第五章

生活中的軸對稱課題線段的垂直平分線與角平分線一、學習目標重點難點二、學習重難點1.經歷探索簡單圖形軸對稱的過程,進一步體驗軸對稱的特征,發展空間觀念,探索并了解線段垂直平分線的有關性質.2.進一步體會簡單軸對稱圖形的特征,發展空間觀念,探索并了解角平分線的有關性質及畫法.1.線段垂直平分線的性質的運用,線段垂直平分線的畫法.2.角平分線性質的應用及角平分線的尺規作圖.1.線段垂直平分線性質的應用.2.角平分線性質的應用.

活動1

舊知回顧三、情境導入等腰三角形的性質是什么？答：等腰三角形是軸對稱圖形,等腰三角形頂角平分線,底邊上中線,底邊上的高互相重合,它們所在直線都是等腰三角形的對稱軸,等腰三角形兩底角相等.

活動1

自主探究1四、自學互研閱讀教材P123,完成下列問題：1.線段是軸對稱圖形嗎？線段的對稱軸是什么？什么是線段的垂直平分線？

答：線段是軸對稱圖形,垂直并且平分線段的直線是它的一條對稱軸.垂直于一條線段,并且平分這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線.(簡稱中垂線)

2.線段垂直平分線有何性質？

答：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.

3.(1)在一張紙上任意畫∠AOB,沿角的兩邊將角剪下,將這個角對折使角的兩邊重合,折痕就是∠AOB的平分線.(2)在∠AOB的平分線上任意取一點C,分別折出過點C,且與∠AOB兩邊垂直的直線,垂足分別為D、E,將∠AOB再次對折,線段CD與CE能重合嗎？答：能重合.

活動2

合作探究1范例1.如圖,△ABC中,AC＝5,DE垂直平分BC,若△AEC的周長為12,則AB的長為(

)A.5

B.6

C.7

D.8仿例1.如圖,BD垂直平分AC,若AB＝4,CD＝7,則四邊形ABCD的周長為____.仿例2.如圖,DE是△ABC的邊AB的中垂線,分別交AB,BC于D,E兩點.若∠BAC＝70°,∠B＝40°,則∠CAE的度數為____.C2230°仿例3.(蘇州中考)如圖,MP,NQ分別垂直平分AB,AC,且BC＝13cm,則△APQ的周長為_______.仿例4.如圖,在△ABC中,DE是AC的垂直平分線,AE＝6cm,△ABD的周長為26cm,則△ABC的周長為____cm.13cm38活動3自主探究2范例2.如圖,在△ABC中,分別以A、C為圓心,大于

AC長為半徑畫弧,兩弧相交于點M、N,連接MN,與AC,BC分別交于點D,E,連接AE,則：(1)∠ADE＝____°；(2)AE____EC(選填“＝”“＞”或“＜”)；(3)當AB＝3,BC＝5時,△ABE的周長為____.＝908仿例1.已知線段AB,用直尺和圓規作線段AB的垂直平分線.作法：(1)分別以A、B為圓心,以大于AB長為半徑作弧,兩弧交于C、D兩點；(2)作直線CD,直線CD即為所求.

仿例2.如圖,某地由于居民增多,要在公路邊增加一個公共汽車站,A、B是路邊兩小區,這個公共汽車站建在什么位置,能使兩個小區到車站的路程一樣長？解：建在AB的垂直平分線和公路的交點P處,圖略.閱讀教材P125,回答下面的問題：角平分線的性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.范例3.如圖所示,點P在∠AOB的角平分線上,C、D在OA上,E、F在OB上,且PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,則下列說法正確的有(

)A.PC＝PD

B.PC＝PFC.PD＝PF

D.PD＝PE活動4合作探究2D仿例1.如圖,已知AB∥CD,點O為∠CAB,∠ACD角平分線的交點,點O到AC的距離為1.5cm,則兩平行線間的距離為_______.仿例2.如圖所示,在△ABC中,∠C＝90°,AC＝BC,AD平分∠CAB,交BC于D,DE⊥AB于E,且AB＝6cm,則△BDE的周長為_______.3cm6cm仿例3.如圖,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分別為A、B.下列結論中不一定成立的是(

)A.PA＝PBB.PO平分∠APBC.OA＝OBD.AB垂直平分OP仿例4.如圖,AB＝AC,BD＝CD,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F.試說明：DE＝DF.

證明：連接AD.∵AB＝AC,BD＝CD,AD＝AD,∴△ABD≌△ACD(SSS).D∴∠BAD＝∠CAD.∵DE⊥AE,DF⊥AF,∴DE＝DF.閱讀教材P126,完成下列問題：范例4.(杭州模擬)用直尺和圓規作已知角的平分線的示意圖如圖,則說明∠CAD＝∠DAB的依據是(

)A.SSS

B.SASC.ASAD.AAS仿例尺規作圖：如圖,作∠AOB的平分線.作法：(1)以點____為圓心,以__________為半徑畫弧,兩弧交∠AOB兩邊于點M、N；(2)分別以M、N為圓心,以大于

MN為半徑作弧,兩弧交于點C；(3)作射線OC,OC即為所求.O任意長A練習1、如圖,AB是△ABC的一條邊，DE是AB的垂直平分線，垂足為E，并交BC于點D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________,DA=____.ABEDC（1）4cm6cm△ADB的周長是20cm練習2、如圖，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分線交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周長是_______cm.ABCDE

(2)26練習3.如圖，直線CD是線段PB的垂直平分線，點P為直線CD上的一點，且PA=5，則線段PB的長為（）A.6B.5C.4D.3PABCDB練習4.如圖，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E,△BCE的周長等于18cm,則AC的長是

.10cmABCDE

5.如圖,AB是△ABC的一條邊，DE是AB的垂直平分線，垂足為E，并交BC于點D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=_______,DA=_______.ABEDC4cm6cm練習解：∵DE是△ABC邊AB的垂直平分線,∴EB=EA,∴△AEC的周長=AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=4+5=9.6.如圖，DE是△ABC邊AB的垂直平分線，交AB、BC于D、E，若AC=4，BC=5，求△AEC的周長.ADBEC練習解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD

是BC的垂直平分線，∴AB=AC．∵點C在AE

的垂直平分線上，∴AC=CE．∴AB=AC=CE．

∴AB+BD=CE+CD,即AB+BD=DE.7.如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE

的長度有什么關系？AB+BD與DE

有什么關系？ABCDE練習8.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3DBCEAD解析：過點D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分線，

DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，

解得AC＝3.F練習9.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離.∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB，∴PM=PE.同理，PN=PE.∴PM=PN=PE=3.∴MN=6.即AD與BC之間的距離為6.練習10.如圖所示，D是∠ACG的平分線上的一點.DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F.試說明：CE＝CF.解：∵CD是∠ACG的平分線，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF