山東省山東師大附中2024年高二數學第一學期期末質量跟蹤監視模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓：，是直線的一點，過點作圓的切線，切點為，，則的最小值為（）A. B.C. D.2．已知是公差為3的等差數列.若，，成等比數列，則的前10項和（）A.165 B.138C.60 D.303．已知命題，，則（）A.， B.，C.， D.，4．已知，命題“若，則，全為0”的否命題是（）A.若，則，全不為0. B.若，不全為0，則.C.若，則，不全為0. D.若，則，全不為0.5．在數列中，已知，則“”是“是單調遞增數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知三棱錐O-ABC，點M，N分別為AB，OC的中點，且，用表示，則等于（）A. B.C. D.7．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點在棱上，且，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.8．數列，則是這個數列的第（）A.項 B.項C.項 D.項9．已知命題若直線與拋物線有且僅有一個公共點，則直線與拋物線相切，命題若，則方程表示橢圓.下列命題是真命題的是A. B.C. D.10．命題任意圓的內接四邊形是矩形，則為（）A.每一個圓的內接四邊形是矩形B.有的圓的內接四邊形不是矩形C.所有圓的內接四邊形不是矩形D.存在一個圓的內接四邊形是矩形11．已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，直線BF與橢圓C的另一個交點為D，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.12．函數在上單調遞增，則k的取值范圍是（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經過點，，的圓的方程為______.14．如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，分別為的中點，連接，則點到平面的距離為__________.15．已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點坐標是，則該拋物線的標準方程為___________16．記為等差數列的前n項和.若，則_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知菱形ABCD的邊長為3，對角線，將△沿著對角線BD翻折至△的位置，使得，在平面ABCD上方存在一點M，且平面ABCD，（1）求證：平面平面ABD；（2）求點M到平面ABE的距離；（3）求二面角的正弦值18．（12分）已知三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求角B；（2）若，角B的角平分線交AC于點D，，求CD的長19．（12分）在平面直角坐標系中，圓C：，直線l：（1）若直線l與圓C相切于點N，求切點N的坐標；（2）若，直線l上有且僅有一點A滿足：過點A作圓C的兩條切線AP、AQ，切點分別為P，Q，且使得四邊形APCQ為正方形，求m的值20．（12分）已知各項均為正數的等比數列前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求21．（12分）設橢圓的焦距為，原點到經過兩點的直線的距離為.（1）求橢圓的離心率；（2）如圖所示，是圓的一條直徑，若橢圓經過兩點，求橢圓的標準方程22．（10分）奮發學習小組共有3名學生，在某次探究活動中，他們每人上交了1份作業，現各自從這3份作業中隨機地取出了一份作業.（1）每個學生恰好取到自己作業的概率是多少？（2）每個學生不都取到自己作業的概率是多少？（3）每個學生取到的都不是自己作業的概率是多少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】根據題意，為四邊形的面積的2倍，即，然后利用切線長定理，將問題轉化為圓心到直線的距離求解.【題目詳解】圓：的圓心為，半徑，設四邊形的面積為，由題設及圓的切線性質得，，∵，∴，圓心到直線的距離為，∴的最小值為，則的最小值為，故選：A2、A【解題分析】由等差數列的定義與等比數列的性質求得首項，然后由等差數列的前項和公式計算【題目詳解】因為，，成等比數列，所以，所以，解得，所以故選：A3、C【解題分析】利用全稱量詞命題的否定可得出結論.【題目詳解】命題為全稱量詞命題，該命題的否定為，.故選：C.4、C【解題分析】根據四種命題的關系求解.【題目詳解】因為否命題是否定原命題的條件和結論，所以命題“若，則，全為0”的否命題是：若，則，不全為0，故選：C5、C【解題分析】分別求出當、“是單調遞增數列”時實數的取值范圍，利用集合的包含關系判斷可得出結論.【題目詳解】已知，若，即，解得.若數列是單調遞增數列，對任意的，，即，所以，對任意的恒成立，故，因此，“”是“是單調遞增數列”充要條件.故選：C.6、D【解題分析】根據空間向量的加法、減法和數乘運算可得結果.【題目詳解】.故選：D7、C【解題分析】取AC的中點M，過點M作，且使得，進而證明平面，然后判斷出是與平面所成的角，最后求出答案.【題目詳解】如圖，取AC的中點M，因為，則，過點M作，且使得，則四邊形BDNM是平行四邊形，所以.由題意，平面ABC，則平面ABC，而平面ABC，所以，又，所以平面，而所以平面，連接DA,NA，則是與平面所成的角.而，于是，.故選：.8、A【解題分析】根據數列的規律，求出通項公式，進而求出是這個數列的第幾項【題目詳解】數列為，故通項公式為，是這個數列的第項.故選：A.9、B【解題分析】若直線與拋物線的對稱軸平行，滿足條件，此時直線與拋物線相交，可判斷命題為假；當時，，命題為真，根據復合命題的真假關系，即可得出結論.【題目詳解】若直線與拋物線的對稱軸平行，直線與拋物線只有一個交點，直線與拋物不相切，可得命題是假命題，當時，，方程表示橢圓命題是真命題，則是真命題.故選:B.【題目點撥】本題考查復合命題真假的判斷，屬于基礎題.10、B【解題分析】全稱命題的否定特稱命題，任意改為存在，把結論否定.【題目詳解】全稱量詞命題的否定是特稱命題，需要將全稱量詞換為存在量詞，答案A，C不符合題意，同時對結論進行否定，所以：有的圓的內接四邊形不是矩形，故選：B.11、A【解題分析】設，根據得，代入橢圓方程即可求得離心率.【題目詳解】設橢圓方程，所以，設，所以，所以，在橢圓上，所以，.故選：A12、A【解題分析】對函數求導，由于函數在給定區間上單調遞增，故恒成立.【題目詳解】由題意可得，，，，.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】設所求圓的方程為，然后將三個點的坐標代入方程中解方程組求出的值，可得圓的方程【題目詳解】設所求圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為，即，故答案為：14、【解題分析】利用轉化法，根據線面平行的性質，結合三棱錐的體積等積性進行求解即可.【題目詳解】設是的中點，連接，因為是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因此點到平面的距離等于點到平面的距離，設為，因為平面，所以，，于是有，底面為矩形，所以有，，因為平面，所以，于是有：，由余弦定理可知：cos∠PEC=所以，因此，，因為，所以，故答案為：15、【解題分析】根據焦點坐標即可得到拋物線的標準方程【題目詳解】因為拋物線的頂點為坐標原點，焦點坐標是，所以，解得，拋物線的標準方程為故答案為：16、5【解題分析】根據等差數列前項和的公式及等差數列的性質即可得出答案.【題目詳解】解：，所以.故答案為：5.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）1；（3）.【解題分析】（1）過E作EO垂直于BD于O，連接AO，由勾股定義易得，由菱形的性質有，再根據線面垂直、面面垂直的判定即可證結論.（2）構建空間直角坐標系，確定相關點的坐標，進而求的坐標及面ABE的法向量，應用空間向量的坐標運算求點面距.（3）由（2）求得面MBA的法向量，結合（2）中面ABE的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求二面角的余弦值，進而求其正弦值.【小問1詳解】過E作EO垂直于BD于O，連接AO，因為，，故，同理，又，所以，即因為ABCD為菱形，所以，又，所以面ABD，又面EBD，所以面面ABD【小問2詳解】以O為坐標原點，以，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，面ABE的法向量為，所以，令，則又，則點M到面ABE的距離為【小問3詳解】由（2）得：面ABE的一個法向量為，且，若面MBA的法向量為，則，令，則所以，故二面角正弦值為18、（1）（2）【解題分析】（1）根據正弦定理邊角互化得，進而得；（2）根據題意得，進而在中，由余弦定理即可得答案.【小問1詳解】解：因為，所以由正弦定理可得，所以，即，因為，所以，故，因為，所以【小問2詳解】解：由（1）可知，又；所以，，，所以，在，由余弦定理可得，即，解得19、（1）或（2）3.【解題分析】（1）設切點坐標，由切點和圓心連線與切線垂直以及切點在圓上建立關系式，求解切點坐標即可；（2）由圓的方程可得圓心坐標及半徑，由APCQ為正方形，可得|AC|＝可得圓心到直線的距離為，可得m的值【小問1詳解】解：設切點為，則有，解得：或x0=-2+1y0=-2，所以切點的坐標為或【小問2詳解】解：圓C：的圓心（1，0），半徑r＝2，設，由題意可得，由四邊形APCQ為正方形，可得|AC|＝，即，由題意直線l⊥AC，圓C：（x﹣1）2+y2＝4，則圓心（1，0）到直線的距離，可得，m＞0，解得m＝3.20、（1）（2）9【解題分析】（1）根據題意列出關于等比數列首項、公比的方程組即可解決；（2）利用等比數列的前項和的公式，解方程即可解決.【小問1詳解】設各項均為正數的等比數列首項為，公比為則有，解之得則等比數列的通項公式.【小問2詳解】由，可得21、（1）（2）【解題分析】（1）根據題意得，進而求解離心率即可；（2）根據題意得圓心是線段的中點，且，易知斜率存在，設其直線方程為，再結合韋達定理及弦長公式求解即可.【小問1詳解】解：過點的直線方程為，∴原點到直線的距離，由，得，解得離心率.【小問2詳解】解：由（1）知，橢圓的方程為.依題意，圓心是線段的中點，且.易知，不與軸垂直，設其直線方程，聯立，得.設，則，.由，得，解得.所以.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.22、（1）（2）（3）【解題分析】(1)根據列舉法列出所有的可能基本事件，