數理統計引言及總體與樣本課件1第一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三1.某電視機廠全年生產的電視機，2.某個交通路口，3.某汽車在高速公路上行駛,4.有一大批工業產品,其中參數電視機的壽命，設X為任一服從什么分布？在任意一個小時內通過的車輛服從什么分布？任一時刻的速度服從什么分布？其中有正品和次品,任取一件,記服從0—1分布:數為X，為X,從中該產品為正品該產品為次品2第二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三數理統計就是研究怎樣有效地收集、整理和帶有隨機性的數據,以便對所考察的問題作出推斷和預測,分析,直至為采取一定的決策和行動提供依據和建議.這種由局部觀察來對總體下結論必須建立在科學的方法基礎上,否則就會犯錯誤.數理統計的就是給出這種統計推斷任務之一以科學的理論及方法.3第三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三數理統計1.如何從總體中抽樣?2.如何用所抽樣品對總體進行推斷?抽樣全面調查(如人口普查)部分調查總體部分抽樣統計推斷估計假設檢驗主要研究兩方面的問題:4第四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三由于抽樣是一個隨機現象,對總體所作的推斷不可能絕對準確,多少含有一定程度的不確定性,這種不確定性概率大推斷比較可靠概率小推斷不太可靠數理統計的核心問題是:從總體中抽取樣本并且必須伴有一定的概率這種伴有一定概率的推斷所以根據部分觀測或試驗的結果用概率的大小表示.(部分資料),

根據樣本所得到的部分信息對該總體作出推斷(檢驗、估計)以表明推斷的稱為統計推斷.要求每個推斷可靠程度.5第五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三1.抽樣分布是進行統計推斷的基礎理論部分.2.參數估計假設總體的分布類型已知,3.假設檢驗對總體的分布估計其中的參數.或分布中的參數提出假設,討論樣本信息對假設作出成立與否的判斷.怎樣利用4.回歸分析之間的相互關系,根據樣本信息,對兩個或兩個以上隨機變量進行統計推斷.6第六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三§4.1總體與樣本一、總體與總體分布總體：研究的對象的全體構成的集合.個體：組成總體的每一個成員.統計學中關心的不是每個個體的所有特性,而僅僅關心它的某一項或某幾項數量指標.總體是一個隨機變量.(或隨機向量)總體的分布稱為總體分布.定義4.1統計學中稱隨機變量(或隨機向量)X為總體,并把隨機變量(或隨機向量)X的分布稱為總體分布.用X表示每個個體的這一項數量指標.（幾項）7第七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三總體中所含個體的數量容量有限的總體容量無限的總體稱為總體容量.稱為無限總體;稱為有限總體;8第八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三說明:表示總體的X既可以是隨機變量，也可以是隨機向量.如果只關心每一個體的一項數量指標，則總體是隨機變量；數量指標，如果關心兩項或兩項以上則總體就是隨機向量.但為簡化討論，本書只考察一項數量指標的情形,因此,今后總體都是隨機變量.9第九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三二、樣本與樣本分布10第十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三由于所以樣本通常但當一次抽樣實現后,稱它們為樣本值一是指某次抽取的有時泛指一次抽取的可能結果,從總體X中隨機抽取n個個體稱為總體X的這n個一個容量為

的樣本,n稱為是從總體X中可能結果,是n個隨機變量,也把它們看成一個元隨機向量它們就變成了n個具體的或樣本觀測值.常有一個容量為n的樣本時,每當提到總體的雙重意義:具體數值,即樣本值這時個體樣本容量.隨機抽取出來的數值:是指樣本隨機變量11第十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三抽樣應滿足下面兩個條件:(1)隨機性:(2)獨立性:滿足以上兩個條件的抽樣簡單隨機樣本一定相互獨立,有了簡單隨機樣本，都與總體總體中的每一個個體有同等的機會每次抽取的結果,不受其它抽取結果也不影響其它抽取結果.稱為簡單隨機抽樣且每個有相同的分布.被抽到.的影響,就可以利用概率論中獨立，同分布條件下的一系列結論.12第十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三定義4.2是一組相互獨立，在一次試驗中,稱為樣本值設X是總體,的隨機變量.且與有相同分布則稱簡單隨機樣本,簡稱樣本.為來自總體的稱為樣本容量,樣本的具體觀測值或樣本觀測值.13第十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三設總體X的分布函數為故樣本的分布函數為：因都與總體同分布，故的分布函數也是14第十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三由于相互獨立,所以(1)若總體X

是連續型的與總體有相同的分布,所以由于所以的聯合密度函數為其概率分布為由于獨立,是離散型的,(2)若總體X

與X同分布,15第十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三§4.2統計量定義4.3的函數,任一不含未知參數為統計量.說明:也是隨機變量.(2)統計量中可以有參數,是來自總體X的樣本,稱(1)統計量但不能有未知參數.設16第十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例當μ已知時,當μ未知時,的一次觀測值由于統計量就可以算出稱為統計量觀測值.設總體是來自

的一個樣本,是統計量;不是統計量.中不含未知參數,對樣本的17第十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三二、常用的統計量是來自總體X的樣本,設1.樣本均值2.樣本方差未修正樣本方差修正樣本方差要估計總體的方差用比用更好,簡稱為樣本方差.18第十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三未修正樣本方差樣本方差當n較大時,19第十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三樣本方差3.樣本標準差4.樣本k階原點矩5.樣本k階中心矩1~5統稱為矩統計量,簡稱為樣本矩.它們都可表為樣本的顯式函數.20第二十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三5.樣本k階中心矩時，21第二十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三6.順序統計量是來自總體X的樣本,設將各分量按由小到大的次序排列成稱為樣本的一組稱為樣本極小值;稱為樣本極大值;稱為樣本的極差.順序統計量.22第二十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三三、樞軸量定義

的分布已知,中僅包含總體的一個則稱是來自總體X的樣本,設如果函數未知參數θ并且設總體X的分布中含有未知參數θ,為了估計θ,需構造一個包含θ的樣本函數其分布已知.已知分布為樞軸量.23第二十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三§4.3常用的統計分布24第二十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三給定的一、分位數定義4.4設隨機變量X對給定的實數α,如果實數滿足條件則稱為X的分布的水平α的上側分位數.當X是連續型隨機變量時，其密度函數為的分布函數為25第二十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三為的水平α的上側分位數.給定的為的水平1-α的上側分位數.26第二十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例求標準正態分布的上側分位數：解27第二十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三如果連續型隨機變量X的密度函數是偶函數.即密度函數的圖像關于y軸對稱.稱X是對稱分布的隨機變量,此時可定義定義4.5其分布函數對給定的實數α,如果正實數滿足條件則稱水平α的雙側分位數.雙側分位數.設X是對稱分布的隨機變量,為為X的分布的注意:只有具有對稱分布的隨機變量,才有雙側分位數.28第二十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三具有對稱分布水平α的雙側分位數.為X的分布的對于的隨機變量X29第二十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例求標準正態分布的水平α=0.05,的雙側分位數.及α=0.1解α=0.05時,設對應的雙側分位數為λα=0.1時,設對應的雙側分位數為ν30第三十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三Γ函數:如Γ函數有性質如31第三十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三1.定義定義4.6記為則稱X服從自由度為的其中時與有關.若隨機變量的密度函數為n為給定自然數.32第三十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三即當時,指數分布.就是參數為的當時,密度函數的圖像皆為單峰曲線，n越大,峰值越靠右,曲線越平緩.33第三十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三定理4.2推論相互獨立，設隨機變量與都服從則若隨機變量相互獨立,則分布,都服從分布,34第三十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三定理設則因為定理若隨機變量相互獨立,且則證相互獨立,所以也相互獨立.根據分布的可加性,即P66，例2.29當n較大時,可用正態分布近似.35第三十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例且求解設相互獨立,則分布的自由度就是其數學期望.進而可求出設36第三十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三設對于給定的水平α的上側分位數給定的37第三十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例設例例設當n較大時,可用正態分布近似.當n≤45時,有表可查.的上側分位數38第三十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例設解求解求例設總體一個簡單隨機樣本,為來自的39第三十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三相互獨立也相互獨立.求例設總體一個簡單隨機樣本,為來自的解40第四十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三Β函數如Β函數有性質在區間41第四十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三三、F分布1.定義定義4.7的概率密度函數為若隨機變量則稱X服從記為自由度為m和n其中是給定自然數.的F分布,稱為第一自由度,稱為第二自由度.42第四十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三即43第四十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2.F分布的典型模式定理4.3則設隨機變量X和Y相互獨立,推論若隨機變量則44第四十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三3.F分布的設對于給定的α水平α的上側分位數給定的45第四十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例(P276)即即當α≤0.1時,可查表.46第四十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三在F分布表中，當較大時,例設求λ0.975可用結論:解47第四十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三一般地，對有證設α證畢48第四十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三四、t分布1.定義定義4.8的概率密度函數為若隨機變量則稱X服從記為t分布,其中

是給定自然數.說明:為偶函數,其圖象關于軸對稱.軸為的漸近線.與標準正態分布的密度函數接近.(4)當

較大時,自由度為n的為函數的最大值.49第四十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三即是偶函數,得到由分布的密度函數50第五十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三定理4.42.分布的典型模式設隨機變量且X與Y獨立,則51第五十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三設對于給定的水平α的上側分位數給定的給定的52第五十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例設P28653第五十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例設54第五十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三§4.4抽樣分布55第五十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三定理設則定理若隨機變量相互獨立,且則定理4.3則設隨機變量X和Y相互獨立,定理4.4設隨機變量且X與Y獨立,則56第五十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三一、正態總體的抽樣分布定理一個簡單隨機樣本,證故它們的X的則因為獨立,即且都與同分布,線性組合設總體是來自57第五十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三在此定理的條件下，定理一個簡單隨機樣本,X的則設總體是來自58第五十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三定理4.1一個簡單隨機