關于功率譜估計模型法第1頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三周期圖法的不足估計方法的方差性能差在功率譜密度計算中沒有實現求均值的運算分辨率低樣本數據x(n)是有限長的，相當于在無限長樣本數據中加載了窗函數(矩形窗、Hanning等)第2頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三參數模型功率譜估計MA模型AR模型ARMA模型第3頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三平穩隨機信號的參數模型如果一個寬平穩隨機信號x(n)通過一個線性時不變系統(LSI)h(n)，則系統輸出y(n)也是寬平穩隨機過程，并且y(n)的功率譜密度和x(n)的功率譜密度滿足下式：其中Pyy、Pxx分別為系統輸出、輸入的功率譜密度，而H(w)為系統脈沖響應的傅立葉變換。第4頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三平穩隨機信號的參數模型如果系統輸入為白噪聲信號u(n)，其功率譜密度為常數σ2，則輸出信號功率譜密度Pxx(w)完全由系統傳遞函數|H(w)|2決定，因此我們通過對H(w)進行建模，從而得到輸出信號的功率譜密度。第5頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三平穩隨機信號的參數模型在上圖中，輸入u(n)為白噪聲信號，其方差為σ2，則系統輸出x(n)的功率譜密度Pxx(w)為：第6頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三平穩隨機信號的參數模型因此我們利用確定性系統傳遞函數H(z)的特性去表征隨機信號x(n)的功率譜密度，稱為參數模型功率譜估計。參數模型功率譜估計的步驟：對H(z)選擇合適的模型：MA模型、AR模型、ARMA模型根據已知樣本數據x(n)，或者x(n)的自相關函數，確定H(z)的參數利用H(z)估計x(n)的功率譜。第7頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三平穩隨機信號的參數模型H(z)的模型：AR模型：auto-Regressive此模型只有極點，沒有零點，對應其幅度譜結構存在譜峰第8頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三平穩隨機信號的參數模型MA模型：Moving-Average此模型只有零點，沒有極點，對應幅度譜結構中存在譜谷點。第9頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三平穩隨機信號的參數模型ARMA模型：此模型同時有零點、極點，對應幅度譜結構中存在譜峰、譜谷第10頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三系統模型對于一階全極點傳遞函數傳遞函數所對應的幅度響應實際上是：第11頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三當a>0第12頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三當a<0第13頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三系統模型對于二階的全極點傳遞函數其對應的幅度響應？由于傳遞函數中，a、b均為實數，且要求極點在單位圓內，因此傳遞函數的極點應該是共軛對稱的。第14頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三系統模型極點位置在[0π/2]內時第15頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三第16頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三系統模型極點位置在[π/2π]內時第17頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三第18頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三系統模型對于二階的全零點系統零點的位置沒有限定要求，那么其幅度響應第19頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三當零點在[0π/2]內時第20頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三在零點在[π/2π]內時第21頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度假設u(n)、x(n)都是寬平穩的隨機信號，其中u(n)為白噪聲，方差為σ2，推導H(z)的模型參數ai與數據x(n)的關系，即所謂AR模型的正則方程(NormalEquation)。第22頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度根據輸入、輸出、系統脈沖響應的關系等式兩邊同乘以x(n-m)，同時取期望運算第23頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度這里首先考慮rxu(m)的求解這里h(k)為H(z)的無限長脈沖響應第24頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度由于系統輸入u(n)為白噪聲信號，因此：這樣rxu(m)為：第25頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度而h(m)為系統H(z)的脈沖響應，由于H(z)為因果系統，因此：這樣，互相關函數rxu(m)為：第26頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度由于h(0)為系統H(z)的脈沖響應，而：因此有h(0)=1第27頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度根據上式以及rxu(m)的求解：第28頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度將等式右側的累加項移到等式左側，這樣上式就可以寫成方程組的形式：第29頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度在方程組的形式中，由于H(z)模型參數ai為p個，以及白噪聲方差σ2，因此需要p+1個方程就可以求解，同時根據自相關函數的對稱性，將方程組展開為矩陣形式：第30頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度這就是AR模型的正則方程，也稱為Yule-Walker方程。第31頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度得到AR模型的參數，就可以估計功率譜密度：第32頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR譜估計特點譜估計的特征在譜峰值處，AR譜和信號譜很接近譜谷底位置，則相差比較大。第33頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三

第34頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三

第35頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三

清音第36頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型與線性預測的關系線性預測系數aj構成的全極點濾波器H(z)：其逆過程為：第37頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型與線性預測的關系AR模型：對應的輸入、輸出關系：第38頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型與線性預測的關系那么：第39頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型與線性預測的關系這里我們發現線性預測過程是AR模型估計功率譜的逆過程。當預測器的階數和AR模型的階數相同時，對應的預測器系數h和AR模型參數ai才有一一對應的關系。第40頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型功率譜估計性能分析周期圖法中由于自相關函數rxx(m)的長度為2N-1，因此相當于對真實的自相關函數進行了加窗處理，自相關函數的取值范圍在[-(N-1)N-1]內，在此范圍外的值為零值，從而導致了估計的功率譜密度受到窗函數譜的影響，降低了分辨率。AR模型對功率譜估計的改進實際上體現在對自相關函數的延拓特性上，沒有將估計的自相關函數取值限制在[-(N-1)N-1]的范圍內。第41頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型功率譜估計性能分析根據Yule-Walker方程可知：首先估計p+1個自相關函數rxx(0)，rxx(1)，…，rxx(p)后，可以根據上式得到AR模型參數ai。這樣，就根據ai得到對p之后的自相關函數進行拓展：第42頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型功率譜估計性能分析這里m>p，因此我們利用p個估計的自相關函數，可以對m>p所有的自相關函數rxx(m)進行延拓，從而提高了自相關函數窗的長度，增加了功率譜估計的頻域分辨率。第43頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型階數p的選擇如果模型的階數過小，則會增加對功率譜的平滑作用，降低譜的分辨率但如果階數太高，雖然會降低預測誤差的方差，但會導致譜峰的分裂，增加估計誤差。這是由于階數實際上對應于譜結構中的譜峰情況。第44頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型階數p的選擇第45頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型階數p的選擇第46頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型階數p的選擇在進行AR譜估計時，首先需要確定階數p。p的選擇可以基于以下三種準則進行。最終預測誤差準則(FPE)其中k為階數，N為樣本數據x(n)的長度，而ρk表示k階AR模型得到的白噪聲方差。上式最小值對應的階數為最終選擇的階數。第47頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型階數p的選擇阿凱克信息論準則(AIC)同樣選擇使上式最小的k值作為模型的階數。AIC準測和FPE準則在樣本數據x(n)長度較長時，估計得到的模型階數相似。對于較短的樣本數據，建議使用AIC準則。第48頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型階數p的選擇自回歸傳遞函數準則(CAT)同樣使得上式最小的k為模型階數。第49頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型參數的求解自相關法利用Yule-Walker方程得到AR模型參數ai：第50頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型參數的求解Yule-Walker方程中的自相關函數rxx(m)為有偏估計值：第51頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度系數矩陣不僅僅是對稱的，而且沿著和主對角線平行的任意一條對角線上的元素都相等，這樣的矩陣稱為Toeplitz矩陣，可以利用Levinson-Durbin遞推算法得到p個參數ai以及方差σ2。第52頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度如果采用有偏估計得到自相關函數，就可以利用Levinson-Durbin高效的求解AR模型參數，并且可以保證求解的系數ai在單位圓內，即保證AR模型的穩定性。這種方法稱為自相關法同時自相關法計算的白噪聲信號功率會隨著階數的增加而減小或者保持不變。第53頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度但自相關法也存在一定的問題，由于在求解自相關函數的時候，進行了矩形加窗處理，降低了分辨率。同時當樣本數據長度較短時，估計誤差會比較大，出現譜峰偏移和譜線分裂。第54頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度協方差法第55頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度其中的自相關函數為：同時白噪聲的方差為：第56頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度計算自相關函數時，樣本數據的取值范圍與自相關法不同，這樣保證了不對樣本數據進行矩形窗的截斷，因此如果樣本函數的長度較短時，可以獲得比自相關法更好的譜分辨率。如果樣本函數的長度遠遠大于階數p時，自相關法和協方差法的性能是差不多的。同時協方差法求解的是非Toeplitz陣，不能用迭代的方法計算，因此運算復雜度較大。同時也不能像自相關法一樣保證AR模型的穩定性。第57頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度修正的協方差法與協方差法類似，自相關函數的求解修正為：同時估計的白噪聲方差為：第58頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度修正的協方差法從線性預測的角度分析，實際上是同時進行前向、后向預測，因此其估計譜的分辨率比較高，譜峰的偏移也比較小。但缺點同樣是需要求解非Toeplitz陣，計算比較復雜。第59頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三AR模型估計功率譜密度Burg遞推法以上提到的自相關法、協方差法和修正的協方差都要估計樣本數據的自相關函數，如果能免去自相關函數的求解，從而直接根據樣本函數得到AR模型參數ai，從而可以減少中間步驟，提高譜估計的性能。同時采用前向、后向線性預測。這種算法對短數據的功率譜估計比自相關函數法要準確。第60頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三應用針對含噪正弦信號數據64點，采用分段平均周期圖法和AR模型第61頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三應用—AR模型，—周期圖法第62頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三應用數據長度為64，采用分段的周期圖法和AR模型第63頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三應用—AR模型，—周期圖法第64頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三應用數據長度為64點，取不同階數(4、20)的AR模型對譜估計的影響。第65頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三應用第66頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三MA模型估計功率譜密度與AR模型一樣，首先推導MA參數bi與樣本數據x(n)的正則方程。首先，MA模型參數為：第67頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三MA模型估計功率譜密度輸入白噪聲信號u(n)、MA模型以及輸出x(n)之間為線性卷積的關系：與AR模型進行相同的分析，得到：第68頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三MA模型估計功率譜密度MA模型只有q個零點，并且注意MA的正則方程，MA模型計算的自相關函數的取值范圍為[-qq]，并且類似于MA模型參數bi的自相關函數這樣估計的功率譜密度為：第69頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三MA模型估計功率譜密度注意到，根據計算的自相關函數rxx(m)得到的功率譜為：因此從譜估計的角度，MA模型譜估計等效于經典譜估計中的自相關法，譜估計的分辨率低。第70頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三ARMA模型估計功率譜密度ARMA模型實際上AR模型和MA模型的綜合，其正則方程為：其中h(k)為ai和bi的函數，因此該方程為非線性方程，求解較為復雜。第71頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三最大熵譜估計方法rxx(k)的最大熵外推法經典譜估計中是零值外推，對于窄帶信號是很不精確的，如何對rxx(k)進行外推？這里re(k)表示自相關函數的外推值第72頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三最大熵譜估計方法對re(k)的約束條件是什么？保證得到的功率譜密度是實數，并且是非負的。使隨機信號x(n)的熵最大，等價為使得x(n)盡可能的‘白化’，對功率譜而言，使得估計的功率譜Pxx(w)‘盡可能平坦’。第73頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三最大熵譜估計方法對于能量有限的信號，具有高斯分布的隨機信號x(n)具有最大的熵率，并且x(n)是高斯AR過程，即x(n)的功率譜是全極點形式的譜結構。第74頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三最大熵譜估計方法根據以上要求外推的自相關函數rxx(k)：而ap為自相關正則方程的解：第75頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三最大熵譜估計方法最大熵譜估計的解釋是：根據給定隨機信號x(n)，利用對x(n)AR模型的限制，對自相關函數進行外推，并且假設x(n)為高斯分布。實際上最大熵譜估計與Yule-Walker方法估計功率譜是等價的。第76頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三最大熵譜估計方法這里對最大熵譜估計方法的描述，用于解釋該方法譜估計的實質問題。最大熵估計外推對數據強加了一個全極點模型，因此MEM估計是否優于傳統方法，取決于所分析的信號類型，以及信號模型逼近AR過程的程度第77頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三特征分解法譜估計對于帶有白噪聲的正弦波組合，由于正弦波之間是非諧波的關系，因此不能用基于傅立葉變換的周期圖法進行分析。而特征分解法可以得到比AR模型更高的分辨率，特別是信噪比比較低的時候，譜估計的效果比較理想。第78頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三特征分解法譜估計一階諧波過程：其中復指數A1=|A1|ej?1

,?1是均勻分布的隨機變量，w(n)是方差為σw2的白噪聲第79頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三特征分解法譜估計復數隨機信號的自相關矩陣定義為：第80頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三特征分解法譜估計Rss的秩為1.第81頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三特征分解法譜估計定義則Rss可以用e1表示：因此Rss的非零特征值為M|A1|2第82頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三特征分解法譜估計Rxx和Rss的特征向量是一致的。Rxx的特征根是Rss的特征根和噪聲方差之和第83頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三特征分解法譜估計根據Rx的特征值和特征矢量獲得關于x(n)的參數：Rx進行特征值分解，最大的特征值為M|A1|2+σw2

，其它的特征值均為σw2利用Rx的特征值求信號功率|A1|2和噪聲方差：第84頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三特征分解法譜估計最大特征值對應的特征矢量為e1，則e1第二個系數為ejw1,其頻率即為w1第85頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三特征分解法譜估計基于信號自相關矩陣分解的頻率估計算法：將樣本空間分為信號子空間和噪聲子空間，然后用頻率估計函數估計頻率值。假設隨機信號x(n)由p個復指數信號和白噪聲信號組成：其中s(n)為正弦信號，v(n)為白噪聲第86頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三特征分解法譜估計X(n)信號的自相關函數：其中Pi是功率：Pi=|Ai|2第87頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三特征分解法譜估計則x(n)的自相關矩陣為：第88頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三特征分解法譜估計其中ei為：第89頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三特征分解法譜估計設vi是Rss的特征矢量：vi也是Rxx的特征矢量，并且Rxx的特征根是Rss特征根和噪聲方差之和：第90頁，講稿共98頁，2023年5月2日，星期三特征分解法譜估計Rss的秩為p，因此