南通市2023屆高三上學期期末質量監測模擬

數學

注意事項：

L答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用

2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上

角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑：如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽

字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；不準使用鉛筆和

涂改液.

3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1若集合M={x|2，>4},N={Mlog3X?l},則“DN=（）

A.{x|2<x<3}B.{x|x>0}

C.{x[0<x<2或x>2}D.R

【答案】B

【解析】

【分析】利用指數函數以及對數函數的單調性求得集合根據集合的并集運算即可得

答案.

【詳解】解2、>4得尤>2,解log3》Kl得0〈無43,

故得M={x|x>2},N={x[0<xW3},

故A/uN={x|x>0},

故選：B.

2.已知復數Z,0）,滿足z2=0=^2,且復數z在復平面內位于第一象限，則

co1+co+2

）

A1

由B.-

24

【答案】C

【解析】

【分析】設2=。+例，co^c+di,利用復數的乘方運算以及復數的幾何意義即可求解.

【詳解】設2=。+例，CD=C+d\,

則z2=a>=^a2-b2^+2abi=c+di=(c?-d2^-2cch,

則c=一,，d—，所以69=—?-4-i,

2222

w，ab

當所見哈

3+—?=0,解得a=±L,b=土立^，

則有ci~—

16a2222

又復數Z在復平面內位于第一象限，所以z='+@i，

22

Ct)~+69+2

代入可得

Z2+Z+12

故選：C

3.已知數列｛6,｝是遞增數列，且4=則實數/的取值范圍是

廣6,”>6

()、

A.(2,3)B.[2,3)1叫7，D.(1,3)

7

【答案】C

【解析】

【分析】根據分段函數的單調性及數列為遞增數列，列出不等式組求解即可.

<6,伍,｝是遞增數歹

【詳解】因為

3-/>0

所以《t>i，解得—<t<3

7f

(3-r)x6-8<r

所以實數f的取值范圍為（岑,3）,

故選：c

4.俄國著名飛機設計師埃格?西科斯基設計了世界上第一架四引擎飛機和第一種投入生產

直升機，當代著名的“黑鷹”直升機就是由西科斯基公司生產的.1992年，為了遠程性和

安全性上與美國波音747競爭，歐洲空中客車公司設計并制造了A340,是一種有四臺發

動機的遠程雙過道寬體客機，取代只有兩臺發動機的4310.假設每一架飛機的引擎在飛行

中出現故障率為1-P，且各引擎是否有故障是獨立的，已知A340飛機至少有3個引擎正

常運行，飛機就可成功飛行；A310飛機需要2個引擎全部正常運行，飛機才能成功飛行.

若要使A340飛機比A310飛機更安全，則飛機引擎的故障率應控制的范圍是()

【答案】C

【解析】

【分析】

由獨立重復實驗概率公式可得兩種飛機正常飛行的概率，解不等式即可得解.

【詳解】由題意，飛機引擎正常運行的概率為"，

則A310飛機能成功飛行的概率為C"2=p2,

A340飛機能成功飛行的概率為《，3(1-〃)+屐。4=-304+4。3,

令-3//*+4p3>即一3p2+4〃>1,解得g<p<\.

所以飛機引擎的故障率應控制的范圍是(o,|)

故選：C.

5.如圖，內外兩個橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點向內層橢圓引切線AC,BD,若直

【答案】C

【解析】

【分析】設出切線AC和B。的方程，與橢圓方程聯立消去根據判別式△=(),求得人,履

的表達式，根據AC與8。的斜率之積求得。和b的關系，進而求得a和c的關系，橢圓的

離心率可得.

22

【詳解】設內層橢圓的方程為二+3=1(。〉人＞0),

ah

x2y2

由離心率相同可知，外層橢圓的方程為:―-+=

{ma){mb)

y=kx{x-md)

(bx)2+(ay)2=(ah)?

消去>得(b2+a2k^)x2-2ma3kfx+m2a4k^-a2b2=0

j2

由△=(),得k；=Z1

am2-1

設切線BD的方程為y=k2x+mhf

二[y=kx+mb

聯立〈；2)?

[(bx)2+(ay)2=(ab)92

消去y得S?+2m/必2工+加2々2匕2一二。，

h2

由A=0得代=—?(m2—1)，

a

=gr，

又直線AC與8。的斜率之積為一,，.?.%=,

4a24

/.a=2b,c=上b、：.e-

2

故選：c

6.已知函數/0）=5山（5+夕）（0>0,|同<1）,1=一?為/。）的零點，x=?為y=/（x）

圖象的對稱軸，且/“）在（白，（J）單調，則。的最大值為

lo36

A.11B.9

C.7D.5

【答案】B

【解析】

JT1T

【分析】根據已知可得3為正奇數，且3W12,結合x=-一為f（x）的零點，x=一為y

44

TT57r

=/（%）圖象的對稱軸，求出滿足條件的解析式，并結合了（X）在（=，）上單調，可

1836

得3的最大值.

TTTT

【詳解】?.％=——為了（X）的零點，x=一為尸八X）圖象的對稱軸,

44

2〃+1e71=”2〃+12萬7t

：.--------T=—,即-----------=-,(?GN)

424co2

即3=2W+1,(nGN)

即3為正奇數，

?.ya)在(工，—)上單調，

27r7i

即T=——>—,解得：a)^12,

CD6

IE

當u)=ll時，------F(p—ku,依Z,

4

,兀

,?,|<pl<y.

兀

..(p

4

TT57r

此時了（工）在（―,—）不單調，不滿足題意;

1836

9兀

當3=9時，--1+3=加，依Z,

V|（p|<|,

7T

，（P=——,

4

Jr57r

此時/（x）在（一，—）單調，滿足題意；

1836

故3的最大值為9,

故選8.

【點睛】本題將三角函數的單調性與對稱性結合在一起進行考查，題目新穎，是一道考查

能力的好題.注意本題求解中用到的兩個結論：①〃x）=Asin（?x+9）（AH0,oH0）

的單調區間長度是最小正周期的一半;②若/（x）=Asin?x+e）（AHO,0HO）的圖像

關于直線x=玉）對稱，則/（七）=A或/（/）=-A.

7.已知實數a滿足In（e2+l）—l<ln（2a）<l+ln2,貝ij（）

A,e7,>aB-e?<aC'e<，''>4D,

e}

e"T<a-

【答案】D

【解析】

【分析】根據In（e2+l）-l<ln（2a）<l+ln2得+對AB,構造

g（x）=e*-J,根據零點存在性定理判斷即可；對CD,構造函數函數

Inx

/（%）=-求導分析函數單調性，結合所給不等式判斷即可.

X—1

【詳解】由ln（e2+l）—l<ln（2a）vl+ln2得1<；［e+，］<a<e,

對于選項A與B,函數g（x）=e—-在（0,+s）上單調遞增，則存在玉）￡（：,|）,使得

g（與）=°，即獷。=1,又三}含且含）,所以K>q，/<“均

有可能，即藍與。大小不確定.故A與B都不正確.

,1,

1nv1------Inx

對于選項C與D,令函數〃x)=H(x>l)得/，(力=x____

(IF

令g(x)=l-J-lnx(xNl)得，(》)=4一,=1^<0,所以g(x)在［l,+oo)上單調

XXXX

遞減

g(x)<g⑴=0,所以/'(")=/

所以當X>1時,<0,所以“尤)在(1,m)上

單調遞減,

又1cg(e+，)<a<e,所以/(a)>/(e),所以電：>也彳，即e"T</T，故D正

確.

故選：D

8.已知四棱錐P-ABC。外接球表面積為S,體積為匕PAL平面

ABCD,PA=4,NABC=22，且逋4V，則S的取值范圍是()

33

A.10^-<SB.20^-<SC.I。國WSD.

20備<S

【答案】B

【解析】

【分析】將已知生84V轉化為運用余弦定理與基本不等式得到AC的取

值范圍,

由此運用正弦定理得四邊形ABC。外接圓半徑的范圍，然后根據球的性質得球半徑的

范圍，得解.

以四邊形A8CQ的外接圓為底，也為高，將四棱錐補形為一個已知球的內接圓柱.

設內接圓柱的底面半徑為r、R外接球的半徑，，則配=22+產，

V=3SABCD?PA=§^ABCDN個G,故^ABCD-，

SABCD=^ABBCsin^-+^ADDCsin^=~(ABBC+ADDC)>

所以AB-3C+Ar)￡)C24

在"RC中運用余弦定理與基本不等式得：

AC2=AB2+BC2+ABBC>3ABBC>

在八4。。中運用余弦定理與基本不等式得：

3AC2=3(AD2+DC2-AD-DC)>3AD-DC,

上兩式相加得：4AC2>3(AB-BC+ADDC)>12,

故有：AC2>3，

2

2/—4c?r-^_Arr>1>I

在44BC中由正弦定理得：一T'一I一，

sin——JJ

3

因此尺2=22+,25，S=4萬R2220萬.

故選：B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項

中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的

得0分.

9.下列結論正確的是()

A.若隨機變量X服從兩點分布，尸(X=l)=,，則。(X)=」

22

B.若隨機變量y的方差。(y)=2,則。(3丫+2)=8

(1

C.若隨機變量自服從二項分布84,；,則P?=3)=一

k2；4

D.若隨機變量〃服從正態分布N(5,CT2),P(〃<2)=0.1,則尸(2<〃<8)=0.8

【答案】CD

【解析】

【分析】根據兩點分布、二項分布、正態分布以及方差的性質，對每個選項進行逐一分

析，即可判斷和選擇.

【詳解】對A：若隨機變量X服從兩點分布，P(X=1)=J,則。(X)=

2

-x|1-TI=T>故A錯誤：

2I4

對B：若隨機變量Y的方差。(丫)=2,則。(3丫+2)=9。(丫)=18,故錯誤；

對C：若隨機變量自服從二項分布B(4,；),則P(4=3)=C：(g)=；，故正

確；

對D：若隨機變量〃服從正態分布N(5,b2),尸(〃<2)=0.1,則尸⑺>8)=01，

故尸(2<〃<8)=1—尸(〃<2)—尸(〃>8)=0.8,故正確.

故選：CD.

10.已知正方體ABC。—44G。的邊長為2,M為CG的中點，P為側面BCG4上的

動點，且滿足AM〃平面48P,則下列結論正確的是()

A.AM1B.MB.。4〃平面48。

C.動點P的軌跡長為豆叵D.AM與4片所成角的余弦值為

3

此

3

【答案】BC

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，結合向量法判斷各選項.

【詳解】如圖建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，

則A(0,0,2),A(0,2,2),5(0,0,0),M(2,l,0),P(x,y,0),

所以祠=(0,-2,-2)，麗=(x,y,0),AM=(2,1,-2),

由AM〃平面aBP,

0+/u=2

得AA7=aA有+人3戶，即<-2。+b=1,化簡可得3x—2y=0,

-2a=-2

所以動點P在直線3x—2y=0上，

A選項：AM=(2,1,-2),^M=(2,-l,0),

W-^W=2x2+lx(-l)+(-2)x0=3^0,所以而與麗;不垂直，所以A選項錯

誤;

B選項：CD、〃,ABu平面ABP,。2且平面48尸，所以C〃〃平面同田。，B

選項正確；

C選項：動點P在直線3x—2y=0上，且P為側面BCC4上的動點，則p在線段

上，耳(q2,0),所以46='((1+22+02=2坐，c選項正確;

隔=(。,。,-2),3(甌畫=2匕+；+(一2)22

D選項:3,D選項錯誤;

故選：BC

11.設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，。為坐標原點，直線2：2x-2y-p=O與C

交于A,8兩點，以48為直徑的圓與y軸交于。，E兩點，貝I]()

A.\AB\=3pB.|DE\=y/lp

C./DEE是鈍角D.ADEF的面積小于AQIB的面積

【答案】BCD

【解析】

【分析】聯立方程，根據韋達定理得到根與系數的關系，計算|AB|=4〃，A錯誤；計算

圓方程為：+(y-p『=4p2,計算得到B正確；計算而?兩<0,得到C

2

正確；SdDEF=亙P。，5AO.?=—p.D正確；得到答案.

ZALzZlr4*LXC/AD2*

【詳解】直線/：2x—2y-p=0過拋物線焦點b(go),設A&y),B(x2,y2),

r22\x+x=3p

,y=20px79n-l2

則〈.，x20-3px-^—=0,A=8〃9~>0,〈n2,

2x-2y-p=04XjX2=—

|AB|=x1+x2+/?=4p,A錯誤;

AB中點坐標為|AB|=4p=2r,r=2p,

圓方程為：；+(y-P)2=4p2,取X=0得到y=p,|f)￡|=V7p,B

正確；(s、(s、

不妨取。0,p---p,E0,p+—p,

\/\7

故戶萬?/7￡'=-gp-^-p,--y,p+-y-p=一;〃2<。，￡>,旦尸不共線，故

(22八22J2

ZDEE是鈍角，C正確；

22

^DEF=^\DE\-\OF\=^x/jpx-^=^-p,S^OAB=1x4px-^==p,

S/\DEF<SQOAB,D正確；

故選：BCD

12.已知函數/(x)及其導函數/'(x)的定義域均為R,對任意的x,yeR,恒有

/(x+y)+/(x-y)=2/(x)-/(y),則下列說法正確的有()

A./(0)=1B./'(X)必為奇函數

120231

C./(x)+/(())>oD.若〃1)=，貝=5

Ln=\'

【答案】BCD

【解析】

【分析】賦值法求/(0)的值，判斷A；賦值法結合導數以及函數奇偶性的定義，判斷

B；賦值法結合換元法判斷C;利用賦值法求得了(〃),〃€N*的值有周期性，即可求得

2023

工/(〃)的值，判斷D.

rt=l

【詳解】對于A,令x=y=0,則由/(x+y)+/(x-y)=2/(x>/(y)可得

2/(0)=2/⑼，

故/(0)=0或/(0)=1,故A錯誤；

對于B,當『(0)=0時,令y=0,貝4(x)+/(x)=2〃x>/(0)=0,則于x)=0,

故/'(x)=0,函數用x)既是奇函數又是偶函數；

當/(0)=1時，令x=o,則/(、)+/(-y)=2/(y),所以/(一y)=/(>),

“X)為偶函數，則為奇函數；

綜合以上可知/彳對必為奇函數，B正確；

對于C,令尤=y,則〃2x)+/(o)=2/2(x),故〃2力+/(0)20。

由于xeR,令，=2x/eR,即/。)+/(0)20,即有/(x)+/(0)20,故C正確；

對于D,若/⑴=g，令x=l,y=0,則/(1)+〃1)=2/(1>〃0),則/(0)=1,

故令x=y=l,則/(2)+/(。)=2,/(1),即/(2)+l=g,：J(2)=—

令x=2,y=l,則〃3)+/(1)=2〃2)"(1),即/(3)+3=_!:./(3)=_1,

令x=3,y=l,則/(4)+/(2)=2〃3)"(1),即/(4)—；=一1,，/(4)=一1，

令x=4,y=l,則/(5)+/⑶=2/(4)?/⑴，即/⑸-1=J(5)=；,

令x=5,y=l,則46)+/(4)=2"5)?/⑴，即〃6)—；=；,;./⑹=1,

令x=6,y=l,則/(7)+〃5)=2/(6)?/⑴，即〃7)+g=l,.,/X7)=；,

L

由此可得/(〃),"eN*的值有周期性，且6個為一周期，且

/(D+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

20231

故?(〃)=337x"⑴+/⑵+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)]+/(1)=-,故D正確，

〃=12

故選：BCD

【點睛】本題考查了抽象函數的奇偶性和特殊值以及求函數值的和的問題，涉及到導數問

題，綜合性強，對思維能力要求高，解答的關鍵是利用賦值法確定/5),〃eN*的周期性.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.今天是星期四，經過7天后還是星期四，那么經過2彌3天后是.

【答案】星期五

【解析】

【分析】利用周期含義以及指數運算即可.

【詳解】根據題意，周期為7,26063=8202'=(7+1)202',所以a606?除以7的余數為1,即

經過2班3天后，為星期五.

故答案為：星期五

14.單位圓中，A5為一條直徑，為圓上兩點且弦C。長為也，則而?麗取值

范圍是?

［答案］一'!■一石，一

L22J

【解析】

［分析】由題設A(-1,O),B(l,0),C(cos6,sin(9),D(cos(^+120),sin(。+120°)),再根據

數量積坐標運算計算即可.

【詳解】解：如圖，由弦C。長為白，可得NCOD=120。，

不妨設A(-l,0),B(l,0),C(cos0,sin6),D(cos(6+120),sin(6+120°)j,

則4C=(cos0+\,sinO'),BD-(cos(6+120°)-1,sin(9+120°)j,

所以衣.麗=(cose+l)[cos(0+120°)—l]+sinesin(e+12()°)

(i出A(?A

=(cos0+l)——cos。一一^-sinO-l+sin。——sin?+-~?cos。

I22J122J

V3./)33

=------sin3——cos0——

222

=-V3sin(^+60°)-1e

一1-G,-g+G?

22J

一33

故答案為：一彳一6,-彳+\/5.

L22J

15.已知函數/(x)=d-2?+2x,則曲線y=/(x)經過點A(l,l)的切線方程是

【答案】x-y=0或3x—4y+l=0.

【解析】

【分析】設切點，然后求導函數，進而得到該點處的切線方程，再代入點4(1,1)即可.

【詳解】設切點為卜，/一2一+2。,對y=/(x)求導得：

j(x)=3/-4x+2,...4=3廠一4r+2,

切線方程為：y-(尸一2廣+2。=(3廠—4f+2)(x—,

切線過4(1,1),.?.1_(尸―2/+2。=(3/_射+2)(1_)

13

解之：r=一或1,所以斜率％或1,

24

又過A(l,l),

代入點斜式得切線方程為：3%-4丁+1=。或％-丫=0,

故答案為：x-y=O或3x-4y+l=0.

3*

16.設數列｛6,｝首項q=前〃項和為S“，且滿足2a“+1+S“=3(〃eN),則滿足

34S,,16

—<—<—的所有n的和為__________.

S33鹿1D

【答案】9

【解析】

【分析】根據4=〈二。c求出數列｛《,｝的通項，再根據等比數列的前〃項和公式

求出色，從而可得出答案.

【詳解】解：由2a,川+S“=3,得2an+Sn_t=3(〃>2),

兩式相減得2arl+i-2an+an=0(〃>2),

則%=g4("N2),

31

當〃=1時，2%+4=3,所以出=]=54，

所以數列｛4｝是以I為首項3為公比的等比數列，

所以15<2"<33，所以〃=4或5,

即所有〃的和為4+5=9.

故答案為：9.

四、解答題：本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫

出文字說明、證明過程或演算步驟，只有答案沒有過程的不能得分.

sinA

17.在△ABC中，記角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知tanB=

2-cosA

(1)若tan8=4，求tanC的值:

2

(2)已知中線AM交BC于"，角平分線AN交BC于M且AM=3,例N=l,求△A8C

的面積.

【答案】(1)tanC=-2或tanC=2；

【解析】

3

【分析】(1)利用同角關系式可得sinA=1或sinA=l，然后利用和角公式即得；

(2)由題可得sinC=2sinB,利用角平分線定理及條件可得創I=3,CN=2,進而可

得4=工，b2=—,即得.

25

【小問1詳解】

sinA

因為

2-cosA2

2sinA+cosA=2

所以《

sin2A+cos2A=1

3

解得sinA=二或sinA=1,

331

當sinA=一時，tanA=-,tanS=—,

542

31

---1---

所以tan（A+8）=—=2=-tanC,tanC=-2；

1—x

42

當sinA=1時，因為OvAv4,

所以A=工，又tan3=,，

22

所以tanC=2.

【小問2詳解】

八sinA

tanB=----------，

2-cosA

sinBsinA小?八.八.八

------=-----------,2sinn-sinncosA4=sinAxcosB，

cosB2-cosA

/.2sinB=sinBcosA+sinAcos5=sin（A+B）,即sinC=2sinB，

c=2/?,

ARRNC

由角平分線定理可知，一=—二一=2,BN=2CN,又MN=1,BM=CM,

ACCNb

所以BM=3,CN=2,

1Ji

由A〃=-3C=3,可得A=—,

22

___7236

；?Zr+c?="=36,b~=—,

1136

所以S=—be=—2t0r=b~0=一.

225

18.已知數列｛q｝成等比數列，S“是其前w項的和，若5人1,5?+3，縱+2卜€河）成等差數

列.

(1)證明：%+H%+3，%+2成等差數列;

(2)比較S3+S3與25"的大小;

八11113n-l

(3)若q〉0,〃為大于1的奇數，證明：—+—+77+…?一+—>^—■

SiS2S3Sn2at

【答案】(1)證明見解析

⑵S；+]+S3>ZS"

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據等差中項得4=49=一；，。1+%+2=2。&+3即可；

ak+2,

(2)作差法比較即可；

13/iy,+1

(3)利用等比數列求和公式可得丁=表1-'/，然后進行求和即可得到答案

2+(-1)_

【小問1詳解】

由題知,&+]+Sk+2=2Sk+3,

所以SHI+5從]+%+2=2(Sk+]+ak+2+4+3),

所以2%+3=-4+2>

所以公比4=4"=一〈，

所以ak+]+4+2=%+i2%+i?(一=2ak+3,

所以ak+l+ak+2~2%.+3，

所以4+1，%+3，處+2成等差數歹人得證

【小問2詳解】

由(1)得S工+S3-2S3=s*+S工—2(S〃；S*+2)2=⑸二1+2」，

因為Sjt+1—SR+2=—4+2，0，

所以S；M+s工一2s3=(%![%1>0，

所以珠+S2>2S".

【小問3詳解】

由(1)和題意得，

3](-1嚴

所以丁=

3”2q2"+(-1),,+,

所以

11113f11111)

23n-1

51S2S3S?2ali2'+12-12+12-12"+1J

3,1、/1、/1

=焉[(”/(]/…十(E2"+l)

QI

>———(q>0,〃=2k+1,&eN*).得證

2q

19.2020年，新冠病毒席卷全球，給世界各國帶來了巨大的災難面對疫情，我們偉大的祖

國以人民生命至上為最高政策出發點，統籌全國力量，上下一心，進行了一場艱苦的疫情

狙擊戰，控制住了疫情的蔓延并迅速開展相關研究工作.某醫療科學小組為了了解患有重

大基礎疾病(如，糖尿病、高血壓…)是否與更容易感染新冠病毒有關，他們對疫情中心

的人群進行了抽樣調查，對其中50人的血液樣本進行檢驗，數據如下表：

感染新冠病毒未感染新冠病毒合計

不患有重大基礎疾病15

患有重大基礎疾病25

合計30

(1)請填寫2x2列聯表，并判斷是否有99%的把握認為患有重大基礎疾病更容易感染新冠

病毒；

(2)在抽樣調查過程中，發現某樣本小組5人中有1人感染新冠病毒，需要通過化驗血液

來確定感染者，血液化驗結果呈陽性即為感染者，呈陰性即未感染.下面是兩種化驗方

法：

方法一：逐一檢驗，直到檢出感染者為止；

方法二：先取3人血液樣本，混合在一起檢驗，如呈陽性則逐一檢驗，直到檢出感染者為

止；如呈陰性，則檢驗剩余2人中任意1人血液樣本.

①求方法一的化驗次數大于方法二的化驗次數的概率；

②用X表示方法二中化驗的次數，求X的數學期望.

P（K』）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2

附：K=-----\：(adybc)------,其中n=a+b+c+ci.

(a+b)(c+d)(a+c)S+d)

【答案】（1）填表見解析；有；（2）①一；②2.4（次）.

25

【解析】

25

【分析】（1）根據題中數據，完成列聯表，計算/=一＞6.635,所以有99%的把握認

3

為患重大基礎疾病更容易感染新冠病毒.

（2）①記4（，=1，2,3,4）表示依方法一需化驗，次，鳥（j=2,3）表示依方法二需化驗,

次，分別計算P（4）和尸（與），分析計算，即可得答案.

②X的可能取值為2,3,分別計算P（X=2）和尸（X=3）,代入公式，即可求得期望.

【詳解】解：（1）列聯表完成如下圖

感染新冠病毒未感染新冠病毒合計

不患有重大基礎疾病101525

患有重大基礎疾病20525

合計302050

^2J0X(10X5-20X15)^25>6635

30x20x25x253

所以有99%的把握認為患重大基礎疾病更容易感染新冠病毒.

（2）記4。=1,2,3,4）表示依方法一需化驗i次，鳥。=2,3）表示依方法二需化驗/次,

A表示方法一化驗次數大于方法二的化驗次數，

依題意知A3與約相互獨立.

①P（4）=?,P（4）=gx；=:，尸（A）=gx%:=g,p（4）=；x%；=1

產（坊）=裊+品r=|，*員）=舞=:

由于4=3,82+4

所以

13213

P（A）=P（Afi2+A4）=P（AB2）+P（A4）=P（A）.P（B2）+P（A4）=-x-+-=-

n

即尸伊）=王

②X的可能取值為2,3.

P（X=2）=P（&）4+&=|,P（X=3）=P（4）=矍［

3212

所以EX=2X2+3XW=&=2.4（次）

555

【點睛】獨立性檢驗一般步驟：（1）根據數據完成2x2列聯表；（2）根據公式計算K?；

（3）查表比較K?與臨界值的大小關系，作出判斷.

20.請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答.

①麗?（可+而）=0；②PC=幣;③點P在平面ABCZ）的射影在直線4。上.

如圖，平面五邊形以BCO中，△A4D是邊長為2的等邊三角形，AD//BC,

AB=2BC=2,AB1BC,將AQAD沿AO翻折成四棱錐P—ABCD,E是棱PD上

的動點（端點除外），F,M分別是AB,CE的中點，且______.

（1）求證：RW〃平面外。；

（2）當EF與平面孫。所成角最大時，求平面4CE與平面A8CD所成的銳二面角的余弦

值.

【答案】（1）證明見解析

（2）

17

【解析】

【分析】（1）取C。中點為G,可得MG〃ED,FG//AD,再由線面平行、面面平行

的判定定理可得答案；

（2）取A。為O,連接PO,FG,EG.

選擇①：由麗?（身+而）=0得B4J_尸O,再由線面垂直的判定定理可得84,平面

PAD.

ArI

則NAEE即為EF與平面勿。所成的角，由tan/AEF=——=——,當AE最小時，

AEAE

NAE戶最大，E為的中點，AE最小.

再求二面角余弦值：以點O為坐標原點，以OC為x軸，。。為y軸，OP為z軸，建立空

間直角坐標系，求出平面CAE的法向量和平面ABCD的法向量，再由二面角的向量求法可

得答案；

選擇②：連接OC,可得84LPO,由線面垂直的判定定理可得84_L平面必。，則

ApI

NAEE即為E尸與平面勿。所成的角.由tanNAEF=——=—,得AE最小時，

AEAE

/AEE最大，

E為PD的中點，AE最小.

再求二面角余弦值

以點。為坐標原點，以OC為x軸，0。為），軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，

求出平面CAE的法向量和平面A8CQ的法向量，再由二面角的向量求法可得答案；

選擇③：P在平面ABCD的射影在直線AD上，得平面平面A3CD,

由面面垂直的性質得5A_L平面PAD,4E五即為EF與平面外。所成的角，

A/71

tanZAEF=——=—,當AE最小時，/AE步最大，即E為PO中點，AE最小.

AEAE

再求二面角余弦值，

以點。為坐標原點，以。C為x軸，。。為y軸，。。為z軸，建立空間直角坐標系，

求出平面CAE的法向量和平面A8CD的法向量，再由二面角的向量求法可得答案.

【小問1詳解】

取CC中點為G,連接MG,FG,

則MG,FG分別為三角形CDE,梯形A8CO的中位線，

：.MG//ED,FG//AD,

MGu平面M7VG,MG<Z平面Q4O,所以MG〃平面P4Z）,

同理，FG〃平面PAD,

?..MGC|FG=G,...平面MNG〃平面辦。，

?/FMu平面MGF,：.FM〃平面PAD.

p

【小問2詳解】

B乙'C

取AO為0,連接尸O,FG,EG,

選擇①：

因為BA?（麗+麗）=0,PA+PD-=2PO-所以B&P0=O，即B4_LPO,

又B4LAD,AD^PO^O,所以6AJ_平面曲。，

連接AE,EF,所以/AEE即為EF與平面玄。所成的角，

4/71

因為tan/AEF=——=—,所以當AE最小時，NAEF最大,

AEAE

所以當AE_LPZ），即E為尸。的中點，AE最小，

下面求二面角余弦值，

,/BAu平面ABCD,...平面ABCD上平面PAD,

;平面ABCDJ■平面B4Q,平面ABCDc平面R4Z）=AZ）,

：PO_LAD,PO工平面ABC。，

以點。為坐標原點，以OC為X軸，0。為y軸，。尸為Z軸，

（1百）

建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0,—l,0）,E0,-,^-,C（2,0,0）,

（22）

所以立=0,-,^-,AC=（2,1,0）,

設平面CAE的法向量為加=（X］，x，zJ,

則治+￥馬=&,令",得而=（；,-1,同，

2%,+y,=0I）

由題意可知：平面ABC。的法向量為3=（0,0,1）,

m-n2A/ST

所以cos（犯〃

所以平面ACE與平面陰。所成的銳二面角的余弦值為2亙.

17

選擇②：

連接0C,則OC=A3=2,0P=6,

因為PC=J7，PC2=OP2+OC2>所以B4LPO,

又84_LAD,ADC\PO=O,所以區4,平面南。

連接AE,EF,所以—AEE即為E尸與平面以。所成的角，

AF1

因為tanNAEEu----=-----,所以當AE最小時，NAE尸最大,

AEAE

所以當A￡_LP￡>，即E為PD的中點，AE最小，

下面求二面角余弦值，

BAu平面ABCD,.,.平面ABC。1平面PAD,

?.?平面ABCD1平面平面ABCD/O平面E4￡）=4）,

POLAD,：.PO1平面ABCD,

以點。為坐標原點，以OC為X軸，。。為），軸，OP為Z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

于是A（0,—l,0）,小，；，￡|，C（2,0,0），所以荏=。，|，乎

AC=（2,1,0）,設平面CAE的法向量為〃z=（x，y,Z|）,

則弓凹+圣，令4=G得拓的t同

2%+y=°

由題意可知：

平面ABCD的法向量為n=（0,0,1）,

m?n_2V5T

所以cos（機，幾

所以平面ACE與平面PAD所成的銳二面角的余弦值為名畫.

選擇③：

因為點P在平面ABCD的射影在直線AD上，所以平面PAD，平面ABCD,

因為平面尸AOc平面ABCD=CD,。尸u平面以。AD1PO,

所以OPJ_平面4BCD,所以84J.PO.又B4LAD，ADQPO^O,

所以胡，平面PAD,

連接AE,EF,所以/AE尸即為EF與平面南。所成的角，

4/71

因為tan/AEF=——=—,所以當4E最小時，NAEF最大,

AEAE

所以當AE_LPD，即E為尸￡>中點，4E最小.

下面求二面角余弦值，

BAu平面ABCD1...平面ABCD1平面PAD,

;平面ABCDC平面以。，平面ABCDc平面24￡>=4）,