隨機(jī)變量及其分布第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”,研究隨機(jī)變量落入某個區(qū)間內(nèi)的概率.一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)則稱

X為連續(xù)型隨機(jī)變量,

稱

f(x)

為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度.1、連續(xù)型隨機(jī)變量與密度函數(shù)的概念0xf(x)ab幾何定義一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)2、概率密度函數(shù)的性質(zhì)1o2o【注】這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)f(x)是否為某連續(xù)型X概率密度的充要條件0xf(x)面積為1二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)1、分布函數(shù)是研究隨機(jī)變量概率分布的統(tǒng)一工具0xf(x)x二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)2、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)處處連續(xù)正是由于分布函數(shù)的為連續(xù)函數(shù)，隨機(jī)變量才稱為連續(xù)型，這也是連續(xù)型隨機(jī)變量的另一定義。二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)3、連續(xù)型隨機(jī)變量取單點(diǎn)值概率為0.由P(B)=1,不能推出B=S由P(A)=0,不能推出由此可以得到如下結(jié)論：二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)4、連續(xù)型隨機(jī)變量任意區(qū)間內(nèi)的概率求法二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)5、連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)與密度函數(shù)關(guān)系.由此可知：分布函數(shù)求導(dǎo)等于概率密度函數(shù)；密度函數(shù)求積分等于分布函數(shù)。二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)6、連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的意義.若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則對f(x)的進(jìn)一步理解:故

X的密度f(x)

在x

這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當(dāng)于線密度.二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)6、連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的意義.若不計高階無窮小，有在連續(xù)型變量理論中所起的作用與在離散型變量理論中所起的作用相類似.二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)0xf(x)ab

要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處a的高度(取值)，并不反映X取值的概率.但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.

f(x)xoa二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)練習(xí)1二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)故有解(1)因為X是連續(xù)型隨機(jī)變量,二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)練習(xí)2

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為二、分布函數(shù)與概率密度函數(shù)三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布（一）均勻分布則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X

～U(a,b)若隨機(jī)變量X的概率密度為：記作三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.均勻分布常見于下列情形：如在數(shù)值計算中，由于四舍五入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差；三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布例3

某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即7:00，7:15，7:30,7:45等時刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.解以7:00為原點(diǎn)，以分為單位.由題可知三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布為使候車時間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達(dá)車站.所求概率為：即乘客候車時間少于5分鐘的概率是1/3.從上午7時起，每15分鐘來一班車，即7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達(dá)汽車站，三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布解法一：解法二：由性質(zhì)（二）指數(shù)分布指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命.若隨機(jī)變量X具有概率密度為常數(shù),則稱X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布.三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布若X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布,則其分布函數(shù)為事實上,當(dāng)時,當(dāng)時,三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布例4某電子元件使用壽命為隨機(jī)變量X，其概率密度為求：(1)常數(shù)k；(2)壽命超過100小時的概率；解：三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布解：三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布可見，指數(shù)分布具有“無記憶性”.例4某電子元件使用壽命為隨機(jī)變量X，其概率密度為求：(3)已知元件已正常使用200小時，至少還能使用100小時的概率；解：三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布例4某電子元件使用壽命為隨機(jī)變量X，其概率密度為求：(4)3個這樣的元件使用100小時后，至少一個損壞的概率(假定這3個元件是否損壞相互獨(dú)立).（三）正態(tài)分布（高斯分布）1、一般正態(tài)分布若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布注意：當(dāng)隨機(jī)變量受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)影響，而每個因素的影響微小不能起主導(dǎo)作用，因素正負(fù)影響可以相互疊加時，隨機(jī)變量往往服從正態(tài)分布。例如：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)，原件尺寸，射擊目標(biāo)的水平與垂直誤差，信號噪聲干擾強(qiáng)度等。2、正態(tài)曲線的特點(diǎn)三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布（6）正態(tài)分布的分布函數(shù)三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布3、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布4、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)與分布函數(shù)的性質(zhì)三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布5、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表的應(yīng)用三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布6、一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.重要定理：三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布根據(jù)結(jié)論,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布三、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)解P(X≥h)≤0.01或

P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的h.

練習(xí)

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會在0.01以下來設(shè)計的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定?

設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計要求隨堂練習(xí)因為X～N(170,62),故P(X<h)=查表得(2.33)=0.9901>0.99因而=2.33,即

h=170+13.98184設(shè)計車門高度為184厘米時，可使男子與車門碰頭機(jī)會不超過0.01.P(X<h)0.99求滿足的最小的h.所以.隨堂練習(xí)已知90分以上的12人，60分以下的83人，若從高分到低分依次錄取，某人