研究對象的機理比較簡單

用靜態、線性、確定性模型即可達到建模目的可以利用初等數學方法來構造和求解模型盡量采用簡單的數學工具來建模如果用初等和高等的方法建立的模型，其應用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受歡迎.

第二章初等模型

第二章

初等模型2.1

雙層玻璃窗的功效2.2

劃艇比賽的成績2.3

實物交換

2.4

汽車剎車距離與道路通行能力2.5估計出租車的總數2.6評選舉重總冠軍2.7解讀CPI2.8

核軍備競賽2.9

揚帆遠航2.10節水洗衣機2d墻室內T1室外T2dd墻l室內T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失.假設熱量傳播只有傳導，沒有對流.T1,T2不變，熱傳導過程處于穩態.材料均勻，熱傳導系數為常數.建模熱傳導定律Q1Q2Q~單位時間單位面積傳導的熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導系數2.1雙層玻璃窗的功效雙層單層dd墻l室內T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導的熱量Q1Ta~內層玻璃的外側溫度Tb~外層玻璃的內側溫度k1~玻璃的熱傳導系數k2~空氣的熱傳導系數建模記單層玻璃窗傳導的熱量Q22d墻室內T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導的熱量之比k1=4~810-3(J/cm·s·kw·h),k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對Q1比Q2的減少量作最保守的估計，取k1/k2=16建模hQ1/Q242O0.060.030.026模型應用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失.結果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣的熱傳導系數k2極低,而這要求空氣非常干燥、不流通.房間通過天花板、墻壁、…損失的熱量更多.實際上雙層窗的功效不會如此之大!2.2劃艇比賽的成績賽艇2000m成績t(min)種類1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84空艇重w0(kg)

槳手數n

16.313.618.114.7對四種賽艇(單人、雙人、四人、八人)4次國際大賽冠軍的成績進行比較，發現與槳手數有某種關系.試建立數學模型揭示這種關系.問題準備調查賽艇的尺寸和質量l/b,w0/n

基本不變艇長l

艇寬bl/b

(m)(m)7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0問題分析

前進阻力~浸沒部分與水的摩擦力

前進動力~槳手的劃槳功率分析賽艇速度與槳手數量之間的關系賽艇速度由前進動力和前進阻力決定:劃槳功率

賽艇速度前進動力前進阻力槳手數量艇重浸沒面積

對槳手體重、功率、阻力與艇速的關系等作出假定.

運用合適的物理定律建立模型.模型假設1）艇形狀相同(l/b為常數),w0與n成正比2）v是常數，阻力f與sv2成正比符號：艇速v,浸沒面積

s,浸沒體積A,空艇重w0,阻力f,槳手數n,槳手功率

p,槳手體重

w,艇重W.艇的靜態特性艇的動態特性3）w相同，p不變，p與w成正比槳手的特征模型建立f

sv2,p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3,A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比賽成績

t

n

–1/9npfv,模型檢驗n

t17.2126.8846.3285.84線性最小二乘法利用4次國際大賽冠軍的平均成績對模型

t

n

–1/9進行檢驗.與模型吻合！tn12487.216.886.325.84????O劃艇比賽的成績

對實際數據做比較、分析，發現并提出問題.

利用物理基本知識分析問題.

模型假設比較粗糙.

利用合適的物理定律及簡單的比例方法建模(只考慮各種艇的相對速度).

模型結果與實際數據十分吻合(巧合！)問題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分.研究實物交換方案.yxp.用x,y分別表示甲,乙占有X,Y的數量.設交換前甲占有X的數量為x0,乙占有Y的數量為y0,作圖：若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內任一點p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y).xyy0Ox0??2.3實物交換xyy0y1y2Ox1x2x0p1p2..甲的無差別曲線分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度,即p1,p2對甲是無差別的.MN將所有與p1,p2無差別的點連接起來,得到一條無差別曲線MN.線上各點的滿意度相同,線的形狀反映對X,Y的偏愛程度.N1M1p3(x3,y3).比MN各點滿意度更高的點如p3，在另一條無差別曲線M1N1上,于是形成一族無差別曲線（無數條）.p1.p2.c1yOxf(x,y)=c1無差別曲線族的性質：

單調減(x增加,y減小)

下凸(凸向原點)

互不相交在p1點占有x少、y多，寧愿以較多的y換取較少的x;在p2點占有y少、x多，就要以較多的

x換取較少的y.甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1~滿意度（f~等滿意度曲線）甲的無差別曲線xyOg(x,y)=c2c2乙的無差別曲線族g(x,y)=c2具有相同性質（形狀可以不同）.

雙方的交換路徑xyy0Ox0f=c1O'x'y'g=c2乙的無差別曲線族g=c2

(坐標系x'O'y',且反向）甲的無差別曲線族f=c1ABp

P'

雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上!因為在AB外的任一點p',(雙方)滿意度低于AB上的點p.兩族曲線切點連線記作AB分析與建模AB

交換方案的進一步確定交換方案~交換后甲的占有量(x,y)0xx0,0yy0矩形內任一點交換路徑AB雙方的無差別曲線族X,Y用貨幣衡量其價值，設交換前x0,y0價值相同，則等價交換原則下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點的連線CD.AB與CD的交點p設X單價a,Y單價b,則等價交換下ax+by=s(s=ax0=by0)等價交換原則x0yy0O..xp.2.4汽車剎車距離與道路通行能力提高道路通行能力是現代城市交通面臨的重要課題.背景和問題車輛速度越高、密度越大，道路通行能力越大.

介紹交通流的主要參數及基本規律；

討論汽車剎車距離與道路通行能力兩個模型.

車速高，剎車距離變大，車輛密度將受到制約.需要對影響通行能力的因素進行綜合分析.交通流的主要參數及基本規律流量q~某時刻單位時間內通過道路某斷面的車輛數(輛/h)密度k~某時刻通過道路某斷面單位長度內的車輛數(輛/km)

速度v~某時刻通過道路某斷面的車輛速度(km/h)

交通流~標準長度的小型汽車在單方向道路上行駛形成的車流，沒有外界因素如岔路、信號燈等的影響.借用物理學概念,將交通流看作一輛輛汽車組成的連續流體,用流量、速度、密度3個參數描述其基本特性.3個參數之間的基本關系速度v與密度k的關系vf~暢行車速(k=0時)kj~阻塞密度(v=0時)數據分析、機理分析流量q與密度k的關系車速v=vf/2時流量q最大密度k變大，流量q增加；k=kj/2時q最大；k繼續變大，q減小.

車流密度加大司機被迫減速交通流的主要參數及基本規律線性模型拋物線流量q與速度v的關系速度v流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密度k流量qkm=kj/2~最大流量時的密度vm=vf/2~最大流量時的速度交通流的主要參數及基本規律車速越快剎車距離越長.剎車距離~從司機決定剎車到車完全停止行駛的距離.汽車剎車距離模型二者是線性關系嗎？車速v(km/h)20406080100120140剎車距離d(m)6.517.833.657.183.4118.0153.5d與v不是線性關系！vd需對剎車過程作機理分析，建立d與v的數學模型.測試數據問題分析最大制動力與車質量成正比,使汽車作勻減速運動常數剎車距離~反應距離、制動距離常數反應距離~司機決定剎車到制動器開始起作用.制動距離反應距離反應時間車速司機狀況制動系統靈活性制動器作用力車重、車速道路、氣候…制動距離~制動器開始起作用到汽車完全停止.模型假設1.剎車距離d為反應距離d1與制動距離d2之和.2.反應距離d1與車速v成正比,比例系數為反應時間.3.剎車時使用最大制動力F：F作的功等于汽車動能的改變.F與車的質量m成正比.F=

mad1=c1v模型建立Fd2=mv2/2d=d1+d2制動距離為d2時，制動力F作的功為Fd2車速從v變成0，動能的變化為mv2/2d2=c2v2,c2=m/2F

d=c1v+c2v2參數估計調查交通工程學的相關資料：根據測試數據對模型作擬合.司機反應時間c1約為0.7~1s，系數c2約為0.01(mh2/km2)c2=

1/2a

城市通行能力模型道路通行能力~單位時間內通過某斷面的最大車輛數.通行能力表示道路的容量，交通流量表示道路的負荷.飽和度~流量與通行能力的比值,表示道路的負荷程度.通行能力~在安全條件下，當具有標準長度和技術指標的車輛，以前后兩車最小車頭間隔連續行駛時，單位時間內通過道路某斷面的最大車輛數N(輛/h).v~車速

(km/h)，D~最小車頭間隔(m)N=1000v/D城市干道的通行能力最小車頭間隔D主要由剎車距離d決定：d0~車身標準長度與兩車間安全距離之和，取固定值.車速v一定時，道路通行能力N與c1，c2，d0（道路、車輛、司機等狀況）有關.城市通行能力模型D=d+d0d=c1v+c2v2

N=1000v/D

當d0，c1，c2變大時最大通行能力Nm減小.城市通行能力模型

最大通行能力一些人喜歡記駛過身旁的汽車號碼.兩難境地的決策與朋友打賭的“骰子”共識：出現任何號碼汽車的機會相同.隨意記下駛過的10輛出租車牌號：0421,0128,0702,0410,0598,0674,0712,0529,0867,0312估計這座城市出租車的總數.出租車牌號從某一個數字0101按順序發放.2.5估計出租車的總數估計出租車的總數問題分析10個號碼從小到大重新排列.[x0,x]區間內全部整數值~總體x1,x2,…

,x10~總體的一個樣本根據樣本和x0對總體的x作出估計.起始號碼(已知)終止號碼(未知)出租車總數為

x-x0+1起始號碼x0平移為0001模型建立總體~全部號碼{0001,0002,…

,x}樣本~總體中的n個號碼從小到大排列

x1,x2,…

,xn建立由x1,x2,…

,xn估計x的模型基本假定：每個xi取自總體中任一號碼的概率相等.x~出租車總數估計出租車的總數模型1平均值模型

模型建立

總數是樣本均值的2倍模型2中位數模型x1-1x-xn假定：樣本的最小值與最大值在總體中對稱.

模型3兩端間隔對稱模型x1-1=x-xn

模型4平均間隔模型把起始號碼和樣本排成數列：1,x1,x2,…

,xn,相鄰兩數有n個間隔：x11,x2x11,…

,xnxn-11

n個間隔的平均值

作為xn與x間隔的估計模型5區間均分模型將總體區間[1,x]平均分成

n份.每個小區間長度

假定：樣本中每個xi都位于小區間的中點.xxn應是小區間長度的一半

計算與分析第1樣本：0321,0028,0602,0310,0498,0574,0612,0429,0767,0212第2樣本：0249,0739,0344,0148,0524,0284,0351,0089,0206,0327設定x0=0001

模型1模型2模型3模型4模型5最大相差第1樣本870926794843807134第2樣本651610827812778217相差221316333129用5個模型估計出租車總數x不合理(x=651,610<739)6516100739不穩定（相差大）計算與分析用全部樣本，有統計依據

數值模擬樣本估計結果與總體對比,評價各個模型.用5個模型分別對每個樣本估計總體x.畫m個樣本估計的x的直方圖，分析x的分布.給定總體{1,2,…

,x}，x=1000從總體中取n=10個數為一個樣本，共m=200個樣本對每個模型計算m個樣本估計的x的平均值、標準差及平均值與真值x=1000間的誤差

模型1模型2模型3模型4模型5平均值1023.21037.41010.01005.6962.3平均值誤差23.237.410.05.6-37.7標準差170.1261.0126.390.987.0

模型1模型2模型3模型4模型5平均值986.5985.4980.8992.9950.1平均值誤差-13.5-14.6-19.2-7.1-49.9標準差181.4271.1107.986.682.8數值模擬第1次

模擬第2次

模擬總體x=1000,每個樣本n=10,m=200個樣本平均值誤差小標準差大標準差小平均值誤差大模型4(平均間隔模型)較優.5.690.9-7.186.6模型1模型2模型3模型4模型5數值模擬第1次模擬的直方圖左低右高的非對稱型左右對稱型模型中起始號碼已知(平移至1),限制了應用范圍.小結與評注5個模型中平均值和中位數模型用到一點統計，其他3個模型來自常識,后者竟然較前者更優.數值模擬是模型檢驗的重要方法:給定總體通過模擬產生樣本,根據模型得到總體參數,進行比較和評價.問題：哪些模型可以推廣到起始號碼未知的情況？與“估計出租車的總數”相關的歷史事實二戰中一支盟軍的指揮部急需掌握德軍坦克的數量.盟軍俘獲了若干輛德軍坦克，得到它們的序列號碼.情報人員獲知這支部隊的坦克號碼按順序編排.以俘獲的坦克號碼為樣本，估計出坦克總量.英美情報機構通過捕獲德軍武器的序列編號，對軍用輪胎、槍支、裝甲車等眾多裝備的產量做出估計.戰后將估計值與從檔案中得到的實際產量進行比較，多數估計的誤差在10%以內！舉重依靠運動員全身力量完成的體育項目按照運動員體重劃分級別進行比賽.賽艇拳擊摔跤每個級別都有一個冠軍.能評選出一個“總冠軍”嗎？……2.6評選舉重總冠軍56kg,62kg,69kg,77k,85kg,94kg,105kg,105kg以上.

男子舉重比賽按運動員體重(上限)分為8個級別：問題每個級別設3個項目：抓舉、挺舉、總成績.每個級別、每個項目都產生一個冠軍.同一項目(如抓舉)的8個冠軍中怎樣選出“總冠軍”？不同級別冠軍成績按體重“折合”到某個標準級別，比較折合成績，選出最高的作為總冠軍.評選舉重總冠軍問題分析比賽產生各級別冠軍成績的實際值建立體重與舉重成績的數學模型計算各級別冠軍舉重成績的理論值計算實際值與理論值的比值構造一個簡單、合適的指標作為折合成績各級別冠軍折合成績最高的為總冠軍評選舉重總冠軍數據收集利用舉重比賽的世界紀錄建立數學模型.級別項目紀錄保持者日期62kg級抓舉153kg石智勇（中國）2002.6.28挺舉182kg樂茂盛（中國）2002.10.2總成績327kg金恩國（朝鮮）2012.7.3169kg級抓舉165kg馬爾科夫（保加利亞）2000.9.20挺舉198kg廖輝（中國）2013.10.23總成績358kg廖輝（中國）2013.10.23多年積累下來的世界記錄與某一次比賽成績相比，更能避免偶然性.不同級別成績的差別基本上由運動員體重決定.不掌握創造記錄的運動員的實際體重.因為體重越大、舉得越重，比賽時運動員體重都會調整到非常接近各級別的上限.105kg以上級未設上限，只在其余7個級別中選總冠軍.

數據收集利用舉重比賽的世界紀錄建立數學模型.世界記錄與體重數據的散點圖數據分析大致呈線性關系大級別成績的增加變慢線性關系有所改進冪函數(冪次小于1)可能更合適世界記錄體重普通坐標世界記錄體重對數坐標建立舉重總成績y與運動員體重w的數學模型模型建立模型1線性模型

最小二乘法編程計算k=2.7039-60k430/160=2.69估算

線性模型

yw430160模型2冪函數模型運動生理學確定冪函數的冪次舉重總成績y與運動員體重w的模型s~肌肉截面積l~身體尺寸最小二乘法編程計算

k=20.4711

冪函數模型

yw2/3模型3冪函數改進模型舉重總成績y與運動員體重w的模型最小二乘法

舉重過程中力量的損失及身體尺寸的變化.50名頂尖運動員成績的統計分析冪函數改進模型

非肌肉部分舉重總成績y與運動員體重w的模型線性模型冪函數模型冪函數改進模型級別總成績紀錄線性模型冪函數模型冪函數改進模型56kg級305kg313.6486(-2.76%)299.6405(1.79%)298.2689(2.26%)62kg級327kg329.8718(-0.87%)320.6784(1.97%)324.3317(0.82%)69kg級358kg348.7988(2.64%)344.3827(3.95%)350.2363(2.22%)77kg級379kg370.4298(2.58%)370.5121(2.56%)375.7952(1.12%)兩個冪函數模型比線性模型改進不大.1.71%2.32%1.47%總平均誤差評選總冠軍wi(i=1,2,…,7)~從輕到重7個級別的體重(上限)

線性模型

冪函數模型

冪函數改進模型

各級別冠軍的理論成績yi

~一次比賽中各級別冠軍的實際成績

級別i冠軍在評選總冠軍中實力

以線性模型為例

評選總冠軍任取級別i=4(w4=77kg級)為標準使

z4=y4

與實力成正比的指標按7個級別冠軍的折合成績排名，第一者為總冠軍.~將體重折合成77kg級后級別i冠軍的實際成績.

折合成績

模型中系數k隨世界紀錄的刷新而改變.評選總冠軍折合成績

線性模型

冪函數模型

冪函數改進模型評選2008年北京奧運會男子舉重比賽總冠軍

級別

冠軍獲得者總成績折合成績及名次線性模型冪函數模型冪函數改進模型56kg級龍清泉（中）292kg344.8621（7）361.0644（5）367.8969（4）62kg級張湘祥（中）319kg358.2213（6）368.5729（3）369.6175（3）69kg級廖輝（中）348kg369.5814（2）374.4039（1）373.3957（1）77kg級史才秀（韓）366kg366.0000（3）366.0000（4）366.0000（6）85kg級陸永（中）394kg372.2621（1）368.8735（2）371.7543（2）94kg級伊利亞（哈）406kg361.1818（5）355.4413（6）362.5143（7）105kg級阿拉姆諾夫（白）436kg362.0121（4）354.5581（7）367.7366（5）69kg級廖輝（中）348kg369.5814（2）374.4039（1）373.3957（1）3個模型中都只有一個以因子形式出現的系數k,可以在構造折合成績時消去,便于評選總冠軍.小結與評注舉重成績與體重關系的數學模型是評選總冠軍方法的基礎.通過世界紀錄數據觀察和機理分析分別建立線性模型、冪函數模型和冪函數改進模型.CPI

(Consumer

Price

Index)~居民消費價格指數每月9日左右國家統計局發布上月全國CPI數據.反映購買消費品和服務項目時價格變動趨勢的數字.觀察通貨膨脹水平的重要指標.從數學建模的思路，按照數據分析方法解讀CPI.2.7解讀CPI按照時間順序解讀CPI環比價格指數以上月為基期進行對比消除季節變化和節日對價格的影響同比價格指數反映當前價格的波動以上年同月為基期進行對比通常公布價格指數增長率(%),方便了解價格上漲幅度2011.3環比增長率-0.2%2011.2環比增長率1.2%基期指數1002011.3同比增長率5.4%環比指數101.2(2011.1為100)同比指數105.4(2010.3為100)環比指數99.8(2011.2為100)月份

k123456789101112環比(%)1.01.20.20.10.10.30.50.30.50.10.20.3全國2011年CPI各月份環比增長率環比價格指數pk~某年k月環比增長率(%)Pk~以上年12月為基期,本年k月的價格指數

pk為正Pk上升,pk為負Pk下降Pk漲幅回落Pk上升變緩2011CPI環比月份k12345678910111220114.94.95.45.35.56.46.56.26.15.54.24.1

20124.53.23.63.43.02.21.82.01.91.72.02.5qk~某年k月同比增長率(%)同比價格指數全國2011,2012年CPI各月份同比增長率2012年比2011年每月價格上漲的幅度明顯減少.qk(j)~j年k月同比指數環比價格指數與同比價格指數的關系pk(j)~j年k月環比指數xk(j)~j年k月價格指數（以j-2年12月為基期）

從1月到k月以上年同一時期為基期進行對比.累計價格指數月份k123456789101112同比(%)4.53.23.63.43.02.21.82.01.91.72.02.5累計(%)4.53.93.83.73.53.33.12.92.82.72.72.6全國2012年CPI各月份同比增長率和累計增長率第k月的累計是1月至k月同比的平均值

（k=1,2，…，12）幾個月的價格指數以其各個月價格指數的平均值度量.年價格指數每年1至12月同比的平均值年20032004200520062007200820092010201120122013

(%)

3.91.81.54.85.9-0.73.35.42.62.6CPI100103.9105.8107.4112.5119.1118.3122.2128.8132.2135.6全國2004年至2013年CPI的增長從2003年到2013年全國CPI增長35%每年與上年比較的增長率按照分類結構解讀CPI與許多人對物價的親身感受有較大差距.近10年CPI平均年增長率不過3.5%.原因之一：CPI由國家統計局對全國居民家庭衣食住行各類消費品和服務價格綜合加工得到.消費品和服務項目分8大類,約700個代表品種.權重根據居民家庭用于各種消費品和服務項目的開支占總消費支出的比重確定.CPI由價格及其權重二者共同決定.大類中類權重(%)1食品糧食、油脂、肉禽及其制品、水產品、蛋、鮮菜、鮮果、液體乳及乳制品31.792煙酒及用品煙草、酒3.493衣著服裝、鞋8.524家庭設備及維修服務耐用消費品、家庭服務及加工維修服務5.645醫療保健個人用品中藥材及中成藥、西藥、醫療保健服務9.646交通和通訊交通工具、車用燃料及零配件、通訊工具、通訊服務9.957娛樂教育文化用品及服務教育服務、文娛用耐用消費品及服務、文化娛樂類、旅游13.758居住建房及裝修材料、住房租金、水、電、燃料17.22我國消費品和服務項目的類別及權重(2011年)按照分類結構解讀CPI

居住次之上世紀80年代食品權重約60%,每次調整都下降.隨著人們生活水平的提高及消費結構的變化，權重每5年、10年會有較大的調整.居住中并不包含近年飛漲的購房支出，官方的解釋是購房屬于投資而非消費.按照分類結構解讀CPI大類食品煙酒衣著家庭醫療交通教育居住權重(%)31.793.498.525.649.649.9513.7517.22食品權重最大教育、娛樂第三vi~第i大類價格指數v~CPI總水平wi~第i大類權重

△v~v的增長率△vi

~vi的增長率

wi，vi，△vi

按照分類結構解讀CPI每個月CPI總水平的環比、同比指數v及增長率△v權重對CPI總水平的大小有很大影響，引起對權重數值合理性的研究和討論.權重隨時調整的具體情況不能為民眾及時掌握.利用每個月公布的CPI數據校核權重是否變化、估算調整后的權重,成為關注者、研究者的課題.按照分類結構解讀CPI對權重的關注和討論：幾種校核與估算權重的方法1.利用公布的△vi,wi計算△v,檢查與公布的△v是否相符月份食品△v1煙酒△v2衣著△v3家庭△v4醫療△v5交通△v6教育△v7居住△v8總水平△v總水平計算值12.91.42.51.51.8-0.30.52.92.01.980226.01.12.11.61.80.22.02.83.23.165532.71.02.31.61.7-0.31.72.92.12.046644.00.82.51.61.5-1.11.52.92.42.343553.20.52.51.61.5-1.21.33.02.12.058564.90.32.31.51.4-0.71.43.12.72.640475.00.22.21.41.2-0.11.32.82.72.629584.702.21.41.201.22.62.62.488996.1-0.22.31.41.1-0.21.92.63.13.0022106.5-0.22.41.51.0-0.62.52.63.23.1766115.9-0.22.01.31.0-0.52.82.63.02.9917124.1-0.42.11.40.9-0.12.92.82.52.50502013年CPI同比分類和總水平增長率如果計算值與公布的△v相符，不能說明所有的wi沒有改變.如果稍有不符，無法確認是否數字舍入誤差所致.幾種校核與估算權重的方法公布的指數只有2位有效數字，對計算結果影響很大.1.利用公布的△vi,wi計算△v,檢查與公布的△v是否相符

2.利用公布的△vi及其對△v的影響計算權重，檢查與原有的wi是否相符幾種校核與估算權重的方法

2013年1月食品同比上漲2.9%，影響總水平約0.95%月

123456789101112△v12.96.02.74.03.24.95.04.76.16.55.94.1△v0.951.980.881.331.051.591.611.541.982.111.921.33w10.3280.3300.3260.3360.3280.3250.3220.3280.3250.3250.3250.324

由2013.1~12公布的△v1和△v計算w1原有w1=0.3179

2.利用公布的△vi及其對△v的影響計算權重，檢查與原來的wi是否相符幾種校核與估算權重的方法如果數據完整，可以對各個權重wi分別計算、校核.由于公布數據的有效數字所限，舍入誤差對結果有不小影響.3.利用公布的n個月的△vi和△v作擬合，估計權重.△vik,△vk(i=1,…,8,k=1,…,n)

用MATLAB命令w=A\b可得Aw=b的最小二乘解.含8個未知數w1,

…,w8的n+1個方程.幾種校核與估算權重的方法

3.利用公布的n個月的△vi和△v作擬合，估計權重.幾種校核與估算權重的方法原始數據精度太低(1或2位有效數字)權重n=72（2011-2013）加非負約束原始w10.31420.31430.3179w2-0.003500.0349w30.09560.09530.0852w40.08340.08170.0564w50.13780.13370.0964w60.06930.06980.0995w70.14750.14870.1375w80.14260.14390.17222011~2013逐月環比和同比數據計算結果有較大差距，甚至出現負值對權重加非負約束后結果仍相差較大按照地區差別解讀CPI不同地區的經濟發展和居民生活水平的差異較大，全國CPI環比、同比總水平與各地區情況不同.國家統計局還分“城市”和“農村”公布CPI數據.31個省、市、自治區統計局逐月公布當地CPI數據.可以用類似方法解讀當地的CPI數據.從數據分析和數學建模角度看,資料較少且不夠完整,只能根據查到的有限數據進行解讀.小結與評注CPI是當今社會的熱門詞匯,各種媒體特別是互聯網上有大量經濟政策方面的報道和評論.權重的幾種校核與估算方法是編者的初步嘗試，尚待進一步研究.2.8核軍備競賽

冷戰時期美蘇聲稱為了保衛自己的安全,實行“核威懾戰略”,核軍備競賽不斷升級.

隨著前蘇聯的解體和冷戰的結束,雙方通過了一系列核裁軍協議.

在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張,而存在暫時的平衡狀態.

當一方采取加強防御、提高武器精度、發展多彈頭導彈等措施時,平衡狀態會發生什么變化.

估計平衡狀態下雙方擁有的最少的核武器數量,這個數量受哪些因素影響.背景與問題以雙方(戰略)核導彈數量描述核軍備的大小.假定雙方采取如下同樣的核威懾戰略：

認為對方可能發起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導彈攻擊己方的核導彈基地；

己方在經受第一次核打擊后，應保存足夠的核導彈，給對方重要目標以毀滅性的打擊.在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導彈只能攻擊對方的一個核導彈基地.摧毀這個基地的可能性是常數，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定.模型假設圖的模型y=f(x)~甲有x枚導彈,乙所需的最少導彈數(乙安全線)x=g(y)~乙有y枚導彈,甲所需的最少導彈數(甲安全線)當x=0時y=y0，y0~乙方的威懾值xyy0Oy0~甲方實行第一次打擊后已經沒有導彈，乙方為毀滅甲方工業、交通中心等目標所需導彈數.x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xyOy0y=f(x)y=f(x)乙安全區甲安全區雙方安全區P~平衡點(雙方最少導彈數)乙安全線分析模型乙方殘存率

s~甲方一枚導彈攻擊乙方一個基地，基地未被摧毀的概率.sx個基地未被摧毀，y–x個基地未被攻擊.x<y甲方以x枚導彈攻擊乙方y個基地中的x個,y0=sx+y–xx=yy0=sy乙的x–y個基地被攻擊2次,s2(x–y)個未被摧毀;y–(x–y)=2y–x個被攻擊1次,s(2y–x)個未被摧毀.y0=s2(x–y)+s(2y–x)x=2yy0=s2yy<x<2yy=y0+(1–s)xy=y0/sy=y0/s2x=ay,分析模型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0~威懾值s~殘存率y=f(x)利用微積分知識可知y是一條上凸的曲線，且y0變大，曲線上移、變陡.s變大，y減小，曲線變平.xyOy0x<y,y=y0+(1–s)xx=yx=2yy<x<2y,

甲方增加經費保護及疏散工業、交通中心等目標.乙方威懾值y0變大xyOy0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級.（其他因素不變）乙安全線y=f(x)上移模型解釋平衡點PP′

甲方將固定核導彈基地改進為可移動發射架.乙安全線y=f(x)不變甲方殘存率變大威懾值x0不變x減小，甲安全線x=g(y)向y軸靠近xyOy0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解釋甲方這種單獨行為，會使雙方的核導彈減少.PP′

雙方發展多彈頭導彈，每個彈頭可以獨立地摧毀目標.(x

,y仍為雙方核導彈的數量)雙方威懾值x0,y0和殘存率s均減小.y0減小

y下移且變平xyOy0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)s變小y增加且變陡雙方導彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細的分析.模型解釋乙安全線y=f(x)核軍備競賽

對“核威懾戰略”做一些合理、簡化假設，用圖的模型描述雙方核武器相互制約、達到平衡的過程.

提出安全曲線概念，給出它的一般形式.

通過更精細的分析找到影響安全線的參數：威懾值和殘存率，給出安全線的分析表達式.

利用模型對核軍備競賽中的一些現象作出合理解釋.帆船在海面上乘風遠航，確定最佳的航行方向及帆的朝向.簡化問題AB

風向北航向帆船海面上東風勁吹，設帆船要從A點駛向正東方的B點，確定起航時的航向，帆以及帆的朝向.2.9揚帆遠航模型分析

風(通過帆)對船的推力w

風對船體部分的阻力p推力w的分解

wp阻力p的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型假設

w與帆迎風面積s1成正比，p與船迎風面積s2成正比，比例系數相同且

s1遠大于

s2.f1~航行方向的推力p1~航行方向的阻力w1=wsin(–)f1=w1sin=wsinsin(–)p1=pcos模型假設

wpw1w2f1f2p2p1

w2與帆面平行，可忽略.

f2,p2垂直于船身，可由舵抵消.模型建立w=ks1,p=ks2船在正東方向速度分量v1=vcos

航向速度v與力f=f1–p1成正比.v=k1(f1–p1)v1v2)令=/2,

v1=k1[w(1–cos)/2–pcos]cos求使v1最大（w=ks1,p=ks2）1)當固定時求使f1最大f1=w[cos(–2)–cos]/2=/2時f1=w(1–cos)/2最大=k1(f1–p1)cosf1=w1sin=wsinsin(–)p1=pcos求,,使v1最大模型建立v1=vcos

wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解60o<<75o1<t<2v1最大備注

只討論起航時的航向，是靜態模型.

航行過程中終點B將不在正東方，應調整和.

記t=1+2s2/s1,k2=k1w/2=(

k1w/2)[1–(1+2p/w)cos]cos

w=ks1,p=ks21/4<cos<1/2模型求解v1=k1[w(1–cos)/2–pcos]coss1>>

s22.10