因子分析步驟第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二一、前言變量的相關性公共因子？將多個實測變量轉換成少數幾個不相關的綜合指數第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二二、因子分析模型一般地，設X=(x1,x2,…,xp)’為可觀測的隨機變量，且有f=(f1,f2,…,fm)’為公共（共性）因子（commonfactor），簡稱因子（factor）第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二e=(e1,e2,…,ep)’為特殊因子（specificfactor）f和e均為不可直接觀測的隨機變量μ=(μ1,μ2,…,μp)’為總體x的均值A=(aij)p*m為因子負荷（載荷）（factorloading）矩陣第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二通常先對x作標準化處理，使其均值為零，方差為１．這樣就有假定（１）fi的均數為０，方差為１；（２）ei的均數為０，方差為δi；（３）fi與ei相互獨立．則稱x為具有m個公共因子的因子模型第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二如果再滿足（４）fi與fj相互獨立（i≠j），則稱該因子模型為正交因子模型。正交因子模型具有如下特性：x的方差可表示為設第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二（１）hi2是m個公共因子對第i個變量的貢獻，稱為第i個共同度（communality）或共性方差，公因子方差（commonvariance）（２）δi稱為特殊方差（specificvariance），是不能由公共因子解釋的部分第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二因子載荷（負荷）aij是隨機變量xi與公共因子fj的相關系數。設稱gj2為公共因子fj對x的“貢獻”，是衡量公共因子fj重要性的一個指標。第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二三、因子分析的步驟輸入原始數據xn*p，計算樣本均值和方差，進行標準化計算（處理）；求樣本相關系數矩陣R=(rij)p*p；求相關系數矩陣的特征根λi(λ1,λ2,…,λp>0)和相應的標準正交的特征向量li；第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二確定公共因子數；計算公共因子的共性方差hi2;對載荷矩陣進行旋轉，以求能更好地解釋公共因子；對公共因子作出專業性的解釋。第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二四、因子分析提取因子的方法主成分法（principalcomponentfactor）第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二每一個公共因子的載荷系數之平方和等于對應的特征根，即該公共因子的方差。第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二極大似然法（maximumlikelihoodfactor）假定原變量服從正態分布，公共因子和特殊因子也服從正態分布，構造因子負荷和特殊方差的似然函數，求其極大，得到唯一解。第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二主因子法（principalfactor）設原變量的相關矩陣為R=(rij)，其逆矩陣為R-1=(rij)。各變量特征方差的初始值取為逆相關矩陣對角線元素的倒數，δi’=1/rii。則共同度的初始值為(hi’)2=1-δi’=1-1/rii。第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二以(hi’)2代替相關矩陣中的對角線上的元素，得到約化相關矩陣。

(h1’)2r12…r1pr21(h2’)2…r2pR’=..…...….rp1rp2…(hp’)2R’的前m個特征根及其對應的單位化特征向量就是主因子解。第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二迭代主因子法（iteratedprincipalfactor）主因子的解很不穩定。因此，常以估計的共同度為初始值，構造新的約化矩陣，再計算其特征根及其特征向量，并由此再估計因子負荷及其各變量的共同度和特殊方差，再由此新估計的共同度為初始值繼續迭代，直到解穩定為止。第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二Heywood現象殘差矩陣第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二五、因子旋轉目的：使因子負荷兩極分化，要么接近于0，要么接近于1。常用的旋轉方法：第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二（1）方差最大正交旋轉（varimaxorthogonalrotation）基本思想：使公共因子的相對負荷（lij/hi2）的方差之和最大，且保持原公共因子的正交性和公共方差總和不變。可使每個因子上的具有最大載荷的變量數最小，因此可以簡化對因子的解釋。第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二（2）斜交旋轉（obliquerotation）因子斜交旋轉后，各因子負荷發生了較大變化，出現了兩極分化。各因子間不再相互獨立，而彼此相關。各因子對各變量的貢獻的總和也發生了改變。適用于大數據集的因子分析。第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二六、因子得分Thomson法，即回歸法回歸法得分是由Bayes思想導出的，得到的因子得分是有偏的，但計算結果誤差較小。第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二Bartlett法Bartlett因子得分是極大似然估計，也是加權最小二乘回歸，得到的因子得分是無偏的，但計算結果誤差較大。因子得分可用于模型診斷，也可用作進一步分析的原始資料。第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二七、因子分析應用實例第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二八、因子分析應用的注意事項應用條件（1）變量是計量的，能用線性相關系數（Pearson積叉相關系數）表示。（2）總體的同質性第二十