方差分析解決的主要問題是什么？單因素方差分析與雙因素方差分析原理的相同點與不同點？正交實驗設計的基本原理是什么？正交檢驗的極差分析和方差分析

[例題]某公司計劃引進一條生產線.為了選擇一條質量優良的生產線以減少日后的維修問題,他們對6種型號的生產線作了初步調查,每種型號調查4條,結果列于表8-1。這些結果表示每個型號的生產線上個月維修的小時數。試問由此結果能否判定由于生產線型號不同而造成它們在維修時間方面有顯著差異?4.1方差分析的基本概念和原理正交檢驗的極差分析和方差分析表4－1對6種型號生產線維修時數的調查結果序號型號1234A型9.58.811.47.8B型4.37.83.26.5C型6.58.38.68.2D型6.17.34.24.1E型10.04.85.49.6F型9.38.77.210.14.1方差分析的基本概念和原理正交檢驗的極差分析和方差分析

研究的指標:維修時間記作Y, 控制因素是生產線的型號,分為6個水平即A,B,C,D,E,F，每個水平對應一個總體Yi(i=1,2,…,6)。

4.1方差分析的基本概念和原理正交檢驗的極差分析和方差分析

現在的試驗就是進行調查,每種型號調查4臺,相當于每個總體中抽取一個容量為4的樣本,得到的數據記作yij(i=1,2,…,6;j=1,2,3,4),即為下表數據。 計算各樣本平均數如下:型號ABCDEF9.45.57.95.47.58.8表8－24.1方差分析的基本概念和原理正交檢驗的極差分析和方差分析

兩個總體平均值比較的檢驗法 把樣本平均數兩兩組成對: 與,與,…

與,與,…,與,共有(15)對。4.1方差分析的基本概念和原理正交檢驗的極差分析和方差分析即使每對都進行了比較,并且都以0.95的置信度得出每對均值都相等的結論,但是由此要得出這6個型號的維修時間的均值都相等。這一結論的置信度僅是

上述方法存在的問題工作量大置信度低將這15對平均數一一進行比較檢驗

4.1方差分析的基本概念和原理正交檢驗的極差分析和方差分析方差分析的基本原理：(1)將數據總的偏差平方和按照產生的原因分解成： (總的偏差平方和)= (由因素水平引起的偏差平方和)+(試驗誤差平方和)(2)上式右邊兩個平方和的相對大小可以說明因素的不同水平是否使得各型號的平均維修時間產生顯著性差異,為此需要進行適當的統計假設檢驗.4.1方差分析的基本概念和原理正交檢驗的極差分析和方差分析數學模型和數據結構參數點估計分解定理自由度顯著性檢驗多重分布與區間估計4.2單因素試驗的方差分析正交檢驗的極差分析和方差分析 在單因素試驗中,為了考察因素A的k個水平A1, A2,…,Ak對Y的影響(如k種型號對維修時間的影響),設想在固定的條件Ai下作試驗.所有可能的試驗結果組成一個總體Yi,它是一個隨機變量.可以把它分解為兩部分 （4-1）4.2.1數學模型和數據結構正交檢驗的極差分析和方差分析其中： 純屬Ai作用的結果,稱為在Ai條件下Yi的真值(也稱為在Ai條件下Yi的理論平均).是實驗誤差(也稱為隨機誤差)。 （4-2） 其中,和都是未知參數(i=1,2,…,k).4.2.1數學模型和數據結構正交檢驗的極差分析和方差分析 假定在水平Ai下重復做m次試驗,得到觀測值

12…j…M合計平均A1Y11Y12…Y1j…Y1mT1A2Y21Y22…Y2j…Y2mT2………………………AiYi1Yi2…Yij…YimTi………………………AkYk1Yk2…Ykj…YkmTk表4－34.2.1數學模型和數據結構正交檢驗的極差分析和方差分析

表中：(i=1,2,…,k)(4-3)Yij表示在Ai條件下第j次試驗的結果,用式子表示就是

(i=1,2,…,kj=1,2,…,m)(4-4)注意: 每次試驗結果只能得到Yij,而(4-4)式中的和都不能直接觀測到。4.2.1數學模型和數據結構正交檢驗的極差分析和方差分析

為了便于比較和分析因素A的水平Ai對指標影響的大小,通常把再分解為

(i=1,2,…,k)(4-5)

其中, 稱為一般平均(GrandMean),它是比 較作用大小的一個基點；8.2.1數學模型和數據結構正交檢驗的極差分析和方差分析

并且稱

為第i個水平Ai的效應.它表示水平的真值比一般水平差多少。滿足約束條件(4-6)

可得

i=1,2,…,k;j=1,2,…,m4.2.1數學模型和數據結構正交檢驗的極差分析和方差分析要解決的問題找出參數和的估計量分析觀測值的偏差檢驗各水平效應有無顯著差異4.2.1數學模型和數據結構正交檢驗的極差分析和方差分析

用最小二乘法求參數的估計量,然后尋求的無偏估計量. 須使參數的估計值能使在水平Ai下求得的觀測值Yij與真值之間的偏差盡可能小。 為滿足此要求,一般考慮用最小偏差平方和原則,也就是使觀測值與真值的偏差平方和達到最小.4.2.2參數點估計正交檢驗的極差分析和方差分析 由(4-4)可知,上述偏差平方和

令下列各偏導數為零(i=1,2,…,k)4.2.2參數點估計正交檢驗的極差分析和方差分析由 解得(4-7)由解得(4-8)4.2.2參數點估計正交檢驗的極差分析和方差分析 并由此得的估計量

至此,求得參數的估計量

(4-9)4.2.2參數點估計正交檢驗的極差分析和方差分析 按照上述原則求參數估計量的方法稱為最小二乘法,稱為最小二乘估計量. 我們還可以證明分別是參數的無偏估計量。 將和分別用它們的估計量代替,可以得到試驗誤差的估計量,

(4-10)4.2.2參數點估計正交檢驗的極差分析和方差分析

為了由觀測值的偏差中分析出各水平的效應,我們研究三種偏差:,和. 根據前面參數估計的討論,它們分別表示

,

定理

(4-11)的估計.和4.2.3分解定理自由度正交檢驗的極差分析和方差分析證明：4.2.3分解定理自由度正交檢驗的極差分析和方差分析 令則分解定理(8-11)可寫成

(4-12)

4.2.3分解定理自由度正交檢驗的極差分析和方差分析上式中,

稱為總偏差平方和.稱為誤差平方和(或組內平方和);稱為因素A的效應平方和(或組間平方和),

ST的自由度fT=km-1

SA的自由度fA=k-1

SE的自由度fE=k(m-1) 容易看出，自由度之間也有類似于分解定理的關系

(4-13)4.2.3分解定理自由度正交檢驗的極差分析和方差分析參數假設檢驗的假設條件

觀測值(i=1,2,…,k;j=1,2,…,m)相互獨立在水平Ai條件下,Yij(j=1,2,…m)服從正態分布N4.2.4顯著性檢驗正交檢驗的極差分析和方差分析 要判斷在因素A的k個水平條件下真值之間是否有顯著性差異, 即檢驗假設

H0:,H1:不全相等

相當于檢驗假設

H0:(i=1,2,…,k),H1:αi不全為零

4.2.4顯著性檢驗正交檢驗的極差分析和方差分析 可以證明當H0為真時, ,,(4-16)

并且與相互獨立.

得

(4-17)

其中和稱為均方(MeanSquare).4.2.4顯著性檢驗正交檢驗的極差分析和方差分析 利用(8-17)式來檢驗原假設H0是否成立.對于給定的顯著水平,可以從F分布表查出臨界值再根據樣本觀測值算出FA的值. 當時,拒絕H0,

當時,接受H0。4.2.4顯著性檢驗正交檢驗的極差分析和方差分析方差來源平方和自由度均方F比組間(因素A)SAK-1SA/(k-1)組內(實驗誤差)SEK(m-1)SE／k(m-1)總和ST=SA+SEKm-1---表4－4方差分析表4.2.4顯著性檢驗正交檢驗的極差分析和方差分析 下面繼續討論前面6種型號的生產線的例子。根據調查結果，在=0.05的顯著水平時，檢驗這6種型號的生產線在平均維修時間方面有無顯著差異？ 根據實踐經驗，認為各種型號生產線的維修時間是近似服從正態分布的。 作統計假設：6種型號的生產線平均維修時數無顯著差異，即

H0：αi=0（i=1,2,…,6）,H1:αi不全為零4.2.4顯著性檢驗正交檢驗的極差分析和方差分析計算SA及SE

4.2.4顯著性檢驗正交檢驗的極差分析和方差分析表4－5計算列表臺號型號1234TiTi2A型9.58.811.47.837.51406.25358.49B型4.37.83.26.521.8475.24131.82C型6.58.38.68.231.6998.56252.34D型6.17.34.24.121.7470.89124.95E型10.04.85.49.629.8888.04244.36F型9.38.77.210.135.31246.09316.034.2.4顯著性檢驗正交檢驗的極差分析和方差分析 再將計算結果分別代入SA與SE兩式中，得到

第一自由度 第二自由度4.2.4顯著性檢驗正交檢驗的極差分析和方差分析

查F分布表得 由于，故拒絕H0。 該結論說明，至少有一種生產線型號的效應不為零，這等價于至少有兩種型號的生產線的平均維修時數是有顯著差異的。方差來源平方和

自由度均方F比組間SA55.55511.11組內SE56.72183.15總和ST112.2723---表4－6方差分析表4.2.4顯著性檢驗正交檢驗的極差分析和方差分析q檢驗法：計算任意兩水平的差值，當時，判斷與差異顯著；當時，判斷與差異顯著。查多重比較的q表得

(8-18)

4.2.5多重分布與區間估計正交檢驗的極差分析和方差分析區間估計在置信度為的情況下，的置信區間為（8-19）

4.2.5多重分布與區間估計正交檢驗的極差分析和方差分析雙因素方差分析的類型數據結構離差平方和的分解應用實例4.3雙因素方差分析正交檢驗的極差分析和方差分析 在實際問題的研究中，有時需要考慮兩個因素對實驗結果的影響。 例如飲料銷售，除了關心飲料顏色之外，我們還想了解銷售地區是否影響銷售量，如果在不同的地區，銷售量存在顯著的差異，就需要分析原因。采用不同的銷售策略，使該飲料品牌在市場占有率高的地區繼續深入人心，保持領先地位；在市場占有率低的地區，進一步擴大宣傳，讓更多的消費者了解、接受該生產線。4.3.1雙因素方差分析的類型正交檢驗的極差分析和方差分析

若把飲料的顏色看作影響銷售量的因素A，飲料的銷售地區則是影響因素B。對因素A和因素B同時進行分析，就屬于雙因素方差分析。 雙因素方差分析的內容，是對影響因素進行檢驗，究竟是一個因素在起作用，還是兩個因素都起作用，或是兩個因素的影響都不顯著。4.3.1雙因素方差分析的類型正交檢驗的極差分析和方差分析雙因素方差分析的類型無交互作用的雙因素方差分析有交互作用的雙因素方差分析假定因素A和因素B的效應之間是相互獨立的，不存在相互關系

假定因素A和因素B的結合會產生出一種新的效應

4.3.1雙因素方差分析的類型正交檢驗的極差分析和方差分析

例如， 若假定不同地區的消費者對某種顏色有與其他地區消費者不同的特殊偏愛，這就是兩個因素結合后產生的新效應，屬于有交互作用的背景； 否則，就是無交互作用的背景。有交互作用的雙因素方差分析已超出本書的范圍，這里介紹無交互作用的雙因素方差分析。4.3.1雙因素方差分析的類型正交檢驗的極差分析和方差分析雙因素方差分析的數據結構如表所示：

雙因素方差分析數據結構因素AA1A2…Ar因素BB1X11X12…X1rB2X21X22…X2r………………BkXk1Xk2…Xkr…表8－74.3.2數據結構正交檢驗的極差分析和方差分析

表中，因素A位于列的位置，共有r個水平，代表第j種水平的樣本平均數；因素B位于行的位置，共有k個水平，代表第i種水平的樣本平均數。為樣本總平均數，樣本容量n=r×k。

每一個觀察值Xij看作由A因素的r個水平和B因素的k個水平所組合成的r×k個總體中抽取樣本容量為1的獨立隨機樣本。這r×k個總體的每一個總體均服從正態分布，且有相同的方差。這是進行雙因素方差分析的假定條件。4.3.2數據結構正交檢驗的極差分析和方差分析

4.3.3離差平方和的分解正交檢驗的極差分析和方差分析各離差平方和對應的自由度： 總離差平方和SST的自由度為r×k-1=n-1；

因素A的離差平方和SSA的自由度為r-1； 因素B的離差平方和的自由度為k-1； 隨機誤差SSE的自由度為（r-1）×（k-1）4.3.3離差平方和的分解正交檢驗的極差分析和方差分析由離差平方和與自由度可以計算均方差：

對因素A而言：

對因素B而言：

對隨機變量而言：4.3.3離差平方和的分解正交檢驗的極差分析和方差分析表4－8雙因素方差分析表誤差來源離差平方和自由度均方差F值A因素SSAr-1MSA=SSA/(r-1)FA=MSA/MSEＢ因素SSBk-1MSB=SSB/(k-1)FB=MSB/MSE誤差SSE(r-1)(k-1)MSE=SSE/(r-1)(k-1)---合計SSTn-1------4.3.3離差平方和的分解正交檢驗的極差分析和方差分析

某商品有五種不同的包裝方式（因素A），在五個不同地區銷售（因素B），現從每個地區隨機抽取一個規模相同的超級市場，得到該商品不同包裝的銷售資料如下表.表4－9

現欲檢驗包裝方式和銷售地區對該商品銷售是否有顯著性影響。（ɑ=0.05）包裝方式(A)A1A2A3A4A5銷售地區(B)B12012201014B2221020126B32414181810B41648618B526221620104.3.4應用實例正交檢驗的極差分析和方差分析

解：

若五種包裝方式的銷售的均值相等，則表明不同的包裝方式在銷售上沒有差別。建立假設 對因素A： H0：,包裝方式之間無差別 H1：不全相等,包裝方式之間有差別 對因素B： H0：地區之間無差別 H1：不全相等地區之間有差別4.3.4應用實例正交檢驗的極差分析和方差分析計算F值

因素A的列均值分別為：因素B的行均值分別為：總均值=15.04故：SST=（20-15.04）2+…+(10-15.04)2=880.96SSA=5(21.6-15.04)2+…+5(11.6-15.04)2=335.36SSB=5(15.2-15.04)2+…+5(18.8-15.04)2=199.36SSE=880.96-335.36-199.36=346.24

4.3.4應用實例正交檢驗的極差分析和方差分析接下來：因此4.3.4應用實例正交檢驗的極差分析和方差分析統計決策對于因素A，因為

FA=3.87>Fcrit=3.01故拒絕H0，接受H1，說明不同的包裝方式對該商品的銷售產生影響。對于因素B，因為

FB=2.30<Fcrit=3.01故接受H0，說明不同地區該商品的銷售沒有顯著差異。4.3.4應用實例正交檢驗的極差分析和方差分析

在工農業生產和科學研究中，經常會遇到多因素試驗問題，在實際中不需要進行各種水平組合的全面試驗，只需從各種不同搭配情況中，選取一小部分來進行就可以了。那么，怎樣選取以及如何分析試驗結果，才能科學的回答如下問題：各因素對指標的影響，哪個因素重要？哪個因素次之？每個因素中，哪個水平為好？各個因素和水平依哪種情況搭配可使試驗結果最佳？

解決這些問題正是正交試驗設計的主要內容。4.4正交試驗設計正交檢驗的極差分析和方差分析正交試驗統計的基本思想正交表與直觀分析法方差分析法4.4正交試驗設計正交檢驗的極差分析和方差分析 考慮進行一個三因素、每個因素有三個水平的試驗。如果作全面試驗，需作=27次。圖8-14.4.1正交試驗統計的基本思想正交檢驗的極差分析和方差分析 如果進行正交試驗設計，利用正交表安排試驗，對于三因素三水平的試驗來說，需要作9次試驗，用“Δ”表示，標在圖中。 如果每個平面都表示一個水平，共有九個平面，可以看到每個平面上都有三個“Δ”點，立方體的每條直線上都有一個“Δ”點，并且這些“Δ”點是均衡地分布著。4.4.1正交試驗統計的基本思想正交檢驗的極差分析和方差分析 正交表是正交試驗設計的工具。 最簡單的正交表是L4(23)，此外還有L8(27)，L9(34)，L16(45)等等。 L表示一張表，它的數字，有三層不同的含義，以L4(23)為例加以說明。4.4.2正交表與直觀分析法正交檢驗的極差分析和方差分析L4(23)表的結構: 包括4行，3列，表中只出現1、2兩個反映水平的數字。行數水平數列數L4(23)4.4.2正交表與直觀分析法Ln(rm)正交檢驗的極差分析和方差分析L4(23)表的用法

作4次試驗，可以最多安排3個二水平的因素（因子）

試驗數水平數因子數L4(23)4.4.2正交表與直觀分析法正交檢驗的極差分析和方差分析L4(23)表的效率

全因素全水平的實驗做8次,正交實驗做4次.理論上全部試驗的次數實際試驗次數L4(23)4.4.2正交表與直觀分析法正交檢驗的極差分析和方差分析

表4－10L4(23)列號試驗號12311112122321242214.4.2正交表與直觀分析法正交檢驗的極差分析和方差分析正交表的特點每一列中,不同的數字出現的次數相等,如L4(23)表中的數1和2,它們各出現了兩次任意兩列中,將同一橫行的兩個數字看成有序數對時,每種數對出現的次數相等。如L4(23)表中共有的四種有序數對(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),它們各出現一次。由此保證了用正交表安排的試驗計劃是均衡搭配的。4.4.2正交表與直觀分析法正交檢驗的極差分析和方差分析

[例]某化工廠生產一種試劑，產率較低，希望通過試驗探索好的生產工藝以提高產率。考察的因子與水平如下表:表4－11因子水平A反應溫度(攝氏度)B反應時間(小時)C攪拌速度一水平301快二水平401.5中三水平502慢4.4.2正交表與直觀分析法正交檢驗的極差分析和方差分析表4－12試驗計劃表

列號試驗號1反應溫度(攝氏度)A2反應時間(小時)B3攪拌速度C1130111快213021.52中3130323慢4240112中524021.53慢6240321快7350113慢835021.51快9350322中4.4.2正交表與直觀分析法正交檢驗的極差分析和方差分析表8－13計算表4.4.2正交表與直觀分析法正交檢驗的極差分析和方差分析

在A因子水平相同的三組試驗中,極差它表示反應溫度40攝氏度與50攝氏度相比,試劑的產率平均提高15.6%. 用同樣的方法可以比較B因子和C因子各水平的好與差.4.4.2正交表與直觀分析法正交檢驗的極差分析和方差分析結論反應溫度對產率影響最大,其次是反應時間,再其次是攪拌速度.反應溫度是40度好,反應時間是1.5小時好,攪拌速度是快速好.最好的生產工藝是A2B2C1:即 反應溫度40攝氏度; 反應時間1.5小時; 攪拌速度快速.4.4.2正交表與直觀分析法正交檢驗的極差分析和方差分析 利用方差分析法來分析試驗結果時，由于要考慮隨機因素對