一、正項級數及其審斂法定義:￥￥如果級數

un中各項均有un

?0n=1這種級數稱為正項級數.1.定理：正項級數un收斂的充分必要條件n=1是它的部分和數列{Sn

}有上界.￥即

un

(un

?

0)收斂n=1部分和Sn￡

M

.§4.2常數項級數的判別法￥證 因為

un是正項級數，

所以un

?

0(n

=

1,

2,),n=1則{Sn

}單調不減，即S1

￡

S2

￡

S3

￡

￡

Sn

￡.￥nfi

￥n=1必要性:

若級數

un收斂,

則lim

Sn

存在,記為lim

Sn

=

S

.nfi

￥由極限與數列有界的關系知：數列{Sn

}必有界.充分性:如果數列{Sn

}有上界,nlim

S

存在.nfi

￥由單調增加且有上界的數列必有極限可知,￥n=1

n

正項級數u

收斂.￥注：正項級數

un發(fā)散的充分必要條件是n=1nfi

￥它的部分和Sn滿足lim

Sn

=

+￥

.證明￥(1)

設s

=vn

un

￡

vn

,即部分和數列有界￥\

un收斂.n=1￥

￥設

un和vn均為正項級數2.

比較判別法n=1且

Sn

=

u1

+

u2

+

+

un

￡

v1

+

v2

+

+

vn

￡

s

,n=1

n=1￥

￥且un

￡

vn

(n

=1,2,)，若vn收斂，則

un收斂n=1

n=1￥

￥反之，若

un發(fā)散，則vn發(fā)散.n=1

n=1￥

)

且un

￡

vn

,(2)

設Sn

fi+￥

(n

fi則sn

?Snfi

+￥￥n=1\vn發(fā)散.定理證畢.￥￥推論：若

un收斂(發(fā)散)，且vn

￡

kun

(kun

￡

vn

)n=1(n

?N, k

>0)，則vn收斂(發(fā)散).n=12

sin3nnp￥n=1例1

判別的斂散性.3nnp解

2

sin2

sin3nnp￥n=1?

0,

\為正項級數,np3n且

u

=

2n

sin2

q

= <

132

sin3nnp￥n=1由比較判別法知級數收斂.3np

2

n￡

2n

=

3

p

(n

=

1,

2,),2ni

=1￥\級數(

)p收斂3解nnp

1

?

1

,oyx

1

y

=

(p

>

1)x

p1

2

3

4設P

>1,由圖可知nxn-11

<

dxnP

P1

11Sn

=

1

+

2P

+

3P

+

+

nPnP2

dxdxx

Pxn-1￡

1

+

1+

+例2

討論P

-級數(P

>02P

3P

4P設P

￡

1,nP則P

-級數發(fā)散.1

+1

+1

+1

+

+1

+的斂散性.1ndxx

P=

1

+11nP

-1=

1

+

(1

-P

-

11)

<

1

+P

-

1即Sn有界,P￥n=1=

則P

-級數收斂.當P

>1時,收斂;1P-級數n

當P

￡

1時,發(fā)散.重要參考級數:

幾何級數, P

-級數,

調和級數.記住此結論證明11,>n

+

1n(n

+

1)1￥n=1而級數發(fā)散,n

+

11￥n(n

+

1)\級數n=1發(fā)散.1￥n(n

+

1)例3

證明級數n=1發(fā)散.un￥

￥nfi

￥

vnn=1

n=1=

l3.比較判別法的極限形式:設

un與vn都是正項級數，若lim￥

￥則(1

當0

<l

<+￥

時，二級數有相同的斂散性.(2)當l

=0時，若vn收斂，則

un收斂.n=1

n=1￥

￥(3)當l

=+￥

時，若vn發(fā)散，則

un發(fā)散.n=1

n=1nfi

￥

vn證明

(1)

由lim

un

=

l2對于e

=

l

>

0,$N,

當n

>N時,nl

unll

-

< <

l

+2

v

22

2n

n

nl

v

<

3l

v<

u

(n

>

N

)即由比較判別法的推論,得證.解(1sin

1nfi

￥

1n

lim

n

=

1,原級數發(fā)散.例4

判定下列級數的斂散性:(

)(

)1112nsin

,.n￥￥n=1n=13

-

n13nnfi

￥

1(213n

lim

3n

-

n

=

limnfi

￥

1

-

n=

1,13n￥n=1且收斂,故原級數收斂.證明當r為數時,對"e

>0,unun+1

-

r

<

e,$N,

當n

>N時,有un即

r

-

e

<

un+1

<

r

+

e

(n

>

N

)4.

比值審斂法(達朗貝爾D’Alembert判別法)：un￥un+1nfi

￥n=1設

un是正項級數，如果lim=r

(r為數或+￥

)則r

<1時級數收斂；r

>1時級數發(fā)散；r

=1時失效.當r

<

1時,

取e

<

1

-

r

,使r

=e

+r

<1,u,N

+mN

+1<

rm-1uuN

+2

<

ruN

+1

,2uN

+3

<

ruN

+2

<

r uN

+1

,

,￥m-1而級數

ruN

+1收斂,￥￥m=1

n=N

+1\

uN

+m

=

uu收斂,m=1收斂當r

>

1時,

取e

<

r

-

1,使r

=r

-e

>1,當n

>N時,un+1>

run

>

un

,nfi

￥lim

un

?0.

發(fā)散1￥n=1例級數發(fā)散(r

=

1)2n1

n￥n=1級數收斂.2.

條件是充分的,而非必要.注1.

當r

=1時比值審斂法失效;解(11unn!

un+1

=

(n

+

1)!

=

1n

+

1fi

0 (n

fi

￥

),1n!￥n=1故級數收斂.例5

判別下列級數的收斂性:(

)11n!￥n=1(

)210nn!￥n=11(

)13￥n=1(2n

-

1)

2nfi

￥

(n

fi

￥

),nuun!10n+1(n

+

1)!

10n

n+1

=10n

+

1=10nn!￥n=1故級數發(fā)散.(

)210nn!￥n=1解(2n

-

1)

2n

1

<

1

,

1

n2￥n=1級數收斂,n21￥2n

(2n

-

1)n=1故級數收斂.解(

)13￥n=1(2n

-

1)

2n1=

n

nn

n

un1=

n

fi

0 (n

fi

￥

)級數收斂.5.

根值審斂法(柯西判別法)：￥nfi

￥n=1設

un是正項級數，如果lim

n

un=r

(r為數或+￥

)則r

<1時級數收斂；r

>1時級數發(fā)散；r

=1時失效.1nn￥n=1例如級數例6 討論下列級數的斂散性:(

)1￥an

n(a

>

0);n

+

1n=1

nfi

￥an

nr

=

lim

n

n

+

1

\

a

<1時,解an=

lim=

a,nfi

￥

n

+

1￥an

nn

+

1n=1

級數收斂;a

>1時,￥an

nn

+

1n=1

級數發(fā)散;,n￥nn

+

1n=1

a

=1時,級數為nnfi

￥nnfi

￥

n+

1

lim

un

=

lim1=

lim1nnfi

￥

1

+

n

=

1

?

0,n￥nn

+

1n=1

e\

a

=1時，級數發(fā)散.不滿足級數收斂的必要條件,(

)2na￥

b

n

n=1

n

,其中a

fi

a

(n

fi

￥

),an

、a、b

>

0,且a

?b.,a

b

nn

n

解

u

=nfi

￥

annfi

￥

nfi

￥

b

n\

r

=

lim

n

un

=

lim

n

an

a=

lim

b

=

b

.aaba￥￥

b

b

n

n=1

n

r

=

b

b

n

a

>

1,n=1

n

<1,

即a

>b時，a收斂;即a

<b時，發(fā)散.例7 判斷級數斂散性:解11)nnnnnnun

=(n

+11)nnn,n2=(1

+;1n)nnnn+

1￥n=1

(n

+(1)

1n2

n2nfi

￥

nfi

￥

lim(1

+

1

)n

=

lim[(1

+

1

)n2

]n

=

e0

=

1;1

11exp{

limlnx}xfi

￥

xlim

nn

=

lim

x

x

=nfi

￥

xfi

￥xfi

￥

x=

exp{

lim

1

}

=

e0

=

1;nfi

￥\

lim

un

=

1

?

0,根據級數收斂的必要條件，原級數發(fā)散．

3

;2nncos2

np￥(2)

n=1解n2nuncos2

np2nn,令

vn

=2nnvvn2n+1nfi

+￥nfi

+￥

lim

n+1

=

lim2nn

+

1=

limnfi

+￥12=<

1,2nn￥\n=1收斂,

根據比較判別法，

原級數收斂．2nn

+

1=

3

<n ,1)nn￥ln(n

+

2)(a

>

0).n=1

(a

+(3)

n解

lim

unnfi

+￥n

ln(n

+

2)=

limnfi

+￥a

+

11nnfi

+￥=

a

limln(n

+

2)

,

n

?

2

時, n

+

2

<

en

,n\

1

<

n

ln(n

+

2)

<

n

n

,

lim

n

n

=

1,nfi

+￥lim

n

ln(n

+

2)

=

1,nfi

+￥nanfi

+￥lim

n

u

=

1

.當

0

<

a

<

1

即

1

>

1

時,原級數發(fā)散；當

a

=

1

時,ln(n

+

2)

,n=1

(1

+

1

)na￥原級數為nnfi

+￥

(1

+

1

)n

lim

ln(n

+

2)

=

+￥

,n原級數也發(fā)散．1當a>1時，即0<<1原級數收斂.a二、交錯級數及其審斂法定義:正、負項相間的級數稱為交錯級數.nn￥

￥n-1

nn=1

n=1(

-

1)

u

(-1)

u

或n(其中u

>

0)nfi

￥(1 lim

un

=

0則級數收斂,

且其和

S

￡

u1

,rn

￡

un+1

.(n

=

1,2,3,)其余項rn

的絕對值萊布尼茨定理un

滿足條件:￥n-1n=1(2

un

?

un+1如果(-1)證明

un-1

-

un

?

0,且

S2n

=

(u1

-

u2

)

+

(u3

-

u4

)

+

+

(u2n-1

-

u2n

)\數列S2n是單調增加的,

S2n

=

u1

-

(u2

-

u3

)

-

-

(u2n-2

-

u2n-1

)

-

u2n￡

u1\

數列S2n是有界的

,

lim

S2n

=

S

￡

u1

.nfi

￥(

)\級數收斂于和S,且S

￡

u1

.nn

n+1n+21

(u

-

u+),余項

r

=

-\

rn

￡

un+1

.rn

=

un+1

-

un+2

+

,滿足收斂的兩個條件,定理證畢.nfi

￥\

lim

S2n+1

=

lim(S2n

+

u2n+1

)

=

S

,nfi

￥

nfi

￥

lim

u2n+1

=

0,1

13

4￥n-1

1

1n=1n

=

1

-

2

+-

+例8 判別級數(-1)的斂散性,并估計誤差.￥n-1

1n=1(-1)解為交錯級數,n1;n

n+1n n

+

1nnfi

￥nfi

￥

n

lim

u

=

lim

1

=

0,

u

=

1

?

u

=￥n-1

1n=1\

(-1)滿足萊布尼茲收斂定理條件,n原級數收斂,1n

+

1且

rn

￡

un+1

=解-(1

+

x)x

-

12

x

(x

-

1)2

(

x

)￠=<

0 (x

?

2)x

-

1故函數nn+1x

單調遞減,

\

u

>

u

,nnnfi

￥lim

u

=

limnfi

￥

n

-

1=

0.原級數收斂.￥(-1)n

nn

-

1例9判別級數n=2的斂散性.￥n2

+

a2

)sin(pn2

+

a2

)n=1解：因為sin(p.npa2￥￥n2

+

a2

+

nn2

+

a2

)

=

(-1)

sinn=1所以sin(pn=1(p

+n

+

a

-

n

p2

2=

sin

nnp

a2n2

+

a2

+

n=

(-1)

sin,pa2pn2

+

a2

+

n當n

fi

￥

時，0<<2p而正弦函數sinx在[0,]是單調增大函數2所以又萊布尼茲判別法易知級數收斂。證明2n

nn令

v

=

1

(u

+

u

) (n

=

1,2,),顯然

vn

?

0,

且

vn

￡

un

,￥￥

￥又

un

=

(2vn

-

un

),n=1

n=1三、絕對收斂與條件收斂定義:正項和負項任意出現的級數稱為任意項級數.￥

￥定理 若

un

收斂，則

un收斂.n=1

n=1￥\vn