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文檔簡介
第三章
微分中值定理與導數的應用習題課一、主要內容二、典型例題洛必達法則Lagrange中值定理常用的泰勒公式00
,1￥
,￥
0
型￥-￥
型型型00￥￥Cauchy中值定理Taylor中值定理F
(
x)
=
xf
(a)
=
f
(b)
Rolle定理n
=
0f1
g
1
ff
-
g
=
1
g
-
1
f令y
=f
g取對數0
￥
型f g
=
1
g導數的應用單調性,極值與最值,凹凸性,拐點,函數
圖形的描繪;曲率;求根方法.一、主要內容4、洛必達法則型及
型未定式0
￥0
￥10.定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則.20.
0
￥
,￥-￥
,00
,1￥
,￥
0型未定式關鍵:將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型
(
0
),
(
￥
)
.0
￥注意：洛必達法則的使用條件.常用函數的麥克勞林公式(2n
+
1)!x
3
x
5
x
2n+1sin
x
=
x
-
+
-
+
(-1)n
+
o(
x
2n+2
)2!
4!
6!(2n)!cos
x
=
1
-x
2n3!
5!x
2
x4
x6+
- +
+
(-1)n
+
o(
x
2n)n+1+
o(
x
)n2
3
n
+
1xn+1x2
x3ln(1
+
x)
=
x
-
+
-
+
(-1)=
1
+
x
+
x
2
+
+
xn
+
o(
xn
)1
-
x12!+
m(m
-
1)(m
-
n
+
1)
xn
+
o(
xn
)n!(1
+
x)m
=
1
+
mx
+
m(m
-
1)
x
2
+(1)如果x
?
(
x0
-
d
,
x0
),有
f
(
x)
>
0;而x
?
(
x0
,
x0
+
d
)
,定理(第一充分條件)'有
f
'(
x)
<
0，則
f
(
x)在x
處取得極大值.0如果x
?
(
x0
-
d
,
x0
),有
f
(
x)
<
0;而x
?
(
x0
,
x0
+
d
)'有
f
'(
x)
>
0，則
f
(
x)在x
處取得極小值.0如果當x
?
(
x0
-
d
,
x0
)及x
?
(
x0
,
x0
+
d
)
時,
f
(
x)
符'號相同,則f
(x)在x0
處無極值.定理(第二充分條件)設
f
(
x)在x0
處具有二階導數,且
f
'(
x
)
=
0,
f
''
(
x
)
?
0
,
那末0
0當
f
''
(
x
)
<
0
時,
函數
f
(
x)在x
處取得極大值;0
0當
f
''
(
x
)
>
0
時,
函數
f
(
x)在x
處取得極小值.0
0求極值的步驟:求導數
f
(
x);求駐點，即方程
f
(
x)
=
0
的根;檢查
f
(
x)
在駐點左右的正負號或
f
(
x)
在該點的符號,判斷極值點;求極值.步驟:求駐點和不可導點;求區間端點及駐點和不可導點的函數值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值;注意:如果區間內只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)(3)
最大值、最小值問題實際問題求最值應注意:建立目標函數;求最值;若目標函數只有唯一駐點，則該點的函數值即為所求的最大（或最?。┲担ɡ?如果f
(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內具有二階導數,若在(a,b)內f
￠(x)>0,則f
(x)在[a,b]上的圖形是凹的;f
￠(x)<0,則f
(x)在[a,b]上的圖形是凸的;連續曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點.定理
2
如果
f
(
x)在(
x0
-
d
,
x0
+
d
)內存在二階導數
,
則
點
(x0
,
f
(
x0
))
是
拐
點
的
必
要
條
件
是f
"(
x
)
=
0.0方法1:且f
￠(x0
)=0,x0兩近旁f
(
x)變號,點(
x0
,
f
(
x0
))即為拐點;x0兩近旁f
(
x)不變號,點(
x0
,
f
(
x0
))不是拐點.方法2:設函數f
(x)在x0的鄰域內三階可導,且f
￠(x0
)=0,
而f
￠(x0
)?0,那末(x0
,f
(x0
))是曲線y
=f
(x)的拐點.設函數f
(x)在x0的鄰域內二階可導,(6)
弧微分曲率曲率圓10.弧微分ds
=1
+y￠2
dx.20.曲率Dsfi
0
dsK
=
lim
da
.3
.(1
+
y￠2
)2yk
=曲率的計算公式二、典型例題例1
limsin
x422-
ln(1
+
x
)x
fi
0
x22x4x
fi
0
x解：原極限=lim2
x-
ln(1
+
x
)4
x3=
limx
fi
0
2
x
-x
fi
01
+
x2=
lim
2（1
+
x2）
=
2例2.xfi
0
5
1
+
5
x
-
(1
+
x)求極限
limx2解
分子關于x
的次數為2.1\
5
1
+
5
x
=
(1
+
5
x)5=
1
+
1
(5
x)
+
1 1
(1
-
1)
(5
x)2
+
o(
x2
)5
2!
5
5=
1
+
x
-
2
x2
+
o(
x2
)2
2xfi
0
[1
+
x
-
2
x
+
o(
x
)]
-
(1
+
x)原式=limx221=
-
.例3
設f
(x)在[0，p
]上連續，在(0,p
)內可導，證明：存在一點
x
?（0，p），使得
f
(x)
=
-
f
(x)cotx.證：令F
(
x)
=
sin
xf
(
x)
則
F
(0)
=
F
(p
)
=
0所以
F
(
x
)
在[
0，p
]上滿足羅爾定理，故存在一點
x
?（0，p），使得
F
(x)
=
0.即
f
(x)
=
-
f
(x)cotx例4
設F
(
x)
=
(
x
-
1)2
f
(
x),其中
f
(
x)
在[1，2
]上使
F
(x)
=
0
.證：
F
(
x)
在[1，2
]上滿足羅爾定理，\
存在一點x1
?（1，2），有F
(x1
)=0.又
F
￠(
x)
=
2(
x
-
1)
f
(
x)
+
(
x
-
1)2
f
￠(
x)\
F
(1)
=
0
.\
F
(x)在[1，x1
]上滿足羅爾定理條件，故存在一點x
?（1，x1）
（1，2），有F
(x)
=
0
.f
(2)=0,試證：存在x
?（1，2）二階可導，又知例5
設a
>0,
f
(x)在[a，b
]上連續，(a
,b
)內可導,且f
(a)=0,證明：存在一點x
?（a，b），使得f
(x)=b
-
x
f
￠(x).a證：令
F
(
x)
=
(
x
-
b)a
f
(
x)
則F
(
x)
在[
a
,
b
]上連續,又因為F
(a)=F
(b)=0.所以F
(x
)在[a，b
]上滿足羅爾定理，故存在一點x
?（a，b），使得F
￠(x)=0.即
a(x
-
b)a
-1
f
(x)
+
(x
-
b)a
f
￠(x)=
0af
(x)
=
b
-
x
f
￠(x)例6
設f
(x)在x
=x0
的鄰域內具有n階連續導數,若f
￠(x0
)=f
￠(x0
)=
=f
(n-1)(x0
)=0,
f
(n)(x0
)?0,則有當n
為奇數時,x0
不是極值點，(x0
,f
(x0
))為拐點.當n
為偶數時,x0
是極值點，(x0
,f
(x0
))不為拐點.且:1￠、f
(n)(x0
)>0
時,x0
是極小值點;2￠、f
(n)(x0
)<0時,x0
是極大值點,證明：以n
=3和n
=4時為例當n
=
3時，即
f
(
x0
)
=
f
(
x0
)
=
0,
f
(
x0
)
?
0不妨設
f
(
x0
)
>
0￠0(
x)
<
0
fix
<x
時，f000=
limx
fi
x0
f
￠(
x
)x
-
xf
(
x)
-
f
(
x
)f
(
x)
>
000=
limx
-
xf
￠(
x)
flf
(
x)
?
x
>
x0
時，
f
(
x)
>
0
fix
fi
x>
0
f
(
x)x
-
x0\（x0
,
f
(
x0
)）為拐點f
(
x)
?
0\
f
(
x)
?同理
f
(
x0
)
<
0
時,
可推出
f
(
x
)
單調增加
.\
f
(x)
>0
x
<x0
時，f
￠(x)<0
fi(2)當n
=4時，即f
￠(x0
)=f
￠(x0
)=f
￠(x0
)=0,f
(4)(x0
)?0不妨設
f
(4)(
x0
)
>
0x
-
x0f
(
x)
-
f
(
x0
)0(4)x
fi
x0
f
(
x
)
=
limx
-
x0(
x) =
lim
f
>
0x
fi
x0f
￠(
x)
flf
(
x)
?x
-
x0
f
(
x0
)
=
0,0
x
>
x
時，
f
(
x)
>
0
fi
f
(
x)
?
0
fif
(
x)
?又
f
(
x0
)
=
0fi
x
<x0
時f
(
x)
<
0f
￠(
x)
>
00
x
>x
時0
f
(x
)為極小值.同理,f
(4)(x0
)<0時,f
(x0
)為極大值.)且f
￠(0)=0，則(設
f
(
x
)
滿足關系式：
f
￠(x
)
+
[
f
￠(
x
)]2
=
x
,例7f
(0)是f
(x
)的極小值；f
(0)是f
(x)的極大值；點（0，f
(0)）是y
=f
(x)的拐點；f
(0)不是f
(x)極值，點（0，f
(0)）不是y
=f
(x)的拐點；C一、
選擇題：它們都給出了ξ點的求法.它們都肯定了ξ點一定存在，且給出了求ξ的方法.它們都先肯定了x
點一定存在，而且如果滿足定理條件，就都可以用定理給出的公式計算ξ的值.它們只肯定了ξ的存在，卻沒有說出ξ的值是什么，也沒有給出求ξ的方法.1、一元函數微分學的三個中值定理的結論都有一個共同點，即（D）測驗題2、若f
(x)在(a,b)可導且f
(a)=f
(b),則（D）至少存在一點x?
(a,
b)，使
f
(x)
=
0；一定不存在點x
?
(a,
b)，使
f
(x)
=
0；恰存在一點x
?
(a,
b)，使
f
(x)
=
0；對任意的x
?
(a,
b)，不一定能使
f
(x)
=
0
.3．已知f
(x)在[a,b]可導，且方程f(x)=0在(a,b)有兩個不同的根a
與b
，那么（
A）x
?
(a,b)使得
f
(
x
)
=
0
.必有；可能有；沒有；無法確定.4、如果
f
(
x)在[a,
b]連續，在(a,
b)可導，
c
為介于x2
,x1，使f
(x2
)-f
(x1
)=(x2
-x1
)f
￠(c)成立.（A）必能；（C）不能；（B）可能；（D）無法確定能.a,b之間的任一點，那么在(a,b)（B）找到兩點5、若f
(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且x
?
(a,b)時，f
￠(x)>0，又f
(a)<0,則（D）.f
(x)在[a,b]上單調增加，且f
(b)>0；f
(x)在[a,b]上單調增加，且f
(b)<0；f
(x)在[a,b]上單調減少，且f
(b)<0；
f
(x)在[a,b]上單調增加，但f
(b)的正負號無法確定.6、
f
(
x0
)=
0
是可導函數
f
(
x)在x0
點處有極值的（B）.充分條件；必要條件充要條件；既非必要又非充分條件.7、若連續函數在閉區間上有唯一的極大值和極小值，則（C）.極大值一定是最大值，且極小值一定是最小值；極大值一定是最大值，或極小值一定是最小值；極大值不一定是最大值，極小值也不一定是 最小值；極大值不一定大于極小值.8、若在(a,
b)內，函數
f
(
x)的一階導數
f
(
x)
>
0
，).單調減少，曲線是凹的；單調減少，曲線是凸的；單調增加，曲線是凹的；單調增加，曲線是凸的.9、設lim
f
(x)=lim
F
(x)=0，且在點a
的某xfi
a
xfi
a鄰域中（點
a
可除外），
f
(
x)
及F
(
x)
都存在，二階導數
f
(
x)
<
0
,則函數
f
(
x)
在此區間內(
D且F
(x)?0
,則lim存在是lim'f
(
x)
f
'
(
x)xfi
a
F
(
x)
xfi
a
F
(
x)存在的（
B
）.（A）充分條件； （B）必要條件；（C）充分必要條件；（D）既非充分也非必要條件.2x
fi
0
1
-
cos
x（A）0；
（B）-
1
；10、lim
chx
-
1
=
（C）.（C）1；1（D）
.2二、求極限：1、
lim
x
-
a
+
x
-
ax
2
-
a
2xfi
a
+（a
?
0）；2、lim(1
+
sin
x1
+
tan
xxfi
01)
x
3
；xxfi
￥3、lim[
x-
x
2
ln(1
+
1
)]
；4、limxfi
01
-
cos
xsin
x；2三、一個半徑為R
的球內有一個內接正圓錐體，問圓錐體的高和底半徑成何比例時，圓錐體的體積最大？四、設f
(x)=ax
3
+bx
2
+cx
+d
有拐點（1，2），并在該點有水平切線，f
(x)交x
軸于點（3，0），求f
(x).五、確定a,b,c
的值，使拋物線y
=ax
2
+bx
+cp與正弦曲線在點( ,1)相切，并有相同的曲率.六、設f
(x)在[0,1]上連續，在(0,1)內可導，且f
(0)=0,
f
(1)=1,試證：對任意給定的正數a,b
在(0,1)內存在不同的x,h
，使a
bf
'
(x)
f
'
(h
)+ =
a
+
b
.一、1、D；2、D；3、A；4、B；5、D；6、B；7、C；8、D；9、B；10、C.二、1、2a111； 2、e
2
； 3、
； 4、不存在.2三、2:1.4
4
4
4五、f
(x)=-1
x
3
+3x
2
-3
x
+9
.2p21
p六、
y
=
–
2
x
2
x
+
1
–
8
.測驗題答案七、xy-
11oln
2例42x
ln
x
+
y
ln
y
>
(
x
+
y)ln
x
+
y
,
(
x
>
0,
y
>
0,
x
?
y).證明不等式證令f
(t
)=t
ln
t
(t
>0),則
f
(t
)
=
ln
t
+
1,1f
￠(t
)
=
t
>
0,\f
(t
)=t
ln
t
在(x,y)或(y,x),x
>0,y
>0
是凹的.于是
1[
f
(
x)
+
f
(
y)]
>
f
(
x
+
y
)2
2即
1[
x
ln
x
+
y
lny]
>
x
+
y
ln
x
+
y
,22
2
2即
x
ln
x
+
y
ln
y
>
(
x
+
y)ln
x
+
y
.例52f
(1),
f
￠(
x)
￡
1,證明:
f
￠(
x)
￡
1
(
x
?
[0,1])若函數f
(x)在[0,1]上二階可微,且f
(0)=證設x0
?
[0,1],在x0
處把f
(x)展成一階泰勒公式,有20f
(
x)
=
f
(
x0
)
+
f
￠(
x0
)(
x
-
x0
)
+令x
=0,x
=1,則有f
￠(x)(
x
-
x
)1221
0f
(0)
=
f
(
x0
)
-
f
￠(
x0
)
x0
+f
￠(x
)
x12202f
(1)
=
f
(
x0
)
+
f
￠(
x0
)(1
-
x0
)
+f
￠(x
)(1
-
x
)1222
021
00f
￠(x
)(1
-
x
)-
12f
￠(x
)
x12f
￠(
x
)
=注意到
f
(0)
=
f
(1),
則有
f
(
x)
￡
1,220
0\
f
￠(
x0
)
￡21x
+
(1
-
x
)121
12
420+=
(
x
-
)0又由
x
?
[0,1]
知,2
20x
-
1
￡
1
,20于是有
f
￠(
x
)
￡
1由x0
的任意性,可知命題成立.
-
例6
求函數y
=x
+區間,拐點,漸近線,并作函數的圖形.解
(1)
定義域:
x
?
–1,即(-￥
,-1)
(-1,1)
(1,+￥
),的單調區間,極值,凹凸x2
-
1xx2
-
1
f
(-
x)
=
-
x
+-
x=
-
f
(
x),奇函數(2)
y=
1
-
(
x2
-
1)2x2
+
1,=
(
x2
-
1)2x2
(
x2
-
3)令
y
=
0,得
x
=
-
3,
0,
3.y(
x2
-
1)22
x(
x2
+
3)==
1
+
1
,(
x
-
1)3
(
x
+
1)3令
y
=
0,得可能拐點的橫坐標x
=0.(3)
lim
y
=￥
,
\沒有水平漸近線;xfi
￥又
lim
y
=
-￥
,xfi
1-0lim
y
=
+￥
,xfi
1+0\x
=1
為曲線y
的鉛直漸近線;lim
y
=
-￥
,
lim
y
=
+￥
,xfi
-1-0
xfi
-1+0\x
=-1
為曲線y
的鉛直漸近線;
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