三角化簡求值證明通性通法：求值、化簡、證明是三角函數中最常見的題型，其解題一般思路為：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差異，想聯系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引輔角。一、化簡求值【例1】化簡下列各式(3兀∣l11Irl^^1 ( (3兀C(1)1I———'—十—cos2αα∈—，2兀V22V22（2）sin15ocos9o—cos66osin15。sin9。+Sin66。II2JJ（3）1—sin4α—cos4α1—sin6α—cos6α2cos10o-sin20osin70o⑷(5)cos20°cos40°cos60°cos80°;(6)sin220°+cos250°+sin30°sin70°⑺√3tan12°—3

sin12°(4cos212°—2)(3)求值tan20°+4sin20° (4)已知α+β=45。，求(1+tanα)(1+tanβ)的值。(5)tan(45°+。)=3,求sin2θ-2cos2θ的值…、r /,兀、317兀一 「兀(6)設cos(x+)—二， <x<一,4 512 4sin2x+2sin2x1—tanx的值。求（7）已知$濟（--a）=1，求COS（紅+2α）的值.63 3⑻已知tan似-β)=2,tanβ=-1，且α,β≡。兀)，求2。-3的值.兀兀 α+β⑼已知方程X2+4ax+3a+1=0(a>1)的兩根為tana、tanβ,且a,β∈(-—,—),求tan—的值的值。二、三角恒等式的證明：（1）三角恒等式的證題思路是根據等式兩端的特征,通過三角恒等變換,應用化繁為簡、左右同一等方法,使等式兩端的化“異”為“同”；（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察,發現已知條件和待證等式間的關系,采用換元法、分析法進行證明。1-sina 1-cosa 1+sina-cosa a【例1】證明tana =cota-一；一 【例2】證明;一； =tan-1+cosa 1+sina 1+sina+cosa 2【例3】求證：tan—x2sinxtan—x= cosx+cos2x二、函數求最值類型一：利用卜inX≤1,∣CosX≤1這一有界性求最值。sinx-1【例1】（1）求函數y= 的值域。（2）若函數y=aCosx+b的最大值是1,最小值是-7，求a,b2-sinx類型二：y=asinx+bCosx型。此類型通常可以可化為J=aSinX+bcosX=?a2+b2（x+φ）求其最值（或值域）。兀、,【例2】（1）求函數J=3sinX+4cosx,X∈（0,—）的最值。兀 兀(2)求函數y=sιn(X——)+sm(X+—)(X∈R)的最值。63類型三：y=asin2x+bsinX+c(aW0)型。此類型可化為y=at2+bt+C(aW0)在區間［-1,1］上的最值問題。 _【例3】求函數y=cos2X+√3asinX+1(a∈R,X∈R)的最大值。類型四：y=asin2X+bsinX?cosX+c(aW0)型。【例4】求函數f(X)=5√3cos2X+√3sin2X—4sinXCoSXC<X≤7^-)的最值，并求取得最值時X的4 24值。asinX+b類型五：f（X）= 型。此類型最值問題可考慮如下幾種解法：①轉化為aSmX+bcosX=C再ccosX+d利用輔助角公式求其最值；②采用數形結合法（轉化為斜率問題）求最值。③萬能公式SinX -兀、【例5】求函數y= ，X∈（0,-）的值域。CoSX-2 2類型六：含有SinX±CoSX與SinX?cosX的最值問題。解此類型最值問題通常令t=SinX±cosx，12=1±2sinX?cosX，-.、口≤t≤J2，再進一步轉化為二次函數在區間上的最值問題。【例6】求函數y=sinX?CoSX+sinX+CoSX的最大值并指出當X為何值時，取得最大值。b類型七：y=aSinX+-一（0<X<兀）型（轉化為對號函數）函數最值問題。sinX【例7】已知x∈（0,兀），求函數y=%3sinθ1+3sin2θ的最大值；【變式】類型八：【例8】,C兀 1-cos2v+8co&X,,當0<X< 時，函數f(X)= - 的最小值為 2 Sin2X條件最值問題。已知3sin2α+2sin2P=2sinα，求y=sin2α+sin2P的取值范圍。【變式】2已知sinX+sin