教學(xué)目標：1．掌握二項展開式中的二項式系數(shù)的基本性質(zhì)及其推導(dǎo)方法。2．通過對楊輝三角中蘊含的數(shù)字規(guī)律的初步探究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、經(jīng)過分析——猜想——證明以后解決問題的能力，激勵學(xué)生自主創(chuàng)新。通過從不同的角度觀察楊輝三角，培養(yǎng)學(xué)生要從多角度看問題的意識，提高學(xué)生解決實際問題的能力。

3．鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會交流、合作，培養(yǎng)學(xué)生團結(jié)協(xié)作的精神。同時，通過了解我國古代數(shù)學(xué)的偉大成就，培養(yǎng)學(xué)生的愛國情感。

教學(xué)重、難點：

教學(xué)重點：掌握二項展開式中二項式系數(shù)性質(zhì)，探討“楊輝三角”中蘊含的數(shù)字規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并運用所學(xué)的知識解決問題的能力。教學(xué)難點：如何發(fā)現(xiàn)、證明規(guī)律。

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以深刻地感知知識的形成過程，對于規(guī)律性的結(jié)論可以做出判斷，并上升到理性的思考。通過小組合作學(xué)習(xí)的方式，學(xué)生更加感受到在互助中學(xué)習(xí)，在競爭中學(xué)習(xí)的重要性，達到培養(yǎng)學(xué)生團結(jié)協(xié)作精神的目的。教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容、設(shè)計學(xué)生活動設(shè)計意圖（一）溫故知新1、

二項式定理2、

二項式系數(shù)3、

組合數(shù)的兩個性質(zhì)

學(xué)生回憶前面學(xué)過的相關(guān)知識，集體完成問題。

通過對學(xué)生已有的相關(guān)知識的調(diào)動，對本節(jié)課的學(xué)習(xí)起到承上啟下的作用。（二）探索新知【問題一】計算展開式的二項式系數(shù)并填入下表n展開式的二項式系數(shù)1

2

3

4

5

6

通過填表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？經(jīng)過對表格中的數(shù)據(jù)整理后，我們得到一張形如三角形的非常優(yōu)美的表。這樣的二項式系數(shù)表，早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了，我們把它叫做“楊輝三角”。

學(xué)生獨立完成問題一，主動發(fā)表自己的見解。從學(xué)生已有二項式定理的知識及二項式系數(shù)的運算出發(fā)讓學(xué)生通過填表發(fā)現(xiàn)二項式系數(shù)具有一定的規(guī)律。同時也讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這樣的表格不利于發(fā)現(xiàn)二項式系數(shù)的其它性質(zhì)，由此引發(fā)思考：如何對表格進一步整理，得到更方便觀察二項式系數(shù)的數(shù)字規(guī)律的表格，由此自然引出“楊輝三角”。【問題二】觀察“楊輝三角”，你能得到哪些數(shù)字規(guī)律？（填到課前發(fā)的習(xí)題紙上，見附件1）（教師應(yīng)充分引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度觀察，如整體看、局部看；橫看、斜看。還可以計算每一橫行或斜行中各數(shù)字的和，看結(jié)果是否有規(guī)律。）

學(xué)生觀察表中數(shù)字，獨立思考，初步形成自己的看法，并在習(xí)題紙中做好記錄。通過引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度觀察“楊輝三角”，讓學(xué)生感受對待同一事物“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”的妙處。通過獨立思考，為下一環(huán)節(jié)的小組合作交流提供素材。【問題三】

請與同組的其它同學(xué)交流你的想法，并試著證明你們的猜想。

學(xué)生分小組合作交流，集思廣益。通過小組合作交流的形式，讓學(xué)生的不同想法產(chǎn)生碰撞，產(chǎn)生智慧的火花。【問題四】

請各小組派代表發(fā)表你們的看法。各小組派代表發(fā)言，并投影他們的討論成果。經(jīng)過獨立思考與合作交流，各小組得到的規(guī)律已初具規(guī)模。通過派代表發(fā)言，使各組一起分享討論成果。同時對一些教材上沒有又較難證明的規(guī)律，可以在這一環(huán)節(jié)共同解決。（對學(xué)生看法的預(yù)設(shè)：）見附件2

教師在這個環(huán)節(jié)中做好充分準備，對學(xué)生可能找到的規(guī)律做出預(yù)設(shè)。

（三）例題分析及變式訓(xùn)練例1：在的展開式中，求：二項式系數(shù)最大的項;二項式系數(shù)之和;各項系數(shù)之和；例2學(xué)生在練習(xí)本上規(guī)范答題，寫出完整解題過程。通過設(shè)計有針對性和有效性的練習(xí)，使學(xué)生能鞏固知識、訓(xùn)練技能，又幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。（四）課堂練習(xí)（五）評價反思從本節(jié)課的探索過程中你收獲了什么？學(xué)生舉手發(fā)言，談?wù)勛约旱氖斋@。讓學(xué)生回味這節(jié)課，總結(jié)自己的收獲，表達自己在課堂上收獲的知識與培養(yǎng)的情感，同時教師可以在這一環(huán)節(jié)檢查自己的預(yù)設(shè)目標是否達到，以便做好課后反思。

（六）課后延伸楊輝三角奧秘?zé)o窮，只要大家從不同角度運用合情推理，一定會發(fā)現(xiàn)更多的規(guī)律。

激勵學(xué)生課后繼續(xù)探索楊輝三角，使學(xué)生意識到應(yīng)該把探究愿望貫穿在課堂內(nèi)外。（七）板書設(shè)計楊輝三角性質(zhì)：應(yīng)用1、

1、2、3、

2、4、

附件一探索楊輝三角中蘊含的數(shù)字排列規(guī)律【活動一】：計算展開式的二項式系數(shù)并填入表格

n展開式的二項式系數(shù)1

2

3

4

5

6

通過填表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律【活動二】上表經(jīng)過整理得到如下形式：觀察上表，你能得到表中蘊含的哪些數(shù)字規(guī)律？請把最后一行空缺的數(shù)據(jù)補充完整。【活動三】從不同的方向觀察楊輝三角，你能發(fā)現(xiàn)什么數(shù)字規(guī)律？觀察的方向猜想規(guī)律試試證明你的猜想

同一行橫向看

相鄰兩行一起看

斜向看

附件二探索楊輝三角中蘊含的數(shù)字排列規(guī)律【活動一】：計算展開式的二項式系數(shù)并填入表格

n展開式的二項式系數(shù)11

1

21

21

31

331

41

4641

51

5101051

61

615201561

通過填表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【活動二】上表經(jīng)過整理得到如下形式：觀察上表，你能得到表中蘊含的哪些數(shù)字規(guī)律？請把最后一行空缺的數(shù)據(jù)補充完整【活動三】從不同的方向觀察楊輝三角，你能發(fā)現(xiàn)什么數(shù)字規(guī)律？觀察的方向猜想規(guī)律試試證明你的猜想

同一行橫向看①對稱性：與首末兩端等距離的兩項相等。②增減性：當n為偶數(shù)時，二項式系數(shù)有最大項為，當n為奇數(shù)時，中間的兩項，相等，且同時取得最大值。

③各二項式系數(shù)的和為，即：在二項式定理中令即可④奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即：在二項式定理中令即可

相鄰兩行一起看⑤除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)之和。

斜向看⑥把換成，再用組合數(shù)的性質(zhì)運算即可。⑦斐多那契數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13，…遞推公式：

整體看⑧把楊輝三角中每一行的數(shù)字寫在一起組成一個整數(shù)，這些整數(shù)構(gòu)成首項是1，公比是11的等比數(shù)列。⑨第p行除兩端的1以外，p整除其余的數(shù)。（p為一個質(zhì)數(shù)）觀察得到。（數(shù)學(xué)歸納法，學(xué)生待學(xué)）⑩第行的數(shù)都是奇數(shù)，第行除了兩端的1外都是偶數(shù)。觀察得到。（數(shù)學(xué)歸納法，學(xué)生待學(xué)）學(xué)情分析本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了兩個計數(shù)原理、組合及組合數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，又具體學(xué)習(xí)了二項式定理、二項式系數(shù)等概念的基礎(chǔ)上進行的。從知識發(fā)生發(fā)展過程的角度上看，學(xué)生可以從直觀上很好地觀察發(fā)現(xiàn)楊輝三角中蘊含的數(shù)字規(guī)律，但對于高二的學(xué)生，他們思考問題的思維已經(jīng)不僅僅滿足于“知其然”，他們更渴望的是“知其所以然”，在老師適當?shù)狞c撥下，學(xué)生能很自然地聯(lián)系到上位知識，即組合數(shù)的性質(zhì)與二項式系數(shù)的聯(lián)系，通過師生合作完成知識發(fā)展過程的探究。我們學(xué)校分層次選課走班教學(xué)本班是B層學(xué)生，在觀察歸納猜想讓更應(yīng)該大膽猜想。老師的講解上要越詳細越好。效果分析：

本節(jié)課的教材所具有的特點是所涉及的內(nèi)容都是以結(jié)論的形式直接呈現(xiàn)，對于這些結(jié)論學(xué)生也不難理解。但是如果以講授課的形式來學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容，那么學(xué)生將陷入一種被動學(xué)習(xí)的局面，學(xué)生不僅難于發(fā)現(xiàn)課本以外的其他規(guī)律，更甚者使學(xué)生能力缺失，對學(xué)習(xí)缺乏興趣，不能有效開展課堂教學(xué)，提高課堂教學(xué)質(zhì)量。因此，這就要求我們必須從學(xué)生的認知規(guī)律出發(fā)，去暴露知識的發(fā)生、發(fā)展過程。

1．根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點，實現(xiàn)情感目標，本節(jié)課結(jié)合歷史材料，對學(xué)生進行情感教育。2．依據(jù)知識的發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生的思維規(guī)律，本節(jié)課設(shè)計了“問題串”的形式，讓不同程度的學(xué)生都有所收獲，有所成功，充分體現(xiàn)新課程“面向全體，讓不同的學(xué)生在學(xué)習(xí)上都能得到發(fā)展”的思想。通過填表的方式初步找規(guī)律，再獨立思考找規(guī)律，最后進行合作交流，共同找規(guī)律并嘗試證明，在知識的形成過程中去培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性、深刻性，這體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)由具體感知到理性思考的過程，為不同認知基礎(chǔ)的學(xué)生提供合理的學(xué)習(xí)機會。

3．為突出重點，本節(jié)課采取觀察啟發(fā)和問題解決的方式引導(dǎo)學(xué)生思考，使學(xué)生主動參與提出問題和探索問題的過程。同時采用學(xué)生以分組討論的方式，通過觀察分析——歸納猜測——推理論證——鞏固反饋來理解和掌握內(nèi)容。（1）為突破難點，對結(jié)論的推理證明將由師生共同完成。在結(jié)論的推證過程中去培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴謹性和演繹推理的能力以及化歸的思想方法。

（2）

為了給學(xué)生提供學(xué)習(xí)反饋的機會，以更好地揭示學(xué)生對知識發(fā)生、發(fā)展過程的認知，本節(jié)課借助教育技術(shù)在內(nèi)的教學(xué)媒體，讓學(xué)生進一步交流，幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)知識，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，同時顯示計算機輔助教學(xué)的優(yōu)勢。教材分析楊輝三角是人教B版選修2-3第一章的內(nèi)容,是在學(xué)生學(xué)習(xí)過二項式定理后,進一步學(xué)習(xí)其性質(zhì)的一個課例。楊輝三角所蘊含的豐富的數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)思想、方法給學(xué)生提供了一個很好的數(shù)學(xué)探究的課題。根據(jù)楊輝三角在整個教材內(nèi)容中的地位與作用,本節(jié)課教學(xué)應(yīng)實現(xiàn)如下教學(xué)目標:

知識與技能了解楊輝三角的簡單歷史,掌握楊輝三角的基本性質(zhì);

過程與方法:

通過探究過程培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題、概括與歸納問題、解決問題能力;

情感態(tài)度與價值觀:通過了解有關(guān)楊輝三角的簡史,體會我國古代數(shù)學(xué)家的偉大成就,進行愛國主義教育,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探究楊輝三角的熱情;通過小組討論,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、建構(gòu)知識的研究型學(xué)習(xí)習(xí)慣以及合作化學(xué)習(xí)的團隊精神。

根據(jù)上述教學(xué)目標,確定本節(jié)課的教學(xué)重點是:楊輝三角中數(shù)字的規(guī)律的探究;本節(jié)課的學(xué)習(xí)難點是:楊輝三角中數(shù)字規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和總結(jié)。評測練習(xí)基礎(chǔ)達標1．(1＋x)n(3－x)的展開式中各項系數(shù)的和為1024，則n的值為()A．8 B．9C．10 D．112.如圖是一個類似楊輝三角的遞推式，則第n行的首尾兩個數(shù)均為________．3．若(x＋3y)n的展開式中各項系數(shù)的和等于(7a＋b)10的展開式中二項式系數(shù)的和，則n的值為________．4．求(1－x)8的展開式中(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)最小的項．5．已知(eq\f(1,2)＋2x)n，若展開式中第5項、第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)．B、能力提升1．(2013·高考課標全國卷Ⅰ)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則m＝()A．5 B．6C．7 D．82.把通項公式為an＝2n－1(n∈N*)的數(shù)列{an}的各項排成如圖所示的三角形數(shù)陣．記S(m，n)表示該數(shù)陣的第m行中從左到右的第n個數(shù)，則S(10,6)對應(yīng)于數(shù)陣中的數(shù)是________．3．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，求n.答案A.基礎(chǔ)達標1解析：選B.由題意知(1＋1)n(3－1)＝1024.即2n＋1＝1024，∴n＝9.2.解析：觀察規(guī)律可知：第n行的首尾兩個數(shù)均為2n－1.答案：2n－13解析：(7a＋b)10的展開式中二項式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210，令(x＋3y)n中x＝y(tǒng)＝1，則由題設(shè)知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.答案：54．解：(1)因為(1－x)8的冪指數(shù)8是偶數(shù)，由二項式系數(shù)的性質(zhì)，知(1－x)8的展開式中間一項(即第5項)的二項式系數(shù)最大．該項為T5＝Ceq\o\al(4,8)(－x)4＝70x4.(2)二項展開式系數(shù)的最小值應(yīng)在各負項中確定最小者．即第4項和第6項系數(shù)相等且最小，分別為T4＝Ceq\o\al(3,8)(－x)3＝－56x3，T6＝Ceq\o\al(5,8)(－x)5＝－56x5.5．解：∵Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)＝2Ceq\o\al(5,n)，∴n＝7或n＝14，當n＝7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T4和T5，T4的系數(shù)為Ceq\o\al(3,7)(eq\f(1,2))423＝eq\f(35,2)；T5的系數(shù)為Ceq\o\al(4,7)(eq\f(1,2))324＝70；當n＝14時，展開式中二項式系數(shù)最大項是T8，T8的系數(shù)為Ceq\o\al(7,14)(eq\f(1,2))727＝3432.B、能力提升1．解析：選B.(x＋y)2m展開式中二項式系數(shù)的最大值為Ceq\o\al(m,2m)，∴a＝Ceq\o\al(m,2m)，同理，b＝Ceq\o\al(m＋1,2m＋1).∵13a＝7b，∴13·Ceq\o\al(m,2m)＝7·Ceq\o\al(m＋1,2m＋1)，∴13·eq\f((2m)！,m！m！)＝7·eq\f((2m＋1)！,(m＋1)！m！)，∴m＝6.2.解析：設(shè)這個數(shù)陣每一行的第一個數(shù)組成數(shù)列{bn}，則b1＝1，bn－bn－1＝2(n－1)，∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.答案：1013．解：令x＝0，得a0＝1＋1＋…＋1＝n；an＝1，令x＝1，則2＋22＋23＋…＋2n＝a0＋a1＋a2＋…＋an，∴a1＋a2＋…＋an－1＝2(2n－1)－n－1＝2n＋1－n－3，∴2n＋1－n－3＝29－n，∴n＝4.課后反思：對于本節(jié)課，一些教師可能會采取講授課的形式進行教學(xué)，因為課本上已經(jīng)直接給出了一些二項式系數(shù)的規(guī)律，教師也就因為課時所限、高考不重點考查等原因而直接講結(jié)論，緊接著練習(xí)以完成教學(xué)任務(wù)。以這樣的方式培養(yǎng)出來的學(xué)生會習(xí)慣被動接受，會喪失自主創(chuàng)新的能力。因此，在本節(jié)課的實際教學(xué)中，我的設(shè)計力求學(xué)生能在學(xué)習(xí)中體驗──在體驗中探究──在探究中創(chuàng)新。在介紹數(shù)學(xué)家楊輝時，我特意提到勾股定理以及圓周率的發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生的愛國情感，實現(xiàn)本節(jié)課的情感目標。

我在進行教學(xué)設(shè)計時，考慮到學(xué)生的參與程度和能