2021?2022學年度高二第二學期期中調(diào)研測試

數(shù)學試卷

一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的）

1.若向量”=（L2,—2）,”=（一2,-4,4）,則向量。與匕的夾角為（）

7t2n

A.0B.—C.—D.TC

23

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量數(shù)量積的定義，直接計算即可.

【詳解】設向量q與人的夾角為。，且0W6V乃，

a_ab_-2-8-8-is

所以，COS忖堀yj\-+^+（-2）2X7（-2）2+（-4）2+42=3^6="1'

所以，0=71

故選：D

2.若4名學生報名參加數(shù)學、計算機、航模興趣小組，每人選報1項，則不同的報名方式有（）

A.34種B,下種C.3x2x1種D.4x3x2種

【答案】A

【解析】

分析】根據(jù)分步計算原理，每個人選報一科，則每個人有3種報名方法，即可得解.

【詳解】4名學生，每人有三種可選方案，根據(jù)分步計數(shù)原理，4人共有3x3x3x3=34種方法.

故選：A.

-1-

3.在四面體O48C中，￡為。1中點，CF=mCB,若。A=a,OB=b'OC=c，則EF=（）

11,211,4C+"c11,2

A.一a——b——cB.——a——b+~cD.——a+—b+—c

233233233233

【答案】D

【解析】

【分析】利用空間向量的加減法、數(shù)乘運算即可求解.

【詳解】EF=EO+OF=--OA+OC+CF

2

11

=--OA+OC+-CB

23

^--OA+OC+-(OB-OC\

23、'

11.2

=——a+—b+—c.

233

故選：D

4.19.+19被9除所得的余數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】由于199+19=(18+1)|9+19,所以將其展開后可求出結果

【詳解】19|9+19=(18+1)19+19

I9I8I7

=C°918+C；918+C^18+---+C^18+C^+19,

因《9困9+€：：91瞟+(418"+…+C：；18能被9整除,

所以19必+19被9除所得的余數(shù)等于C%+19被9除的余數(shù)，

因為C；；+19=20除以9余2,

所以19"+19被9除所得的余數(shù)是2,

故選：C

5.三棱錐A-BCD中，AB=AC=AD=2,ZBAD=90°,ZBAC=60°，則等于()

A.-2B.2C.-2>/3D.

【答案】A

【解析】

【詳解】試題分析

CD^AD-AC:.ABCD=AB-^AD-AC)=ABAD-ABAC=0-2x2xcos60=-2

考點：平面向量數(shù)量積的運算

6.疫情期間學校采用線上教學，上午有4節(jié)課，一個教師要上3個班的網(wǎng)課，每個班1節(jié)課，若不能連

上3節(jié)，則這個老師的課有()種排法.

A.3B.6C.12D.18

【答案】C

【解析】

【分析】使用插空法，先排3個班的網(wǎng)課，然后在兩個空位中插入一節(jié)課.

【詳解】將該教師3節(jié)課排成一列，共有種排法，再在3節(jié)課產(chǎn)生的兩個空位中插入一節(jié)課有2種

方法，所以該老師的課共有2A；=12種排法.

故選：C

7.已知「是_43。所在平面外一點，M是PC中點，且8例=xA8+yAC+zAP,則x+y+z=

()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量減法的三角形法則進行計算即可.

【詳解】因為M是PC中點，

：.BM=PM-PB=^PC-^AB-AP^=^AC-AP)-^AB-AP

11

=-AB+—AC-i—AP,XBM='xAB+yAC+zAP?

.-.x=-l,y=-,z=-,

22

y+z=0.

故選：A.

8.已知。4=(1,2,3),0B=(2,1,2),QP=(1/,2),點Q在直線0P上，那么當QAQB取得最小值時，

點。的坐標是()

門、、

A，匕f131A彳B.匕'32'W1J)C-［(了448(447

【答案】C

【解析】

【分析】

設。(x,y,z),根據(jù)點。在直線。尸上，求得Q(4Z2/l),再結合向量的數(shù)量積和二次函數(shù)的性質(zhì)，求得

4一

九=§時，QAQB取得最小值，即可求解.

【詳解】設。*,y,z),

由點。在直線0P上，可得存在實數(shù)2使得0Q=40P,

即(x,y,z)=2(1,1,2),可得2(/1,422),

所以QA=(1一42-4,3-22),Q8=(2—41-人2-2/1),

則QAQB=(l-2)(2-2)+(2-2)(1-2)+(3-22)(2-22)=2(3%-82+5),

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當4=一4時，取得最小值-2：，此時。(4二三4,三8).

33333

故選：C.

【點睛】本題主要考查了空間向量的共線定理，空間向量的數(shù)量積的運算，其中解答中根據(jù)向量的數(shù)量

積的運算公式，得出關于X的二次函數(shù)是解答的關鍵，著重考查運算與求解能力.

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共計20分.在每小題給出的四個選項

中，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上)

9.給定下列命題，其中正確的命題是()

A.若〃是平面a的法向量，且向量.是平面a內(nèi)的直線/的方向向量，則夕〃=0

uUU一—

B.若%,%分別是不重合的兩平面a,△的法向量，則?%=0

C.若荒，2分別是不重合的兩平面a,夕的法向量，則a///o,?%卜同加1

D.若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項，由線面垂直的定義可判斷正確；

B選項，兩平面平行，則它們的法向量平行；

C選項，兩平面平行，則它們的法向量平行；

D選項，兩平面垂直，則它們的法向量垂直.

【詳解】對于A選項，由線面垂直的定義若一條直線和一個平面內(nèi)所有的直線都垂直，我們稱直線和平

面垂直，所以a_L〃，???“?〃=()，A正確：

對于B選項，兩平面平行，則它們的法向量平行，所以B錯誤；

對于c選項，兩平面平行，則它們的法向量平行，.?.(/,%)=0或萬???門?久卜81|〃2|，C正確；

對于D選項，兩平面垂直O(jiān)它們的法向量垂直，所以兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂

直，D正確.

故選：ACD.

10.若工5=的+〃］(1+x)+。2(l+x)2+…+〃5(l+x)5,其中Qo，⑶，④，…，為實數(shù)，則()

A.%=1B.。］+。2+…+。5=1

C.。1+。3+。5=-16D.4+%+2/+3?3+4。4+5。5=-1

【答案】BD

【解析】

【分析】運用賦值法，結合導數(shù)的運算逐一判斷即可.

【詳解】在2=〃0+。1(l+x)+。2(l+x)2+.??+。5(1+x)5中，

令工二一1,得〃o=T，故選項A不正確；

令X=0,得〃0+。］+42++。5=0，而。0=-1，

所以4+生++%=1(1)，所以選項B正確；

令x——2,得％—%+%—%%一=—32=>—4+Q,—+—〃5=—31(2),

(1)-(2),得2(4+〃3+〃5)=32=>4+/+%=16,因此選項C不正確；

對工5=40+01(1+X)+〃2(1+X)2+...+怒(1+%)，左右兩邊求導，得

5x4=6+2%(1+元)+3%(1+尤產(chǎn)+4%(1+X)3+5%(1+X)4,

令x=0,得。=4+2%+3a3+4%+5%，而/=-1,

所以4+6+久，2+3%+44+5。5=-1,因此選項D正確，

故選：BD

11.現(xiàn)有6個志愿者排隊進入社區(qū)服務，下列說法正確的是（）

A6

A.若甲乙丙順序固定，共有1?種站法

￡

B.若甲乙必須站在一起，共有A；A；種站法

C.若甲乙不站在一起，共有A：A；種站法

D.若6個人平均分成A、B、C三組分別進入社區(qū)，共有C：C：C；A；種分法

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)選項當中的情況，逐個選項采用合理的排列方法進行求解即可.

【詳解】對于A,對于某些元素順序固定的排列問題，可將所有元素全排列，然后除以順序固定的幾個

元素的全排列，甲乙丙順序固定，即先對6個志愿者全排列，再除以順序固定的甲乙丙3個志愿者，所

以，共有冬種站法，所以，A正確；

對于B,某些元素要求必須相鄰時，可將這些元素看成一個，然后與其他元素排列；所以，若甲乙必須

站在一起，共有A；A；種站法，所以，B正確；

對于C,某些元素要求必須相離時，可將其他元素全排列，再將相離元素排入已排好的元素的左右空隙

中：若甲乙不站在一起，共有A：A；種站法，所以，C正確；

對于D,若6個人平均分成A、B、C三組分別進入社區(qū)，共有C：C：C；利吩法，所以，D錯誤.

故選：ABC

12.已知正方體ABC。一A耳GA的棱長為1，。,。/分別在48（。1,。凡上，并滿足

小八

—AP=7C^Q=TD.TR='；—a（0＜。＜1），設AB=i,AO=_/,A4,=3設APQH的重心為G,下列說法正確的

PBQClRA]\-a

是（）

333

n/r（a+12a—1Q—2、，Q+1Q+IQ+1、

RG=［亍，J,DG=I-,--—l,/?G.DG=O-D正確.

故選：AD.

__R________D,

c

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上）

13.若單位向量e與向量。=（0,1,0），人=（0,0,1）都垂直，則向量e的坐標為.

［答案】（士1,0,0）

【解析】

【分析】設］（x,y,z）,由條件,=1,。二=（）；。=0,可得答案.

【詳解】設單位向量工（匚％z）,

由條件eJ_a,e_L/?，則e-a=0,e-/?=0，所以e.a=y=0,e./?=z=0

又卜|=Jf+y2+z2=冊=1,解得x=±l

所以工（±1,0,0）

故答案為：（±1,0,0）

14.現(xiàn)將6個相同的小球放在3個不同的盒子里，每個盒子至少一個，共有種放法.（用數(shù)字作

答）

【答案】10

【解析】

【分析】利用隔板法求解，問題相當于6個球排成一列形成5個空隙，5個空隙中插入2個擋板，分成3

部分即可

【詳解】由題意可得，6個球排成一列形成5個空隙，5個空隙中插入2個擋板，分成3部分，

則共有C；=10種放法，

故答案為：10

15.已知f(x)=(1+x)"'+(1+x)"(根撾N',〃N*),/(x)的展開式中含x項的系數(shù)為13,則當"?=

,含/項的系數(shù)取得最小值，最小值為.

【答案】.6或7##7或6D.36

【解析】

【分析】先由二項式的展開式的通項公式可得出加+〃=13,分當加，〃中有一個為1和當加，”都大于或

等于2進行討論，從而得出答案.

r

【詳解】(1+x)”'展開式中通項公式為：Tr+X=C；nx,則含X項的系數(shù)為

(1+x)"展開式中通項公式為：式川=C",則含X項的系數(shù)為C：=〃，

由題意可得加+〃=13口

當〃?,〃中有一個為1時，不妨設〃=1,則機=12,則/(x)的展開式中含爐的項的系數(shù)為

C；=金=66，

當機〃都大于或等于2時，則/(%)的展開式中含x2的項的系數(shù)為+C；,

2rz_nr+rr-^m+n)

mn2f-2—-2

2

(m+n)-2mn-(m+n)169-13-2/%〃2,-,Q(13丫，143

22I2J4

由于機wZ,當根=7或加=6時，此時含x2的項的系數(shù)取最小值36,

綜上，當〃?=7/=6或m=6/=7時，含爐的項的系數(shù)取最小值為36.

16.設空間向量jj,4是一組單位正交基底，若空間向量“滿足對任意的羽)，,卜-血-丁_/］的最小值是2,

則卜+3囚的最小值是.

【答案】1

【解析】

【分析】以i"方向為樂丁軸，垂直于i"方向為z軸建立空間直角坐標系，根據(jù)條件求得a坐標，由

p+3網(wǎng)的表達式即可求得最小值.

【詳解】以i,j,%方向為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則i=(i,o,o),j=(o,i,o),攵=(0,0,1)

設a=(r,s/)則,-xi-yj|=^(r-x)2+(5-y)2+t2,

當r=X,S=y時,一Xi—的最小值是2,

t=±2

取a=（x,y,2）則a+3Z=（x,y,5）

:Ja+3卬=yjx2+y2+52

又因為x，y是任意值，所以卜+3對的最小值是5.

取a=（x,y,-2）則a+3左=（x,y,l）

|a+3^|=y/x2+y2+12

又因為左丁是任意值，所以卜+34|的最小值是i.

故答案為：1.

四、解答題（本大題共6小題，共計70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應寫出文

字說明、證明過程或演算步驟）

17.計算：

（1）求C；+C：+???+的值；

人7_人5

（2）若"S"-89,求"的值.

A,

【答案】（1）330（2）15

【解析】

【分析】（1）由組合數(shù)的運算公式c：+C：T=￡篙連鎖運算即得；

“I

（2）根據(jù)排列數(shù)的計算公式A：=-——-可得.

（〃-m）!

【小問1詳解】

（1）原式=c：+c：++c^=c；+c；++C；）

=C：+C；++G%=…=G：＞+G%=C：=330；

【小問2詳解】

n\

（2）因為^^=89,所以冬一1=^^一1=^|^—1=（〃一5）（〃一6）-1=89,

大〃！（〃-7）!

（〃一5）!

則〃2-11〃-60=0,解得n=-4(舍)或〃=15,所以n=15.

18.已知￡=(3,2,—1),b=(2,1,2).

(1)求(a+〃)?([-2/?)；

(2)求。與〃夾角的余弦值；

(3)當(版+A)_L(a-姐)時，求實數(shù)攵的值.

【答案】(1)-10(2)-

7

32

(3)%=-或——

23

【解析】

【分析】(1)根據(jù)空間向量的坐標運算律，即可求解.

(2)根據(jù)空間向量的夾角公式，代入求解.

(3)由(版+6)_L(a-妨「轉化為數(shù)量積為0即可.

【小問1詳解】

(a+/?).(a-2Z?)——(5,3,1)■(-1,0,-5)=-10；

【小問2詳解】

,a-b6\/\4

cos<a,b>=-....-=—===-=------；

\a\-\b\V14x^7

【小問3詳解】

當(%a+〃)JL(a-A:h)時，(左4+))?(4一％。)=0,得(3A+2,2Z+1,—&+2)-(3—2七2—七一1一26=0,

32

(3&+2)(3-2幻+(2%+1)(2-％)+(-&+2)?(一1-2&)=0,k=-^-~,

23

19.某班級甲組有5名男生，3名女生；乙組有6名男生，2名女生.

(1)若從甲、乙兩組中各選1人擔任組長，則有多少種不同的的選法？

(2)若從甲、乙兩組中各選1人擔任正副班長，則有多少種不同的的選法？

(3)若從甲、乙兩組中各選2人參加核酸檢測，則選出的4人中恰有1名男生的不同選法共有多少種？

【答案】(1)64；(2)128；

(3)51.

【解析】

【分析】（1）利用分步原理即得；

（2）利用先選后排可求；

（3）先分類再分步即得

【小問1詳解】

利用分步原理可得從甲、乙兩組中各選1人擔任組長，共有C；C；=64種不同的的選法；

【小問2詳解】

先選后排，可得從甲、乙兩組中各選1人擔任正副班長有C；C；A；=128種不同的的選法；

【小問3詳解】

先分類再分步：第一類：甲組1男生：C；C；C；=15,第二類：乙組1男生：C；C：C；=36,

則選出的4人中恰有1名男生的不同選法共有51種.

20.如圖，在正方體ABCD-ABCR中，。是正方形ABCO的中心，〃是的中點.

（1）求證：OM是平面的法向量；

（2）求4G與平面ABO所成角的余弦值；

（3）求二面角A-A3—。的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵同

3

⑶—

3

【解析】

【分析】（1）（2）（3）設正方體棱長為2,建立如圖所示空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得;

【小問1詳解】

解：設正方體棱長為2,如圖建立空間直角坐標系力一孫z.

zt

3

/\z

0(1,1,0),M(0,2,1).?.0M=(-1,1,1),

又8(2,2,0),D(0,0,0)，A(2,0,2),.?.AB=(0,2,-2),BD=(-2,-2,0)

所以0^43=—lx0+lx2+1x(—2)=0,OMBD=-lx(-2)+lx(-2)+lxO=0

即OM_LAB,OMLBD>又％BcBD=B,AB,B￡)u面48。，

OM_L面48。，所以OM是平面ABD的法向量.

【小問2詳解】

解：4(2,0,2),C,(0,2,2),/1,0,=(-2,2,0),

又由(1)知平面48。的法向量OM=(T』,I)□設AG與48。所成的角為e,

I^Cj-OM\2+22「兀1i______R

所以sin。=j-----j—；-----7——^—=——=,因為。￡0,—,則cos，=J1-sin?0=——>

四卜皿V8V3V6L2J3

即4G與平面ABD所成角的余弦值是昱.

3

【小問3詳解】

解：在正方體—中，ADJ/lSAAf,

.?.AO是面AAf的法向量，又A￡>=(2,0,0),

wADOM-2百

阿OM|V3X23'

由圖可知二面角A-AB-D為銳二面角，設為a,

所以sina=j一cos?(AD,OM)=當，

所以二面角A-AB-。平面角的正弦值為逅.

3

21.在（4+壺）”的展開式中，第2,3,4項的二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列.

（1）證明：展開式中沒有常數(shù)項；

（2）求展開式中系數(shù)最大的項.

【答案】（1）證明見解析

7117o

（2）第二項和第三項一爐

33

【解析】

【分析】①根據(jù)二項式展開式的二項式系數(shù)，根據(jù)成等差數(shù)列列出方程，進而解出〃=7,然后求出展開

式中通項，假設有常數(shù)項，進而得到矛盾.

②假設第什1項系數(shù)最大，根據(jù)（乎好2（；產(chǎn)和（g）'c號《廠G"，解出廠的范圍，進而可求解.

【小問1詳解】

證明：由二項式定理可知：第2,3,4項的二項式系數(shù)為C，c；,c；依次成等差數(shù)列，.?.2C；=C+C；,

2x-----=n-\-------------------,

23x2x1

?2-9M+14=0,（?-2）（?-7）=0,n=2（舍）或〃=7.

“11?-王73廠id

二項展開式中第廠+1項加=/（五產(chǎn)（T=）'=（*GX24,令=o,

3yJx3243

所以展開式中沒有常數(shù)項得證.

【小問2詳解】

由（1）知二項展開式中第一+1項的系數(shù)為（$'3,設第一+1項系數(shù)最大，則（g）'G2（g）川c;+1且

--1--11—---1-

7r+1

化簡得<1T；=>i<r<2,

3r-8-r

H7

又?〃￡N.7=1或2,則展開式中系數(shù)最大的項是第二項,7戶和第三項二

33

22.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABC。是平行四邊形，PALAD，PB=2有，AB=2,

~4=3C=4,NABC=60。，點E是線段BC上的動點.

(1)當E為8C中點時，求證：平面PAE，平面曲；

(2)求點8到面PC。距離；

(3)若點M是線段以上的動點，當點E和點M滿足什么條件時，直線ME//面PCD

【答案】(1)證明見解析

⑵心

7

(3)AM=BE*4

【解析】

【分析】(1)先在平面A8CD內(nèi)證明鉆，即，在證明B4_L平面ABCQ，得到DEJ_A4,從而得到

DEJ.平面PAE，使問題得證.

(2)由A8//平面PCO,則點8到面PCQ的距離等于A到面PCD的距離等.過點A作A”_LPC交

PC于點、H,則AH_L平面PCD，即AH為A到面尸8的距離等，由等面積法可求得答案