11．3空間中的平行關系11．3.1平行直線與異面直線課程標準1.借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線的關系，了解以下基本事實和定理．基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，并且方向相同那么這兩個角相等．2．重點提升直觀想象、邏輯推理、數學運算和數學抽象素養．新知初探·自主學習——突出基礎性教材要點知識點一基本事實4文字表述：平行于同一條直線的兩條直線________．這一性質叫做空間平行線的________．符號表述：a∥bb知識點二等角定理如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別________，并且方向________，那么這兩個角________．狀元隨筆思考：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，這兩個角具有什么關系？[提示]相等或互補．知識點三異面直線(1)定義：把既不相交又不平行的直線叫做異面直線．(2)畫法：(通常用平面襯托)知識點四空間兩條直線的位置關系共面直線狀元隨筆思考：不在同一平面的兩條直線是異面直線，對嗎？[提示]不對，是不同在任何一個平面內．知識點五空間四邊形1．空間四邊形的定義：順次連接____________所構成的圖形稱為空間四邊形．其中4個點都是空間四邊形的頂點．2．空間四邊形的對角線：連接__________________稱為空間四邊形的對角線．狀元隨筆(1)空間四邊形與四面體是一回事嗎？[提示]不是一回事．空間四邊形可以看成由一個四面體的四條棱構成的圖形，空間四邊形不是四面體．(2)梯形是空間四邊形嗎？[提示]不是．因為梯形是一個平面圖形，它的四個頂點在一個平面上，所以它不是空間四邊形．基礎自測1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，則∠PQR等于()A．30° B．30°或150°C．150° D．以上結論都不對2．一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關系是()A．平行或異面 B．相交或異面C．異面 D．相交3．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是線段C1D，BC的中點，則直線A1B與直線EF的位置關系是________．4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為AA1，CC1的中點，則四邊形D1PBQ是()A．正方形 B．菱形C．矩形 D．空間四邊形課堂探究·素養提升——強化創新性題型1空間兩條直線的位置關系概念的理解例1下列說法中，正確的是()A．空間中沒有交點的兩條直線是平行直線B．一條直線和兩條平行直線中的一條相交，則它和另一條直線也相交C．空間四條直線a，b，c，d，若a∥b，c∥d且a∥d，則b∥cD．分別在兩個平面內的直線是平行直線方法歸納理解空間兩條直線的位置關系的定義共面直線跟蹤訓練1分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關系是()A．一定平行B．一定相交C．一定異面D．相交或異面題型2基本事實4、等角定理的應用例2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點．(1)求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形；(2)求證：∠BMC＝∠B1M1C1.狀元隨筆(1)欲證四邊形BB1M1M是平行四邊形，可證其一組對邊平行且相等；(2)可結合(1)利用等角定理證明或利用三角形全等證明．方法歸納1．空間兩條直線平行的證明一是定義法：即證明兩條直線在同一個平面內且兩直線沒有公共點；二是利用平面圖形的有關平行的性質，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關于平行的性質；三是利用基本事實4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．2．求證角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．跟蹤訓練2如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊12AD，BE綊12FA，G，H分別為FA，(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)判斷C，D，F，E四點是否共面？為什么？狀元隨筆(1)證明四邊形BCHG的一組對邊平行且相等．(2)只需證明C，H，F，E四點共面，即可推出C，D，F，E四點共面．題型3空間兩直線位置關系的判定例3(1)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關系：判斷兩直線的位置關系，主要依據定義判斷．①直線A1B與直線D1C的位置關系是________；②直線A1B與直線B1C的位置關系是________；③直線D1D與直線D1C的位置關系是________；④直線AB與直線B1C的位置關系是________．(2)已知a，b，c是三條直線，且a與b異面，b與c異面，試判斷a與c的位置關系，并畫圖說明．狀元隨筆選擇恰當的平面作為襯托，畫出可能出現的情況．方法歸納(1)判定兩條直線平行與相交可用平面幾何的方法去判斷．(2)判定兩條直線是異面直線有定義法和排除法，由于使用定義判斷不方便，故常用排除法，即說明這兩條直線不平行、不相交，則它們異面．跟蹤訓練3(1)如果兩條異面直線稱為“一對”，那么正方體的12條棱中，異面直線共有()A．12對 B．24對C．36對 D．48對(2)如圖所示，已知α∩β＝a，b?β，a∩b＝A，且c?α，c∥a.求證：b，11．3空間中的平行關系11．3.1平行直線與異面直線新知初探·自主學習[教材要點]知識點一互相平行傳遞性a∥c知識點二對應平行相同相等知識點四相交直線平行直線異面直線知識點五1．不共面的4點2．不相鄰頂點間的線段[基礎自測]1．解析：因為AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR與∠ABC相等或互補．因為∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.答案：B2．解析：如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1與BC是異面直線，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，顯然BB1∩BC＝B，DD1與BC是異面直線，故選答案：B3．解析：直線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交．答案：相交4．解析：設正方體的棱長為2，直接計算可知四邊形D1PBQ各邊均為5，又四邊形D1PBQ是平行四邊形，所以四邊形D1PBQ是菱形．答案：B課堂探究·素養提升例1【答案】C跟蹤訓練1答案：D例2【證明】(1)∵ABCD-A1B1C1D1為正方體．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M、M1分別為棱AD、A1D1的中點，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四邊形AMM1A1為平行四邊形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．(2)證法一：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1.證法二：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1＝BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.跟蹤訓練2解析：(1)證明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊12AD.又BC綊12AD，所以GH綊所以四邊形BCHG為平行四邊形．(2)共面．理由：由BE綊12AF，G為FA的中點知，BE綊FG所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF與CH共面．又D∈FH，所以C，D，F，E四點共面．例3【解析】(1)根據題目條件知直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點，則兩直線“平行”，所以①應該填“平行”；點A1，B，B1在一個平面A1BB1內，而C不在平面A1BB1內，則直線A1B與直線B1C“異面”．同理，直線AB與直線B1C“異面”．所以②④都應該填“異面”；直線D1D與直線D1C相交于D1點，所以③應該填“相交”．(2)直線a與c的位置關系有三種，如圖所示．直線a與c可能平行(如圖①所示)，也可能相交(如圖②所示)，還可能異面(如圖③所示)．【答案】(1)①平行②異面③相交④異面(2)見解析跟蹤訓練3解析：(1)如圖所示，正方體中與AB異面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1.因為各棱具有相同的位置，且正方體有12條棱，排除兩棱的重復計算，所以異