二次函數壓軸題(難)

(2)設拋物線上存在一點P，使得△PAB與△PBC的面積之比為2:3，求點P的坐標；(3)若拋物線上存在一點Q，使得線段AQ與線段BC的中點重合，求點Q的坐標。1.在平面直角坐標系xOy中，△ABC的A、B兩個頂點在x軸上，頂點C在y軸的負半軸上。已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面積S△ABC=15，拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)經過A、B、C三點。(1)求此拋物線的函數表達式；(2)設E是y軸右側拋物線上異于點B的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F，過點F作FG垂直于x軸于點G，再過點E作EH垂直于x軸于點H，得到矩形EFGH。則在點E的運動過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長；(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點M，使△MBC中BC邊上的高為72？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。2.如圖拋物線y=x^2-mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C(-1,0)，且對稱于x=l。(1)求出拋物線的解析式及A、B兩點的坐標；(2)在x軸下方的拋物線上是否存在點D，使四邊形ABDC的面積為3。若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；(3)點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點P的坐標。3.已知拋物線C：y=ax^2+bx+c(a<0)過原點，與x軸的另一個交點為B(4,0)，A為拋物線C的頂點。(1)如圖1，若∠AOB=60°，求拋物線C的解析式；(2)如圖2，若直線OA的解析式為y=x，將拋物線C繞原點O旋轉180°得到拋物線C'，求拋物線C、C'的解析式；(3)在(2)的條件下，設A'為拋物線C'的頂點，求拋物線C或C'上使得PB=PA'的點P的坐標。4.如圖，已知拋物線與x軸交于A(1,0)，B(-3,0)兩點，與y軸交于點C(0,3)，拋物線的頂點為P，連接AC。(1)求此拋物線的解析式；(2)在拋物線上找一點D，使得DC與AC垂直，且直線DC與x軸交于點Q，求點D的坐標；(3)拋物線對稱軸上是否存在一點M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M點坐標；若不存在，請說明理由。5.已知頂點為A(1,5)的拋物線y=ax^2+bx+c經過點B(5,1)。(1)求拋物線的解析式;(2)設拋物線上存在一點P，使得△PAB與△PBC的面積之比為2:3，求點P的坐標；(3)若拋物線上存在一點Q，使得線段AQ與線段BC的中點重合，求點Q的坐標。1.大時，求出此時直線l的關系式；求解：缺少題干，無法進行改寫。2.拋物線上是否存在點C使△AOC的面積與（2）中△AOB的最大面積相等．若存在，求出點C的橫坐標；若不存在說明理由．改寫：在拋物線上是否存在點C，使得△AOC的面積等于△AOB的最大面積。如果存在，請求出點C的橫坐標；如果不存在，請說明理由。3.如圖，在直角坐標系中，已知點A（，1），B（－4，4），將點B繞點A順時針方向旋轉90°得到點C；頂點在坐標原點的拋物線經過點B．（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；（2）拋物線上一動點P，設點P到x軸的距離為d1，點P到點A的距離為d2，試說明d2=d1＋1；（3）在（2）的條件下，請探究當點P位于何處時，△PAC的周長有最小值，并求出△PAC的周長的最小值．改寫：在直角坐標系中，已知點A（，1），B（－4，4），將點B繞點A順時針方向旋轉90°得到點C；頂點在坐標原點的拋物線經過點B。現在有以下問題：（1）求解拋物線的解析式和點C的坐標；（2）拋物線上一動點P，設點P到x軸的距離為d1，點P到點A的距離為d2，試說明d2=d1＋1；（3）在（2）的條件下，請探究當點P位于何處時，△PAC的周長有最小值，并求出△PAC的周長的最小值。4.已知如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO為梯形，BC∥AO，四個頂點坐標分別為A(4，0)，B(1，4)，C(0，4)，O(0，0)。一動點P從O出發以每秒1個單位長度的速度沿OA的方向向A運動；同時，動點Q從A出發，以每秒2個單位長度的速度沿ABC的方向向C運動。兩個動點若其中一個到達終點，另一個也隨之停止。求函數關系式，求t為何值時，S有最大值？改寫：已知如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO為梯形，BC∥AO，四個頂點坐標分別為A(4，0)，B(1，4)，C(0，4)，O(0，0)。一動點P從O出發以每秒1個單位長度的速度沿OA的方向向A運動；同時，動點Q從A出發，以每秒2個單位長度的速度沿ABC的方向向C運動。兩個動點若其中一個到達終點，另一個也隨之停止。現在有以下問題：（1）求過A，B，C三點的拋物線的解析式；（2）當t為何值時，PB與AQ互相平分；（3）連接PQ，設△PAQ的面積為S，探索S與t最大值是多少？5.如圖，已知拋物線經過原點O，與x軸交于另一點A，它的對稱軸x2與x軸交于點C，直線y2x1經過拋物線上一點B(m，3)，且與y軸、直線x2分別交于點D，E．（1）求拋物線對應的函數解析式并用配方法把這個解析式化成ya(xh)2k的形式；（2）求證：CD⊥BE；（3）在對稱軸x2上是否存在點P，使△PBE是直角三角形，如果存在，請求出點P的坐標，并求出△PAB的面積；如果不存在，請說明理由。改寫：如圖，已知拋物線經過原點O，與x軸交于另一點A，它的對稱軸x2與x軸交于點C，直線y2x1經過拋物線上一點B(m，3)，且與y軸、直線x2分別交于點D，E?，F在有以下問題：（1）求解拋物線的函數解析式，并用配方法將其化為ya(xh)2k的形式；（2）證明：CD⊥BE；（3）在對稱軸x2上是否存在點P，使△PBE是直角三角形？如果存在，請求出點P的坐標，并求出△PAB的面積；如果不存在，請說明理由。6.如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC與y軸相交于點M，且M是BC的中點，A、B、D三點的坐標分別是A（1，，B（1，，D（3，）．連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON．若拋物線yaxbxc經過點D、M、N．（1）求拋物線的解析式．（2）拋物線上是否存在點P，使得PA=PC，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．改寫：如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC與y軸相交于點M，且M是BC的中點，A、B、D三點的坐標分別是A（1，，B（1，，D（3，）．連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON。現在有以下問題：（1）求解拋物線的函數解析式；（2）拋物線上是否存在點P，使得PA=PC？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由。13.拋物線y=ax^2+2ax+c(a≠0)與y軸交于點C(0，4)，與x軸交于點A(－4，0)和B。求該拋物線的解析式，以及點Q在什么位置時有|QE-QC|最大？并求出最大值。解析：(1)由已知得，拋物線的頂點坐標為(-2,4)。因此，解析式為y=a(x+2)^2+4。(2)設點Q的坐標為(x,ax^2+2ax+c)，則點E的坐標為(8-x,0)。根據距離公式可得|QE-QC|=|(8-x)^2+(ax^2+2ax+c)^2-16|^(1/2)-4。為了求|QE-QC|的最大值，可以求其平方的最大值。根據導數的定義，可得到|QE-QC|的平方最大值出現在x=1-a/2，此時|QE-QC|的最大值為2*[(4+a^2)/4]^(1/2)。14.拋物線y=ax^2+2ax+c(a≠0)與y軸交于點C(0，m)，與x軸交于點A(－4，0)和B。求該拋物線的解析式，并解決以下問題：(1)點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ。當△CEQ的面積最大時，求點Q的坐標；(2)平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為(－2，0)。問是否有直線l，使△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由。解析：(1)由已知得，拋物線的頂點坐標為(-2,m)。因此，解析式為y=a(x+2)^2+m。設點Q的坐標為(x,ax^2+2ax+c)，則點E的坐標為(x+4,0)。根據向量的知識，可得向量CE和向量QE的叉積的模長等于△CEQ的面積的兩倍。因此，|CE×QE|=2*|△CEQ|=2*|CE|*|QE|*sin∠CEQ。又因為CE的方向向量為(4,-m)，QE的方向向量為(x+2,ax^2+2ax+c-m)，因此它們的叉積為(4,-m)×(x+2,ax^2+2ax+c-m)=(-4m-(ax^2+2ax+c-m)(x+2),4(x+2)-(ax^2+2ax+c-m))。根據向量的模長公式，可得|CE×QE|=|(-4m-(ax^2+2ax+c-m)(x+2),4(x+2)-(ax^2+2ax+c-m))|=|4(x+2)-(ax^2+2ax+c-m)|*(4m+(ax^2+2ax+c-m)(x+2))^(1/2)。為了求|CE×QE|的最大值，可以求其平方的最大值。根據導數的定義，可得到|CE×QE|的平方最大值出現在x=-a/2，此時|CE×QE|的最大值為(16m)/(4+a^2)^(1/2)。(2)設直線l的解析式為y=k，其中k為實數。由已知得，點P的坐標為((-2-c)/a,k)，點F的坐標為(-c/a,k)。因此，△ODF是等腰三角形的充分必要條件是OF=DF，即-c^2/a^2+(k-m)^2=(k-m)^2。解得c=0，因此直線l的解析式為y=0。此時，點F的坐標為(-c/a,0)=(0,m)。15.拋物線y=ax^2-4ax+m與x軸交于A、B兩點，點A的坐標是（1，0），與y軸交于點C。(1)求拋物線的對稱軸和點B的坐標；(2)過點C作CP⊥對稱軸于點P，連結BC交對稱軸于點D，連結AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求拋物線的解析式；(3)在(2)的條件下，設拋物線的頂點為G，連結BG、CG，求△BCG的面積。解析：(1)由已知得，點A的坐標為(1,0)，因此拋物線的頂點坐標為(1/2,m)。因此，拋物線的對稱軸為x=1/2，點B的坐標為(0,m)。(2)設拋物線的解析式為y=a(x-1/2)^2+m，對稱軸為x=1/2。則點C的坐標為(0,m)，點P的坐標為(1/2,0)。因此，點D的坐標為(0,-m/4)。過點D作DE垂直于對稱軸，交拋物線于點E。設點E的坐標為(x,ax^2-4ax+m)，則有DE∥BP，因此BP的斜率等于DE的斜率。解得x=2a+1。因此，拋物線的解析式為y=a(x-1/2)^2+m=a(x-2a-1)^2+m。(3)設點G的坐標為(x0,ax0^2-4ax0+m)，則有BG∥AC，因此BG的斜率等于AC的斜率。解得x0=1/2-a/2，因此點G的坐標為(1/2-a/2,a/4+m)。因此，△BCG的面積為(3a/4+m/2)^(1/2)*(a/4)。2.經過點A（p，f(p)）的直線與函數的圖像相交于點M、N，過M、N作x軸的垂線，垂足分別為M1、N1。設三角形MAM1、AM1N1、ANN1的面積分別為S1、S2、S3。問是否存在一個常數m，使得對于任意實數p（p≠0），都有S22=mS1S3成立。如果存在，求出m的值；如果不存在，請說