第5節瓜豆原理

前言：“瓜豆原理”是近來中考最值中的熱點話題之一，“瓜豆”是寓意，由一個動點軌跡探究另一動點軌跡，正

所謂：種瓜得瓜，種豆得豆.用數學語言解釋即旋轉、放縮，本節介紹模型及解題思路.

知識導航

1軌跡圓

探究1：如圖，P是圓。上一個動點，A為定點，連接AP,Q為AP中點當點P在圓。上運動時，探究Q點

軌跡.

分析：線段AQ可以理解為由AP放縮得來，

則P點軌跡放縮即可得Q點軌跡，

連接AO,取AO中點M,

則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ=10P.

任意時刻.均有△AMQ-AAOP,

MQ_AQ_1

OP~AP~2

探究2：如圖，P是圓。上一個動點，A為定點，連接AP，作AQXAP且AQ=AP.當點P在圓0上運動時,

探究Q點軌跡.

分析AQ可以理解為由AP繞點A逆時針旋轉90。得來，則P點軌跡繞點A逆時針旋轉90。即可得Q點軌跡,

???點Q軌跡也是圓.

點Q軌跡圓圓心M滿足AM=AO且AM_LAO,在任意時刻均有^APO^AAQM.

探究3如圖,△APQ是直角三角形,/PAQ=90。且AP=2AQ,當P在圓O運動時，探究Q點軌跡.

分析：由APLAQ,可得Q點軌跡圓圓心M滿足AMLAO油荒=|,Q點軌跡圓圓心M滿足籌=|,

即可確定圓M位置,

任意時刻均有△APOS^AQM,且相似比為2:1.

由P點軌跡推Q點軌跡.

通常稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”.

瓜豆問題的必要條件：兩個定量

⑴主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（/PAQ是定值）；

（2）主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP：AQ是定值）.

(1)主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：ZPAQ=ZOAM;

(2)主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：喘=黑=區.

AQAMTjvf

探究動點的旋轉與放縮，即動點軌跡的旋轉與放縮.

引例1：如圖，P是圓。上一個動點，A為定點，連接AP,以AP為一邊作等邊△APQ.當點P在圓。上運

動時，探究Q點軌跡.

解析：如圖，；AP=AQ,且NPAQ=60。，可得點Q軌跡圓圓心M滿足AM=AO,且NOAM=60。.

弓I例2：如圖，P是圓。上一個動點，A為定點，連接AP,以AP為斜邊作等腰直角△APQ.當點P在圓。

上運動時，探究Q點軌跡.

解析：△APQ是等腰直角三角形，即有黑=彳且NPAQ=45。.由此得點Q軌跡圓心M滿足券=圣且NMA

0=45。.

2軌跡直線

探究4:如圖，P是線段BC上一動點，連接AP,取AP中點Q,當點P在BC上運動時，探究Q點軌跡.

分析：當P點軌跡是線段時，Q點軌跡也是一條線段.

分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N,

在運動過程中，AP=2AQ,ON=^AM,

??.Q點到BC的距離是定值，，Q點軌跡是一條線段，即下圖中的線段EF.

探究5:如圖，AAPQ是等腰直角三角形，NPAQ=90。且AP=AQ,當點P在線段BC上運動時，探究Q點軌

跡.

分析：當AP與AQ夾角固定且AP：AQ為定值的話，所以Q點軌跡也是線段.分別確定P在起點和終點

時，點Q的位置，即可得Q點軌跡.

模型總結

必要條件：兩個定量

⑴主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（NPAQ是定值）；

⑵主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP：AQ是定值）.

(1)P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等于/PAQ.

(當/PAQW90。時，/PAQ等于MN與BC夾角)

(2)P、Q兩點軌跡長度之比等于AP:AQ

(由△ABC-AAMN,可得券=等)

所謂“種圓得圓”、“種線得線”，謂之“瓜豆原理”.

弓I例3:如圖，在等邊△ABC中，AB=10,BD=4,BE=2,點P從點E出發沿EA方向運動，連結PD，以PD為

邊，在PD的右側按如圖所示的方式作等邊△DPF,當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長是________.

解析：根據△DPF是等邊三角形，，可知F點運動路徑長與P點相同，P從E點運動到A點路徑長為8,

???F點運動的路徑長是8.

3其它圖形

所謂“瓜豆原理”，就是主動與從動點的軌跡的旋轉放縮，只需主、從動點滿足①夾角定角；②比例定值，當

主動點軌跡是任意圖形時，從動點軌跡必然也是與其相似的圖形.

引例4：如圖，在反比例函數y=-|的圖像上有一個動點A,連接AO并延長交圖像的另一支于點B,在第

一象限內有一點C,滿足AC=BC,當點A運動時，點C始終在函數y=：的圖像上運動，若tanZCAB=2,k=()

解析：NAOC=90。且AO:OC=1:2,顯然點C的軌跡也是一條雙曲線，分別作AM、CN垂直x軸，垂足分別

為M、N,連接0C,貝?。荨鰽MOSAONC,；.CN=20M,ON=2AM,ONCN=4AMOM，,k=4x2=8,故選D.

引例5:如圖，A(-l,1),B(-l,4),C(-5,4),點P是△ABC邊上一動點連接OP,以OP為斜邊在OP的右上

方作等腰直角△OPQ,當點P在仆ABC邊上運動一周時，點Q的軌跡形成的封閉圖形面積為.

解析：根據△OPQ是等腰直角三角形可得：Q點運動軌跡與P點軌跡形狀相同，根據翡=號可得P點軌跡

圖形與Q點軌跡圖形相似比為企：1,；?面積比為2:1,AABC面積為ix3x4=6,

???Q點軌跡形成的封閉圖形面積為3.

真題演練

1.如圖在等腰RtAABC中，AC=BC=2/,點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當半圓從點

A運動至點B時，點M運動的路徑長為.

2.如圖，正方形ABCD中，AB=2V5,O是BC邊的中點，點E是正方形內一動點，OE=2,連接DE，將線段

DE繞點D逆時針旋轉90。得DF,連接AE、CF.線段OF長的最小值是.

3.如圖，點A、B的坐標分別為A(2,0)、B(0,2),點C為坐標平面內一點，BC=1,點M為線段AC的中點，連

接OM，則OM的最大值為()

/1,V2+1B.V2+1

C.2V2+1。.2夜旺

4.如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的。O與x軸的正半軸交于點A,點B是。O上一動點，點C為

弦AB的中點，直線y=|x-3與x軸、y軸分別交于點D、E,則4CDE面積的最小值為.

5.AABC中，AB=4,AC=2,以BC為也在^ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于點0,則線段A0的最

大值為.

'D

6.如圖所示，AB=4,AC=2,以BC為底邊向上構造等腰直角△BCD,連接AD并延長至點P,使AD=PD,則P

B的取值范圍為.

7.如圖，在平面內，線段AB=6,P為線段AB上的動點，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線段AB

垂直相較于點P,且滿足PC=PA,若點P沿AB方向從點A運動到點B，則點E運動的路徑長為.

8.如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為b2的一個定點，AC_Lx軸于點M,交直線y=-x于點N,若點P

是線段ON上的一個動點，ZAPB=30°,BA±PA,則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動.求當

點P從點0運動到點N時，點B運動的路徑長是_______.

9.如圖，在平面直角坐標系中，A(-3,0),點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x正半軸上，以AB為邊

在AB的下方作等邊△ABP,點B在y軸上運動時，OP的最小值是.

10.如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線y=-1+2上的一個動點，將Q繞點P(1,0)順時針旋轉90°,得

到點Q',連接OQ',則OQ'的最小值為()

「5V2

B.V5

A"3

11.如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點，且BE=1,F為AB邊上的一個動點，連接EF,以EF為邊

向右側作等邊△EFG,連接CG，則CG的最小值為

AD

G

C

第5講瓜豆原理

71.

解析：考慮C、M、P共線及M是CP中點，可確定M點軌跡：取AB中點0,連接C0取CO中點D,以D為圓

心,DM為半徑作圓D分別交AC、BC于E、F兩點則弧EF即為M點軌跡.；.M點路徑長為署?2?兀?1=加

360

5V2-2.

解析：E是主動點，F是從動點，D是定點，E點滿足EO=2,故E點軌跡是以O為圓心，2為半徑的圓.考慮DE

±DF且DE=DF,故作DMLDO且DM=DO,F點軌跡是以點M為圓心，2為半徑的圓.直接連接OM,與圓M交

22

點即為F點，此時OF最小.。"=（2V5-V5）+（2V5+V5）=5V2,OF的最小值為5V2-2.

解析：連接AB,取AB中點N,M點軌跡是以點N為圓心，稱為半徑的圓，如圖當點。、N、M共線時，OM最

大，最大值為V2+|,故選B.

解析：由題意可知點E坐標為(0,-3),點D坐標為(4,0),取OA中點M(l,0),則點C軌跡是以點M為圓心，1為半

徑的圓，連接MC并延長交DE于點H,當CH_LDE時QH最小此時三角形面積最小QH的最小值為MH-MC

=|-1=|,三角形CDE面積的最小值為|x5x1=2,BPACDE面積的最小值為2.

3V2.

解析：固定AB,將AC看成動線段，求得線段A0的最大值.根據AC=2,可得C點軌跡是以點A為圓心，2為

半徑的圓.觀察△BOC是等腰直角三角形，銳角頂點C的軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓，所以0點軌跡也

是圓，以AB為斜邊構造等腰直角三角形,直角頂點M即為點0軌跡圓圓心.連接AM并延長與圓M交點即為所

求的點。，此時A0最大，最大值為2V2+V2=3V2.

4-2V2<PB<4+2V2.

固定AB不變，AC=2，則C點軌跡是以A為圓心，2為半徑的圓，以BC為斜邊作等腰直角三角形BCD，則D點

軌跡是以點M為圓心、或為半徑的圓考慮到AP=2AD,故P點軌跡是以N為圓心，2加為半徑的圓，可得PB

的取值氾圍是4—2V2<PB<4+2>/2.

解析：連接CA,則CA=&P4可得點C軌跡長為&34=6隹；.點￡運動的路徑長為（6&.

2V2.

根據/PAB=90。，/APB=30。可得:AP:AB=舊:1,故B點軌跡也是線段，且P點軌跡路徑長與B點軌跡路徑長之

比也為百：1,P點軌跡長ON為2&,故B點軌跡長為2企。P=|.

解析：求OP最小值需先作出P點軌