./不等式塊1．排序不等式〔又稱排序原理 設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組及 則〔同序和〔亂序和〔逆序和 其中是1,2,…,n的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)〔對(duì)任一排列成立.2．應(yīng)用排序不等式可證明"平均不等式"： 設(shè)有n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)分別是此外,還有調(diào)和平均數(shù)〔在光學(xué)及電路分析中要用到, 和平方平均〔在統(tǒng)計(jì)學(xué)及誤差分析中用到這四個(gè)平均值有以下關(guān)系.eq\o\ac<○,*>3．應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)——幾何平均數(shù)不等式,可用來(lái)證明下述重要不等式. 柯西〔Cavchy不等式：設(shè)、、,…,是任意實(shí)數(shù),則等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)為常數(shù),時(shí)成立.4．利用排序不等式還可證明下述重要不等式. 切比雪夫不等式：若,, 則例題講解1．求證：2．,求證：3．：4．設(shè),且各不相同,求證：.5．利用基本不等式證明6．已知求證：7．利用排序不等式證明8．證明：對(duì)于任意正整數(shù)R,有9．n為正整數(shù),證明：例題答案：1.證明：評(píng)述：〔1本題所證不等式為對(duì)稱式〔任意互換兩個(gè)字母,不等式不變,在因式分解或配方時(shí),往往采用輪換技巧.再如證明時(shí),可將配方為,亦可利用,3式相加證明.〔2本題亦可連用兩次基本不等式獲證.2.分析：顯然不等式兩邊為正,且是指數(shù)式,故嘗試用商較法.不等式關(guān)于對(duì)稱,不妨,且,都大于等于1.評(píng)述：〔1證明對(duì)稱不等式時(shí),不妨假定個(gè)字母的大小順序,可方便解題.〔2本題可作如下推廣：若〔3本題還可用其他方法得證。因,同理,另,4式相乘即得證.〔4設(shè)例3等價(jià)于類似例4可證事實(shí)上,一般地有排序不等式〔排序原理：設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組,則〔順序和〔亂序和〔逆序和其中的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.排序不等式應(yīng)用較為廣泛〔其證明略,它的應(yīng)用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)有序數(shù)組的積的形式.如.3.思路分析：中間式子中每項(xiàng)均為兩個(gè)式子的和,將它們拆開,再用排序不等式證明.不妨設(shè),則〔亂序和〔逆序和,同理〔亂序和〔逆序和兩式相加再除以2,即得原式中第一個(gè)不等式.再考慮數(shù)組,仿上可證第二個(gè)不等式.4.分析：不等式右邊各項(xiàng)；可理解為兩數(shù)之積,嘗試用排序不等式.設(shè)的重新排列,滿足,又所以.由于是互不相同的正整數(shù),故從而,原式得證.評(píng)述：排序不等式應(yīng)用廣泛,例如可證我們熟悉的基本不等式,5.思路分析：左邊三項(xiàng)直接用基本不等式顯然不行,考察到不等式的對(duì)稱性,可用輪換的方法.；三式相加再除以2即得證.評(píng)述：〔1利用基本不等式時(shí),除了本題的輪換外,一般還須掌握添項(xiàng)、連用等技巧. 如,可在不等式兩邊同時(shí)加上 再如證時(shí),可連續(xù)使用基本不等式.〔2基本不等式有各種變式如等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2,系數(shù)和為1.6. 思路分析：不等式左邊是、的4次式,右邊為常數(shù),如何也轉(zhuǎn)化為、的4次式呢.要證即證 評(píng)述：〔1本題方法具有一定的普遍性.如已知求證：右側(cè)的可理解為再如已知,求證：+,此處可以把0理解為,當(dāng)然本題另有簡(jiǎn)使證法. 〔2基本不等式實(shí)際上是均值不等式的特例.〔一般地,對(duì)于個(gè)正數(shù)調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均這四個(gè)平均值有以下關(guān)系：,其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.7. 證明:令則,故可取,使得由排序不等式有： =〔亂序和〔逆序和 =n, 評(píng)述:對(duì)各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得,.8. 分析:原不等式等價(jià)于,故可設(shè)法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個(gè)數(shù)的幾何平均,而右邊為其算術(shù)平均. 評(píng)述:〔1利用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵是通過(guò)分拆和轉(zhuǎn)化,使其兩邊與均值不等式形式相近.類似可證〔2本題亦可通過(guò)逐項(xiàng)展開并比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的大小