應用，等腰三角形的性質與判定，平行四邊形與等腰梯形的性質，解題的關鍵是熟練運用相關性質定理．9．（2022春·上海·八年級期末）已知如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，DE∥AC，AE∥BD．(1)求證：四邊形AODE是矩形；(2)若AB＝6，∠BCD＝120°，求四邊形AODE的面積．【答案】(1)見解析(2)9【分析】（1）先判斷出四邊形是平行四邊形，再根據菱形的對角線互相垂直可得，然后根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明；（2）根據兩直線平行，同旁內角互補求出，判斷出是等邊三角形，然后根據等邊三角形的性質求出、，然后得到，再根據矩形的面積公式列式計算即可得解．【詳解】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，在菱形中，，，四邊形是矩形；（2）解：，，，，是等邊三角形，，，四邊形是菱形，，四邊形的面積．【點睛】本題考查了菱形的性質，矩形的判定，平行四邊形的判定，主要利用了有一個角是直角的平行四邊形是矩形，熟練掌握矩形，菱形與平行四邊形的關系是解題的關鍵．10．（2022春·上海·八年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，函數y＝﹣2x+12的圖像分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點A的直線交y軸正半軸于點M，且點M為線段OB的中點．(1)求直線AM的函數解析式；(2)若點C是x軸上一點，且S△AMCS△ABM，求點C的坐標；(3)點P在直線AB上，在坐標平面內是否存在點Q，使四邊形BPMQ是菱形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝﹣x+6，(2)（2，0）或（10，0）；(3)存在，點P的坐標（，12）或（，12）或（，）或（，9）．【分析】（1）通過函數y＝?2x＋12求出A、B兩點坐標，又由點M為線段OB的中點，即可求得點M的坐標，然后由待定系數法求得直線AM的函數解析式；（2）設出C點坐標，可求得AC的長，根據S△ABM＝BM?OA，S△AMCAC?OM，由S△AMC＝S△ABM，可得方程，解方程即可求得答案；（3）分兩種情況討論：①BM是菱形的邊時；②BM是菱形的對角線時，分別根據菱形的性質求解即可．（1）解：∵直線AB的函數解析式為y＝﹣2x+12，∴A（6，0），B（0，12），又∵M為線段OB的中點，∴M（0，6），設直線AM的解析式為：y＝kx+b，∴，解得：，故直線AM的解析式為y＝﹣x+6；（2）設點C的坐標為：（x，0），∴AC＝|x﹣6|，∵B（0，12），M（0，6），∴BM＝6，∴S△ABMBM?OA6×6＝18，∵S△AMCS△ABM，∴S△AMCAC?OM6×|x﹣6|18，∴3×|x﹣6|＝12，解得：x＝2或10，故點C的坐標為：（2，0）或（10，0）；（3）設P（x，﹣2x+12），①如圖所示：BM是菱形的邊時．過P2作P2C⊥y軸于C，∴P2C＝x，BC＝12﹣（﹣2x+12）＝2x，∵四邊形BP2Q2M是菱形，∴P2B＝BM＝6，在Rt△BP2C中，P2C2+BC2＝P2B2，∴x2+（2x）2＝62，解得x＝±，∴點P的坐標為（，12）或（，12）；過P3作P3D⊥y軸于D，∴P3D＝x，MD＝6﹣（﹣2x+12）＝2x﹣6，∵四邊形BQ3P3M是菱形，∴P3M＝BM＝6，在Rt△MP3D中，P3D2+MD2＝P3M2，∴x2+（2x﹣6）2＝62，解得x或0（舍去），

∴點P的坐標為（，）；②如圖所示：BM是菱形的對角線時，連接PQ交y軸于N，∵四邊形BQMP是菱形，∴PQ⊥BM，BN＝MN，∴點N的坐標為（0，9）．∴點P的縱坐標是9，∴﹣2x+12＝9，解得x，∴點P的坐標為（，9）．綜上所述，存在，點P的坐標（，12）或（，12）或（，）或（，9）．【點睛】本題為一次函數綜合題，考查了待定系數法求一次函數的解析式、三角形的面積、菱形的性質等．解題的關鍵是掌握數形結合思想與方程思想的應用．11．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┰谔菪蜛BCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝8，BC＝14，點E、F分別在邊AB、CD上，EF∥AD，點P與AD在直線EF的兩側，∠EPF＝90°，PE＝PF，射線EP、FP與邊BC分別相交于點M、N，設AE＝x，MN＝y．(1)求邊AD的長；(2)如圖，當點P在梯形ABCD內部時，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；(3)如果MN的長為2，求梯形AEFD的面積．【答案】(1)AD＝6(2)y關于x的函數解析式為y＝﹣3x+10．定義域為1≤x＜．(3)梯形AEFD的面積為或32【分析】（1）過D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點G、H，判定四邊形ABHD是矩形，在Rt△DHC中求出CH的長，利用AD＝BH＝BC﹣CH求出AD的長；（2）首先確定PM＝PN，過點P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，根據∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，可表示出PQ、PR，從而得出y關于x的函數解析式，也能得出定義域；（3）①當點P在梯形ABCD內部時，由MN＝2及（2）的結論得2＝﹣3x+10，AE＝，可求得梯形的面積；②當點P在梯形ABCD外部時，由MN＝2及與（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，可求得梯形的面積．（1）解：過D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點G、H，如圖所示∵梯形ABCD中，∠B＝90°，∴DH∥AB，又∵AD∥BC，∴四邊形ABHD是矩形，∵∠C＝45°，∴∠CDH＝45°，∴CH＝DH＝AB＝8，∴AD＝BH＝BC﹣CH＝6．（2）解：∵DH⊥EF，∠DFE＝∠C＝∠FDG＝45°，∴FG＝DG＝AE＝x，∵EG＝AD＝6，∴EF＝x+6，∵PE＝PF，EF∥BC，∴∠PFE＝∠PEF＝∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，過點P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，如圖所示∵∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，∴PQ＝EF＝，PR＝MN＝，∵QR＝BE＝8﹣x，∴，∴y關于x的函數解析式為y＝﹣3x+10．定義域為1≤x＜．（3）解：當點P在梯形ABCD內部時，由MN＝2及（2）的結論得2＝﹣3x+10，AE＝，∴（AD+EF）?AE＝，當點P在梯形ABCD外部時，由MN＝2及與（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，∴（AD+EF）?AE＝．【點睛】本題考查梯形及有實際問題列一次函數關系式的知識，綜合性較強，對于此類題目，要學會由小及大，將所求的問題縮小，一步一步求解．12.如圖，已知，在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四邊形EFGH的三個頂點E、F、H分別在矩形ABCD邊AB、BC、DA上，AE=2．（1）如圖1，當四邊形EFGH為正方形時，求△GFC的面積；（2）如圖2，當四邊形EFGH為菱形，且BF=時，求△GFC的面積．（用含的代數式表示）【難度】★★★【解析】（1）過點G作GM⊥BC于M．∵四邊形EFGH為正方形時，∴∵，∴∵，，，∴同理可知：∴∴，則；過點G作GM⊥BC于M，連接HF∵AD∥BC，∴∵EH∥FG，∴∴∵，，，∴∴∴．【總結】本題主要考察菱形、正方形的性質和全等三角形的判定和性質．13.如圖1，正方形ABCD的邊長為2，點A(0，1)和點D在y軸正半軸上，點B、C在第一象限，一次函數y＝kx＋2的圖像l交AD、CD分別于E、F．（1）若△DEF與△BCF的面積比為1∶2，求k的值；（2）聯結BE，當BE平分∠FBA時，求k的值．【難度】★★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵正方形ABCD的邊長為2，點A(0，1)和點D在y軸正半軸上，點B、C在第一象限，∴B(2，1)，C(2，3)，D(0，3)．∵一次函數y＝kx＋2的圖像l交AD、CD分別于E、F，∴E(0，2)．設F(m，3)，∵△DEF與△BCF的面積比為1∶2，∴，解得：，∴F(1，3)∵F(1，3)在直線y＝kx＋2上，∴；延長BE交CD的延長線于H，∵BE平分∠FBA，∴∵CD∥AB，∴，∴，∴FB=HF∵AE=1，DE=1，∴AE=DE∵AE=DE，，∴△HED≌△BEA∴HD=AB=2，∴H(－2，3)設F(n，3)∵FB=HF，∴，解得：，∴F(，3)∵F(，3)在直線y＝kx＋2上，∴．【總結】考察等腰三角形的性質和兩點之間的距離公式的運用，注意點的坐標與解析式的關系．14.如圖，在平面直角坐標系中，函數y＝2x＋12的圖像分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點A的直線交y軸正半軸于點M，且點M為線段OB的中點．（1）求直線AM的表達式；（2）試在直線AM上找一點P，使得S△ABP＝S△AOB，請求出點P的坐標；（3）若點H為坐標平面內任意一點，是否存在點H，使以A、B、M、H為頂點的四邊形是等腰梯形?若存在，請直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．【難度】★★★【答案】（1）；（2）P(6，12)或P(－18，－12)；（3）H(－12，0)或H(－6，18)或H(，)．【解析】（1）∵函數y＝2x＋12的圖像分別交x軸、y軸于A、B兩點，∴A(－6，0)，B(0，12)∵點M為線段OB的中點，∴M(0，6)，則直線AM的表達式為；當點P在AM的延長線上時∵S△ABP＝S△AOB，∴OP∥AB，則可知直線OP的表達式為．∵P在直線AM上，∴令，解得：，∴P(6，12)；當P在AM的反向延長線上時，過P點作PN⊥OB，垂足為H設P(n，n+6)∵，S△ABP＝S△AOB，，解得：，則P(－18，－12)．存在點H，使以A、B、M、H為頂點的四邊形是等腰梯形．若以AM為底，BM為腰，過點B作AM的平行線，當點H(－12，0)時，以A、B、M、H為頂點的四邊形是等腰梯形；若以BM為底，AM為腰，過點A作BM的平行線，當點H(－6，18)時，以A、B、M、H為頂點的四邊形是等腰梯形；若以AB為底，BM為腰，過點M作AB的平行線，當點H(，)時，以A、B、M、H為頂點的四邊形是等腰梯形．【總結】本題綜合性較強，本題一方面考察面積的確定，另一方面考察等腰梯形的性質和分類討論．15.如圖1，已知直角坐標平面內點A(2,0)，P是函數y＝x（x＞0）圖像上一點，PQ⊥AP交y軸正半軸于點Q．（1）試證明：AP＝PQ；（2）設點P的橫坐標為a，點Q的縱坐標為b，那么b關于a的函數關系式是_______；（3）當S△AOQ＝S△APQ時，求點P的坐標．【難度】★★★【答案】（1）見解析；（2）；（3）或．【解析】（1）過P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為H、T，∵P是函數y＝x（x＞0）圖像上一點∴PH=PT，PH⊥PT∵PQ⊥AP，∴∵，PH=PT，∴△PHA≌△PTQ∴AP＝PQ；由（1）可得：∵，∴，即；設，∵，，∴，解得：．∴或．【總結】本題主要考察全等的運用，及三角形面積的求法，注意利用面積公式確定點的坐標．考點二：與面積相關的函數解析式本節主要研究點在運動的背景下，產生的面積與動點之間的關系，關鍵點是找出決定這個面積變化的幾個量是怎樣變化的，重點在于思維能力的培養，難度較大．一、解答題1．（2022春·上海楊浦·八年級?？计谥校┮阎喝鐖D菱形ABCD，點E，F分別為邊BC，CD上的動點（不與端點重合），且∠EAF=∠B=60°．(1)求證：AE=AF；(2)如果AB=8，設BE=x，AE=y，求y與x的函數關系式和定義域；(3)在（2）的基礎上，當x取何值時，與面積比值為7．【答案】(1)見解析(2)y=（0＜x＜8）(3)當x=4±2時，與面積比值為7【解析】（1）證明：如圖1，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC和△ADC是等邊三角形，∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°=∠BAC，∴∠EAF=∠BAC=60°，∴∠BAE=∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴（ASA），∴AE=AF；（2）解：如圖2，過點A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等邊三角形，AH⊥BC，AB=8=BC，∴BH=CH=4，∠BAH=30°，∴AH=，∵，∴，∴y=（0＜x＜8）；（3）解：由（1）可知：，∴BE=CF=x，，∵，∴，∵與面積比值為7，∴，∴，∴，∴當時，與面積比值為7．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，勾股定理，函數關系式，解一元二次方程，掌握以上知識是解題的關鍵．2．（2022春·上海奉賢·八年級?？计谥校┮阎喝鐖D．四邊形是平行四邊形，AB=BC，，．繞頂點逆時針旋轉，邊與射線相交于點（點與點不重合），邊與射線相交于點．(1)當點在線段上時，求證：；(2)設，的面積為．當點在線段上時，求與之間的函數關系式，寫出函數的定義域；(3)連接，如果以A、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)（0＜x＜6）(3)【分析】（1）連接AC，通過證明△ABE≌△ACF（ASA）即可得出BE＝CF；（2）過點A作AH⊥CD，垂足為H，先根據勾股定理求出AH的長，又CF＝BE＝x，DF＝6?x，根據三角形的面積公式即可列出函數關系式；（3）根據題意畫出圖形，并連接BD，先根據四邊形BDFA是平行四邊形，證出∠BAE為直角，在Rt△ABE中，∠B＝60°，∠BEA＝30°，AB＝6，繼而即可求出BE的長．（1）證明：連接AC，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴BA＝BC，AC平分∠BCD，∠BAD，，，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴，∵，，∴，，∴∠ACB＝∠ACD＝60°，∠BAC＝∠DAC＝60°，又∵∠BAE＋∠MAC＝60°，∠CAF＋∠MAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE＝CF．（2）解：過點A作AH⊥CD，垂足為H，如圖所示：在Rt△ADH中，∠D＝60°，∠DAH＝90°?60°＝30°，∴DH＝AD＝×6＝3，，又∵CF＝BE＝x，DF＝6?x，∵S△ADF＝DF?AH，∴，即（0＜x＜6）．（3）解：①當點F在CD的延長線上時，連接BD，如圖所示：∵四邊形ABCD為菱形，∴，平分∠ADC和∠ABC，∴∠ADB＝∠ADC＝30°，當四邊形BDFA是平行四邊形時，，∴∠FAD＝∠ADB＝30°，∴∠DAE＝60°?30°＝30°，∠BAE＝120°?30°＝90°，在Rt△ABE中，∠ABE＝60°，∴∠BEA＝90°-60°=30°，∵AB＝6，∴BE＝2AB＝2×6＝12；②當點F與C重合時，點E與點B重合（不合題意舍去）；綜上分析可知，．【點睛】本題主要考查菱形的性質、全等三角形的判定與性質及平行四邊形的性質，是一道綜合題，有一定難度，關鍵是對這些知識的熟練掌握以便靈活運用．3．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O為原點建立直角坐標系，A、C的坐標分別為A（10，0）、C（0，8），CB＝4，D為OA中點，動點P自A點出發沿A→B→C→O的線路移動，速度為1個單位/秒，移動時間為t秒．(1)求AB的長，并求當PD將梯形COAB的周長平分時t的值，并指出此時點P在哪條邊上；(2)動點P在從A到B的移動過程中，設△APD的面積為S，試寫出S與t的函數關系式，并指出t的取值范圍；(3)幾秒后線段PD將梯形COAB的面積分成1：3的兩部分？求出此時點P的坐標？【答案】(1)=10，，此時點P在CB邊上(2)（）(3)（，）、（，）【分析】（1）題目給出了、點的坐標，CB＝4，可求出的坐標，根據PD將梯形COAB的周長平分，其中一半為，等于梯形周長的一半建立等式求解即可，算出，再判斷；（2）可根據四邊形的面積是梯形面積，列出方程并解出方程即可；（3）要根據的位置在不同邊的具體情況利用相關的知識寫出函數關系式及取值范圍．(1)解：點坐標為，，，梯形的周長為：，根據PD將梯形COAB的周長平分，由，得．此時點在上；(2)解：作于，于，于，則．，，，，，．；(3)解：點只能在或上，（?。┊旤c在上時，設點的坐標為．由，得，得，此時．由，得．即在7秒時有點（，）；（ⅱ）當點在上時，設點的坐標為．由，得，得，此時．即在秒時，有點（，）．故在7秒時有點（，），在秒時有點（，），使將梯形的面積分成的兩部分．【點睛】本題考查了直角梯形及一次函數的綜合運用；做題時要認真理解題意，找出等量關系，解題的關鍵是利用分類討論思想進行求解．4．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┰谔菪蜛BCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝8，BC＝14，點E、F分別在邊AB、CD上，EF∥AD，點P與AD在直線EF的兩側，∠EPF＝90°，PE＝PF，射線EP、FP與邊BC分別相交于點M、N，設AE＝x，MN＝y．(1)求邊AD的長；(2)如圖，當點P在梯形ABCD內部時，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；(3)如果MN的長為2，求梯形AEFD的面積．【答案】(1)AD＝6(2)y關于x的函數解析式為y＝﹣3x+10．定義域為1≤x＜．(3)梯形AEFD的面積為或32【分析】（1）過D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點G、H，判定四邊形ABHD是矩形，在Rt△DHC中求出CH的長，利用AD＝BH＝BC﹣CH求出AD的長；（2）首先確定PM＝PN，過點P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，根據∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，可表示出PQ、PR，從而得出y關于x的函數解析式，也能得出定義域；（3）①當點P在梯形ABCD內部時，由MN＝2及（2）的結論得2＝﹣3x+10，AE＝，可求得梯形的面積；②當點P在梯形ABCD外部時，由MN＝2及與（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，可求得梯形的面積．（1）解：過D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點G、H，如圖所示∵梯形ABCD中，∠B＝90°，∴DH∥AB，又∵AD∥BC，∴四邊形ABHD是矩形，∵∠C＝45°，∴∠CDH＝45°，∴CH＝DH＝AB＝8，∴AD＝BH＝BC﹣CH＝6．（2）解：∵DH⊥EF，∠DFE＝∠C＝∠FDG＝45°，∴FG＝DG＝AE＝x，∵EG＝AD＝6，∴EF＝x+6，∵PE＝PF，EF∥BC，∴∠PFE＝∠PEF＝∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，過點P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，如圖所示∵∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，∴PQ＝EF＝，PR＝MN＝，∵QR＝BE＝8﹣x，∴，∴y關于x的函數解析式為y＝﹣3x+10．定義域為1≤x＜．（3）解：當點P在梯形ABCD內部時，由MN＝2及（2）的結論得2＝﹣3x+10，AE＝，∴（AD+EF）?AE＝，當點P在梯形ABCD外部時，由MN＝2及與（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，∴（AD+EF）?AE＝．【點睛】本題考查梯形及有實際問題列一次函數關系式的知識，綜合性較強，對于此類題目，要學會由小及大，將所求的問題縮小，一步一步求解．5．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｌ锛冶袑W校考期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=8，∠BAD=60°，點E從點A出發，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動，當點E與點A不重合時，過點E作EF⊥AD于點F，作GE∥AD交AC與點G，過點G作射線AD垂線段GH，垂足為點H，得到矩形EFGH，設點E的運動時間為t秒．(1)求點H與點D重合時t的值．(2)設矩形EFGH與菱形ABCD重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數關系式；(3)設矩形EFGH的對角線EH與FG相交于點Q’，當OO'∥AD時，t的值為_______．【答案】(1)(2)(3)4【分析】（1）由四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，可得GE＝AE＝2t，FH＝GE＝2t，AF＝AE＝t，EF＝＝，AH＝AF＋FH＝3t，點H與點D重合時，AH＝AD，有3t＝8，即得t＝；（2）①當H在邊AD上，即0＜t≤時，S＝EF?FH＝?2t＝2，②當H在邊AD延長線上，即時，設HG交CD于M，求出S△DHM＝DH?HM，S＝EF?FH?S△DHM即可得到答案；（3）當O∥AD時，證明O是△AFG的中位線，得O是AG中點，從而可得G與C重合，此時，E與B重合，解可得到t＝4；(1)解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°，∵GE∥AD，∴∠GEB＝∠BAD＝60°，∴∠EGA＝∠GEB?∠BAC＝30°，∴∠EGA＝∠BAC＝30°，∴GE＝AE＝2t，∵四邊形EFHG是矩形，∴FH＝GE＝2t，在Rt△AEF中，AF＝AE＝t，EF＝＝，∴AH＝AF＋FH＝3t，點H與點D重合時，AH＝AD，∴3t＝8，∴t＝；(2)①當H在邊AD上，即0＜t≤時，如圖：矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積即是矩形EFHG的面積，∴S＝EF?FH＝，②當H在邊AD延長線上，即＜t≤4時，設HG交CD于M，如圖：在Rt△DHM中，∠HDM＝∠DAB＝60°，DH＝AH?AD＝3t?8，∴DM＝2DH＝6t?16，HM＝＝，∴S△DHM＝DH?HM＝，∴矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積S＝EF?FH?S△DHM＝，綜上所述，矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積：，(3)當AD時，如圖：∵四邊形EFHG是矩形，∴是FG的中點，∵∥AD，∴是△AFG的中位線，∴O是AG中點，∴OA＝OG，又∵O是AC中點，OA＝OC，∴G與C重合，此時，E與B重合，∴t＝故答案為：4【點睛】本題考查菱形性質及應用、矩形的性質應用，涉及勾股定理、中位線定理等的應用，解題的關鍵是方程的思想的應用，用t表達出相關線段的長度，再列方程解決問題．6．（2021春·上海·八年級校聯考期中）正方形ABCD邊長為6，點E在邊AB上（點E與點A、B不重合），點F、G分別在邊BC、AD上（點F與點B、C不重合），直線FG與DE相交于點H．(1)如圖1，若∠GHD=90°，求證：GF=DE；(2)在（1）的條件下，平移直線FG，使點G與點A重合，如圖2．聯結DF、EF．設CF=x，△DEF的面積為y，用含x的代數式表示y；(3)如圖3，若∠GHD=45°，且BE=2AE，求FG的長．【答案】(1)見解析(2)y=x2-3x+18（0＜x＜6）(3)【分析】（1）如圖1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于點K．只要證明四邊形CMGF是平行四邊形，△ADE≌△DCM即可解決問題；（2）根據S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB計算即可解決問題；（3）如圖3中，將△ADE繞點D逆時針旋轉90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于點N，連接EN．由△NDE≌△NDM（SAS），推出EN=NM，由AB=6，BE=2AE，推出AE=2，BE=4，設CN=x，則BN=6-x，EN=MN=2+x，在Rt△ENB中，根據EN2=EB2+BN2，構建方程求出x，再在Rt△DCN中，求出DN即可解決問題．（1）證明：如圖1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于點K．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠ADC=90°，∵CM∥FG，DE⊥FG，∴四邊形CMGF是平行四邊形，CM⊥DE，∴CM=FG，∠CKD=90°∴∠CDE+∠DCM=90°，∠ADE+∠CDE=90°，∴∠ADE=∠DCM，∴△ADE≌△DCM（ASA），∴CM=DE，∴DE=FG．（2）如圖2中，∵AF=DE，AD=AB，∠DAE=∠B=90°，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴AE=BF，∵AB=BC，∴BE=CF=x，∴y=S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB=×（x+6）×6-×6×x-×x（6-x）=3x+18-3x+x2-3x=x2-3x+18（0＜x＜6）．（3）如圖3中，將△ADE繞點D逆時針旋轉90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于點N，連接EN．則四邊形DGFN是平行四邊形，∴∠EDN=∠GHD=45°，∵∠ADC=90°，∴∠NDC+∠ADE=∠NDC+∠CDM=45°，∴∠NDE=∠NDM，∵DN=DN，DE=DM，∴△NDE≌△NDM（SAS），∴EN=NM，∵AB=6，BE=2AE，∴AE=2，BE=4，設CN=x，則BN=6-x，EN=MN=2+x，在Rt△ENB中，∵EN2=EB2+BN2，∴（x+2）2=（6-x）2+42，∴x=3，在Rt△DCN中，DN=，∴FG=DN=．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．7.已知：如圖1，在線段AE的同側作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），連結EG并延長交DC于點M，作MN⊥AB，垂足為N，MN交BD于P．設正方形ABCD的邊長為1．（1）證明：△CMG≌△NBP；（2）設BE＝x，四邊形MGBN的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；（3）如果按照題設方法作出的四邊形BGMP是菱形，求BE的長．【難度】★★★【解析】（1）∵正方形ABCD和正方形BEFG，∴，∵CM∥BE，∴∵正方形ABCD，MN⊥AB，∴四邊形BCMN是矩形，∴CM=NB．∵CM=NB，，∴△CMG≌△NBP；（2）∵正方形BEFG，BE＝x，∴，∴，∴（）；由已知可得：MN∥BC，MG∥BP，∴四邊形BGMP是平行四邊形．要使四邊形BGMP是菱形，則，∴，解得：，∴當時，四邊形BGMP是菱形．【總結】本題考察正方形的性質和動點背景的下面積問題，解題時注意認真分析題目中的條件．8.已知：在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，點E在邊AB上，CE＝CD．（1）如圖1，當∠BCD為銳角時，設AD＝x，△CDE的面積為y，求y與x之間的函數解析式，并寫出函數的定義域；當CD＝5時，求△CDE的面積．【難度】★★★【答案】（1）（）；（2）或．【解析】（1）過C作CF⊥AD交AD延長線于F∵AD//BC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，∴四邊形ABCF是正方形．∵CE＝CD，BC=CF，∴△BCE≌△FCD，∴DF=BE∵AD＝x，∴，∴∴，定義域為：；當∠BCD為銳角時，∵CD＝5時，CF=4，∴由勾股定理可得：，則代入解析式中可得：；當∠BCD為鈍角時，易知．∴．綜上所述，△CDE的面積為或．【總結】考察全等三角形的構造和正方形的性質的綜合運用，第（2）問要注意分類討論．9.如圖1，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3,0），（0,1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線交折線OAB于點E．（1）當點E恰為AB中點時，求m的值；（2）當點E在線段OA上，記△ODE的面積為y，求y與m的函數關系式并寫出定義域；（3）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試判斷四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發生變化，若不變，寫出該重疊部分的面積；若改變，寫出重疊部分面積S關于m的函數關系式．【難度】★★★【解析】∵四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3,0），（0,1），∴B（3,1）．當點E恰為AB中點時，則E（3，）∵點E在直線上，∴代入E點坐標，可得：；當點E在線段OA上，∵直線交折線OAB于點E，∴E（，0），∴（）；設O1A1與CB相交于點M，OA與B1C1相交于點N，則四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積為四邊形DNEM的面積．∵DM∥NE，DN∥ME，∴四邊形DNEM是平行四邊形∵，，∴，∴，∴四邊形DNEM是菱形過D作DH⊥OA，垂足為H，設菱形DNEM的邊長為∵D（，1），E（，0），∴DH=1，HE=，∴，在直角△DHN中，，解得：∴菱形DNEM的面積為：．【總結】本題綜合性較強，一方面考查面積與動點的結合，另一方面考查面積的定值，注意進行分析．10.如圖1，在正方形ABCD中，點E在邊AB上（點E與點A、B不重合），過點E作FG⊥DE，FG與邊BC相交于點F，與邊DA的延長線相交于點G．（1）當E是AB中點時，求證AG＝BF；（2）當E在邊AB上移動時，觀察BF、AG、AE之間具有怎樣的數量關系?并證明你所得到的結論；聯結DF，如果正方形的邊長為2，設AE＝，△DFG的面積為，求與之間的函數解析式，并寫出函數的定義域．【難度】★★★【答案】（1）見解析；（2）；（3）（）．【解析】（1）當E是AB中點時，AE=BE∵AE=BE，，∴△EAG≌△EBF∴AG＝BF過點F作FH⊥DA，垂足為H，則四邊形ABFH是矩形∴FH=AB=AD∵DE⊥FG，∴∵FH=AD，，∴△FHG≌△DAE，∴GH=AE，即∵BF=HA，∴；由（2）可得：FG=DE∴∴（）【總結】本題主要考察正方形背景下的動點問題，注意對常見輔助線的添加以及線段間的轉化．11.如圖1，梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝18，BC＝21．點P從點A出發沿AD以每秒1個單位的速度向點D勻速運動，點Q從點C沿CB以每秒2個單位的速度向點B勻速運動．點P、Q同時出發，其中一個點到達終點時兩點停止運動，設運動的時間為t秒．（1）當AB＝10時，設A、B、Q、P四點構成的圖形的面積為S，求S關于t的函數關系式，并寫出定義域；（2）設E、F為AB、CD的中點，求四邊形PEQF是平行四邊形時t的值．【難度】★★★【答案】（1）（）；（2）．【解析】（1）由題意可得：AP=，CQ=，則（）；過點D作DH⊥BC于H，取CH的中點G，則四邊形ABHD是矩形．∵F是CD的中點，G是CH的中點，∴∵AD//BC，∠B＝90°，AD＝18，BC＝21∴CH=21-18=3，CG=∴∵四邊形PEQF是平行四邊形，∴PE=QF∵，∴△AEP≌△GFQ，∴QG=AP∴，解得：，即當四邊形PEQF是平行四邊形時，t的值為．【總結】本題一方面考察梯形背景下的動點結合，另一方面考察中位線及平行四邊形的性質的綜合運用，注意認真分析．12.如圖1，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝4．左右作平行移動的正方形EFGH的兩個頂點F、G始終在邊BC上．當點G到邊BC中點時，點E恰好在邊AB上．（1）如圖1，求正方形EFGH的邊長；（2）設點B與點F的距離為x，在正方形EFGH作平行移動的過程中，正方形EFGH與菱形ABCD重疊部分的面積為y，求y與x的函數解析式，并寫出它的定義域；（3）聯結FH、HC，當△FHC是等腰三角形時，求BF的長．【難度】★★★【解析】（1）當點G到邊BC中點時，BG=2，∵∠B＝45°，正方形EFGH的兩個頂點F、G始終在邊BC上．∴BF=EF=FG∵BG=2，∴FG=1，即正方形EFGH的邊長為1；當時，，當時，；當FH=HC時，∵HG⊥CF，∴FG=CG=1，∴；當FC=HC時，∵，∴，解得：，∴；當FH=FC時，則，此時，綜上所述，當△FHC是等腰三角形時，BF的長為2或3或．【總結】本題主要考察平行四邊形與正方形的性質的綜合運用，解題時注意對等腰三角形要進行分類討論．OABC，A(0，4)，C(5，0)，點D是y軸正半軸上一點，將四邊形OABC沿著過點D的直線翻折，使得點O落在線段AB上的點E處．過點E作y軸的平行線與x軸交于點N．折痕與直線EN交于點M，聯結DE、OM.設OD＝t，MN＝s．（1）試判斷四邊形EDOM的形狀，并證明；（2）當點D在線段OA上時，求s關于t的函數解析式，并寫出函數的定義域；（3）tOABC【難度】★★★【解析】（1）四邊形EDOM是菱形．∵將四邊形OABC沿著過點D的直線翻折，使得點O落在線段AB上的點E處，∴，．∵EM∥OD，∴，∴，∴，∵，∴．∵EM∥OD，∴四邊形EDOM是平行四邊形，∵，∴平行四邊形EDOM是菱形；（2）由（1）可得：OD＝EM=t，∵EN=OA=4，∴（）；∵，，∴∴OABC∴OABCOABC14.已知：如圖1，梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，∠C＝45°，AB＝AD＝4．