3.4基本不等式

數學必修5人民教育出版社

課堂不等式專注學＞＞散心學學習目標：1.借助研究性學習活動，掌握基本不等式的推導方法，明確基本不等式成立的條件；2.能利用基本不等式求代數式或函數的最值，初步學會實際問題的處理方法.學習重點：基本不等式的應用學習難點：基本不等式推導過程及成立的條件研究性學習活動展示研究性學習活動一

這是2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標．會標根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。1.看一看：這會標中含有怎樣的幾何圖形？2.想一想：你能否在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系？研究性學習活動一：做一做+猜一猜：ab1、正方形ABCD的面積S=＿＿＿＿＿２、四個直角三角形的面積和S’

=＿＿３、S與S’有什么樣的不等關系？找一找：ADBCEFGHba猜一猜：一般地，對于任意實數a、b，我們有當且僅當a=b時，等號成立。ABCDE(FGH)ab>(a≠b)(a＝b)＝證一證：你能給出不等式的證明嗎？證明：

重要不等式：

一般地，對于任意實數a、b，總有當且僅當a=b

時，等號成立.文字敘述為:兩數的平方和不小于它們積的2倍.適用范圍：研究性學習活動展示研究性學習活動二研究性學習活動二：做一做+猜一猜②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD與CD的大小關系怎樣?OD_____CD如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.ADBEOCab研究性學習活動二：做一做+猜一猜②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD與CD的大小關系怎樣?OD_____CD＞≥如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.幾何意義：半徑不小于弦長的一半ADBEOCab換一換替換后得到：即：你能用不等式的性質直接推導這個不等式嗎？試一試證一證證明：要證只要證①要證①，只要證②要證②，只要證③顯然,③是成立的.當且僅當a=b時,③中的等號成立.分析法證明不等式：特別地，若a>0，b>0，則≥通常我們把上式寫作：當且僅當a=b時取等號，這個不等式就叫做基本不等式.基本不等式在數學中，我們把叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數；文字敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.適用范圍：a>0,b>0

例1.(1)如圖,用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？ABDC用一用基本不等式的實際應用

例1.(1)如圖,用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？解：如圖設BC=x

，CD=y

，則xy=100，籬笆的長為2(x+y)m.當且僅當時，等號成立因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.此時x=y=10.x=yABDC若x、y皆為正數，則當xy的值是常數P時，當且僅當x=y時，x+y有最小值_______.例1.(2)如圖，用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設BC=x

，CD=y

，則2(x+y)=36,x+y=18矩形菜園的面積為xym2得

xy≤81當且僅當x=y時，等號成立

因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園面積最大，最大面積是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆為正數，則當x+y的值是常數S時，當且僅當x=y時，xy有最大值_______；1.教材第100頁練習1.2.3課堂檢測一例2.某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池,其容積為4800m3,深為3m.如果池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為120元,怎樣設計水池能使總造價最低?最低總造價是多少?分析:水池呈長方體形,它的高是3m,底面的長與寬沒有確定.如果底面的長與寬確定了,水池的總造價也就確定了.因此應當考察底面的長與寬取什么值時水池總造價最低。解:設底面的長為xm,寬為ym,水池總造價為z元.根據題意,有:由容積為4800m3,可得:3xy=4800因此xy=1600由基本不等式與不等式的性質,可得即

當x=y,即x=y=40時,等號成立所以,將水池的地面設計成邊長為40m的正方形時總造價最低,最低總造價為297600元.2.教材第100頁

練習4課堂檢測二適用范圍文字敘述“=”成立條件a=ba=b兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數兩數的平方和不小于它們積的2倍