直線與平面的位置關(guān)系第1課時直線與平面平行必備知識·自主學(xué)習(xí)1.直線與平面的位置關(guān)系導(dǎo)思1.直線與平面有幾種位置關(guān)系?2.如何判定直線與平面平行?位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)有_______公共點(diǎn)_____________公共點(diǎn)_____公共點(diǎn)無數(shù)個有且只有一個沒有位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行符號表示____________________圖形表示

a?αa∩α=Aa∥α2.直線與平面平行的判定定理文字語言如果平面外一條直線與_________的一條直線_____,那么該直線與此平面平行符號語言

?a∥α圖形語言

此平面內(nèi)平行【思考】一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面一定平行嗎?提示:不一定,該直線也可能在平面內(nèi).3.直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行符號語言

?l∥m圖形語言

【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則l∥α. ()(2)若直線a在平面α外,則a∥α. ()(3)若直線a∩b=

,b?α,則a∥α. ()(4)若直線a∥平面α,則直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線. ()提示:(1)×.l也可能在平面α內(nèi).(2)×.直線a也可能和平面α相交.(3)×.直線a與平面α的位置關(guān)系可以是a∥α或a?α或a與平面α相交.(4)√.過a可以作無數(shù)個平面與平面α相交,a和所有交線平行.2.如果直線a∥b,且a∥平面α,那么b與平面α的位置關(guān)系是________.

【解析】若a∥b,且a∥平面α,則b與平面α的位置關(guān)系如圖所示.

答案:b∥α或b?α3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)能保證直線a與平面α平行的條件是________(填序號).

(1)b?α,a∥b;(2)b?α,c∥α,a∥b,a∥c;(3)b?α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD;(4)a?α,b?α,a∥b.【解析】由直線與平面平行的判定定理可知(4)正確.答案:(4)關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一直線與平面平行的判定(邏輯推理)【題組訓(xùn)練】1.下面說法中正確的個數(shù)是 ()①如果a,b是兩條直線,a∥b,那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面;②如果直線a和平面α滿足a∥α,那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行;③如果直線a,b和平面α滿足a∥b,a∥α,b?α,那么b∥α.

2.若直線l與平面α不平行,則下列結(jié)論正確的是________.(填序號)

①α內(nèi)的所有直線都與直線l異面;②α內(nèi)不存在與l平行的直線;③α內(nèi)的直線與l相交;④直線l與平面α有公共點(diǎn).3.若平面外一條直線上有兩點(diǎn)到該平面的距離相等,則這條直線與平面的位置關(guān)系是________.

【解析】1.選B.如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,AA'∥BB',AA'卻在過BB'的平面AB'內(nèi),故①不正確;AA'∥平面B'C,BC?平面B'C,但AA'不平行于BC,故②不正確;③中,假設(shè)α與b相交,因?yàn)閍∥b,所以a與α相交,這與a∥α矛盾,故b∥α,即③正確.2.①中,過公共點(diǎn)的直線與直線l相交,不異面,①錯誤;②③中,當(dāng)l?α?xí)r,α內(nèi)有無數(shù)條直線與l平行,故②③錯;④中,直線l與平面α不平行,則直線l與平面α相交或在平面內(nèi),所以l與平面α有公共點(diǎn),故④正確.答案:④3.當(dāng)兩點(diǎn)在平面的一側(cè)時,這條直線與平面平行;當(dāng)兩點(diǎn)在平面的兩側(cè)時,這條直線與平面相交.所以這條直線與平面的位置關(guān)系是平行或相交.答案:平行或相交【解題策略】(1)在判斷直線與平面的位置關(guān)系時,直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行,這三種情況都要考慮到,避免疏忽或遺漏.(2)解決此類問題時,可以借助空間幾何圖形,把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中,以便于正確作出判斷,避免憑空臆斷.類型二直線與平面平行判定定理的應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)【典例】(2019·全國Ⅰ卷節(jié)選)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點(diǎn).證明:MN∥平面C1DE.【證明】連接B1C,ME.因?yàn)镸,E分別為BB1,BC的中點(diǎn),所以ME∥B1C,且ME=B1C.又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn),所以ND=A1D.由題設(shè)知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四邊形MNDE為平行四邊形,MN∥ED.又MN?平面EDC1,ED?平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.【解題策略】(1)證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線.把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征,合理利用幾何體中的三角形的中位線,平行四邊形對邊平行等平面圖形的特點(diǎn)是找線線平行關(guān)系的常用方法.(2)用直線與平面平行的判定定理證明線面平行的基本步驟:【跟蹤訓(xùn)練】如圖,矩形ABCD所在平面與半圓弧

所在平面相交于CD,M是

上異于C,D的點(diǎn).在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC∥平面PBD?說明理由.【解析】存在,當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時MC∥平面PBD.理由如下:如圖,連接AC,BD交于點(diǎn)O.因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為AC的中點(diǎn).連接OP,因?yàn)镻為AM的中點(diǎn),所以MC∥OP.又MC?平面PBD,OP?平面PBD,所以MC∥平面PBD.類型三直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)【典例】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn),M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證:PA∥GH.【思路導(dǎo)引】要證線線平行,先證線面平行,再證另一線為過已知直線的平面與已知平面的交線.【證明】如圖,連接AC交BD于點(diǎn)O,連接MO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以O(shè)是AC的中點(diǎn).又M是PC的中點(diǎn),所以?平面DMB,MO?平面DMB,根據(jù)直線與平面平行的判定定理,則有PA∥平面BMD.因?yàn)槠矫鍼AHG∩平面BMD=GH,根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理,所以PA∥GH.【解題策略】(1)通過線線平行與線面平行的相互轉(zhuǎn)化,來證明線線平行是常用的解題思路.(2)利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟:【跟蹤訓(xùn)練】如圖所示,已知兩條異面直線AB與CD,平面MNPQ與AB,CD都平行,且點(diǎn)M,N,P,Q依次在線段AC,BC,BD,AD上,求證:四邊形MNPQ是平行四邊形.

【證明】因?yàn)锳B∥平面MNPQ,且過AB的平面ABC交平面MNPQ于MN,所以AB∥MN.又過AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ,所以AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可證NP∥MQ.故四邊形MNPQ是平行四邊形.1.能保證直線與平面平行的條件是 ()A.直線與平面內(nèi)的一條直線平行B.直線與平面內(nèi)的所有直線平行C.直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行D.直線與平面內(nèi)的所有直線不相交【解析】選不正確,因?yàn)橹本€可能在平面內(nèi);B不正確;C不正確,直線也可能在平面內(nèi);D正確,因?yàn)橹本€與平面內(nèi)所有直線不相交,依據(jù)直線與平面平行的定義可得直線與平面平行.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.如圖所示,在三棱錐S-ABC中,E,F分別是SB,SC上的點(diǎn),且EF∥平面ABC,則()與BC相交 B.EF∥BC與BC異面 D.以上均有可能【解析】選B.由直線與平面平行的性質(zhì)定理可知EF∥BC.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)以下說法(其中a,b表示直線,α表示平面)正確的個數(shù)為________.

①若a∥b,b?α,則a∥α;②若a∥α,b∥α,則a∥b;③若a∥b,b∥α,則a∥α;④若a∥α,b?α,則a∥b.【解析】①錯,a∥α或a?α;②錯,a與b也可能相交;③錯,a∥α或a?α;④錯,a與b也可能異面.答案:04.長方體ABCD-A1B1C1D1中E為AA1的中點(diǎn),F為BB1的中點(diǎn),與EF平行的長方體的面有________個.

【解析】如圖,因?yàn)镋F∥A1B1,EF?平面A1B1C1D1,A1B1?平面A1B1C1D1,所以EF∥平面A1B1C1D1.同理EF∥平面ABCD,EF∥平面DD1C1C.

答案:35.如圖,正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE,BD上各取一點(diǎn)P,Q,且AP=DQ.求證:PQ∥平面BCE.【證明】如圖所示,在平面ABEF內(nèi)過P作PM∥AB交BE于點(diǎn)M,在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)Q