§1從平面對量到空間向量eq\a\vs4\al([對應同學用書P15])空間向量小剛從學校大門口動身，向東行走100m，再向北行走600m，最終乘電梯上行20m到達住處．問題1：位移是既有大小又有方向的量，可用向量表示．那么，小剛從學校大門口到住處的總位移所對應的向量是三個位移所對應的向量的合成嗎？提示：是．問題2：問題1中的位移是不在同一個平面內的位移，已不能用平面對量來刻畫，應如何刻畫這種位移？提示：用空間向量．問題3：假設設大門口向東行走100m為a，再向北行走600m為b，最終乘電梯上行20m為c，那么a，b，c夾角分別是多少？提示：eq\f(π,2).空間向量(1)空間向量及其模的表示方法：有向線段字母圖示表示a或模||||或|a|(2)向量的夾角：①定義：過空間任意一點O作向量a，b的相等向量和，那么∠AOB叫作向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．②范圍：[0，π]．③當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，向量a與b垂直，記作a⊥b.④當〈a，b〉＝0或π時，向量a與b平行，記作a∥b.(3)特別向量：名稱定義及表示零向量規定長度為0的向量叫零向量，記為0單位向量模為1的向量叫單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，記為－a相等向量方向相同且模相等的向量稱相等向量，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量向量、直線、平面如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′.問題1：在正方體的頂點為起點和終點的向量中，直線AB的方向向量有哪些？提示：，，，，，，，.問題2：在正方體的頂點為起點和終點的向量中，與平面ABCD垂直的向量有幾個？提示：8個．向量、直線、平面(1)方向向量：l是空間始終線，A，B是直線l上任意兩點，那么稱為直線l的方向向量．與平行的任意非零向量a也是直線l的方向向量．(2)法向量：假如直線l垂直于平面α，那么把直線l的方向向量a叫作平面α的法向量．全部與直線l平行的非零向量都是平面α的法向量．1．空間向量是對平面對量的拓展和提高，平面對量討論的是向量在同一平面內的平移，空間向量討論的是向量在空間的平移，空間的平移包含平面內的平移．2．直線的方向向量與平面的法向量是不唯一的，直線的方向向量都平行于該直線，平面的法向量都垂直于該平面．eq\a\vs4\al([對應同學用書P16])空間向量及有關概念[例1]給出以下命題：①假設a，b是空間向量，那么|a|＝|b|是a＝b的必要不充分條件；②假設向量a是向量b的相反向量，那么|a|＝|b|；③兩個空間向量相等，那么它們的起點相同，終點也相同；④假設空間向量m，n，p滿意m＝n，n＝p，那么m＝p；⑤在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；⑥空間中任意兩個單位向量必相等．其中，正確的命題序號是________．[思路點撥]用空間向量的有關概念進行推斷．[精解詳析]以上命題①②④⑤正確．兩向量假設相等，必需方向相同且模相等．但相等的向量起點不肯定相同，故③錯；兩個單位向量雖模相等，但方向不肯定相同，故⑥錯．[答案]①②④⑤[一點通]與平面對量一樣，空間向量也有向量的模、向量的夾角、單位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念．兩個向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，與起點和終點位置無關．1．把空間全部單位向量歸結到一個共同的始點，那么這些向量的終點所構成的圖形是()A．一個圓 B．兩個孤立的點C．一個球面 D．以上均不正確解析：單位向量的模為1，把全部空間單位向量移到共同起點后，向量的終點到起點的距離均為1，構成了一個球面．答案：C2．以下命題中正確的個數是()①假如a，b是兩個單位向量，那么|a|＝|b|；②兩個空間向量共線，那么這兩個向量方向相同；③假設a，b，c為非零向量，且a∥b，b∥c，那么a∥c；④空間任意兩個非零向量都可以平移到同一平面內．A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：對于①：由單位向量的定義即得|a|＝|b|＝1，故①正確；對于②：共線不肯定同向，故②錯；對于③：正確；對于④：正確，在空間任取一點，過此點引兩個與非零向量相等的向量，而這兩個向量所在的直線相交于此點，兩條相交直線確定一個平面，所以兩個非零向量可以平移到同一平面內．答案：C3．如下圖的長方體中，AD＝2，AA1＝1，AB＝3.(1)試寫出與相等的全部向量；(2)寫出向量的相反向量；(3)寫出與向量的模相等的向量；(4)寫出與向量平行的向量．解：(1)與相等的向量有：，，.(2)向量的相反向量有：，，，.(3)與向量的模相等的向量有：，，，，，，.(4)與向量平行的向量有：，，，，，，.求空間向量的夾角[例2]如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求(1)〈，〉，〈，〉，〈，〉．(2)〈，〉，〈，〉．[思路點撥]按空間向量夾角的定義求解，空間向量a，b夾角范圍是[0，π]．[精解詳析](1)∵正方體ABCD－A′B′C′D′，∴AB∥A′B′，AD⊥D′C′，AB∥C′D′.∴〈，〉＝0，〈，〉＝eq\f(π,2)，〈，〉＝π.(2)∵正方體ABCD－A′B′C′D′，∴AD∥BC.∴〈，〉＝〈，〉＝eq\f(π,4).連接AC，那么△ACD′為等邊三角形．∴〈，〉＝eq\f(2π,3).[一點通]與求平面內兩向量夾角類似，求空間兩向量夾角時，實行平移的方法，把空間兩向量的夾角轉化為平面內某兩條相交直線的角，進而用解三角形的學問求解．必需留意兩向量夾角應保證兩向量移至共同起點處，比方假設〈，〉＝eq\f(π,4)，而〈，〉＝eq\f(3π,4).4．正四周體S－ABC中，E，F分別為SB，AB中點，那么〈，〉＝________.解析：如下圖，∵E，F為中點，∴EF∥SA，而△SAC為正三角形，∴∠SAC＝eq\f(π,3)，∴〈，〉＝eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)5．在長方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝eq\r(3)，AA′＝1，AD＝eq\r(6)，求〈，〉．解：如圖，連接A′C′，BC′.∵＝，∴∠BA′C′的大小就等于〈，〉．由長方體的性質和三角形勾股定理知，在△A′BC′中A′B＝eq\r(AA′2＋AB2)＝2，A′C′＝eq\r(AB2＋AD2)＝3，BC′＝eq\r(AD2＋AA′2)＝eq\r(7).∴cos∠BA′C′＝eq\f(A′C′2＋A′B2－BC′2,2·A′C′·A′B)＝eq\f(1,2).∴∠BA′C′＝eq\f(π,3).即〈，〉＝eq\f(π,3).直線的方向向量與平面的法向量[例3]如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形且PD＝AD＝CD，E，F分別是PC，PB的中點．(1)試以F為起點作直線DE的一個方向向量；(2)試以F為起點作平面PBC的一個法向量．[思路點撥](1)只要作出過F與DE平行的直線即可．(2)作出過F與平面PBC垂直的直線即可．[精解詳析](1)連接EF.∵E，F分別是PC，PB的中點，∴EF綊eq\f(1,2)BC.又BC綊AD，∴EF綊eq\f(1,2)AD.取AD的中點M，連接MF，那么由EF綊DM知四邊形DEFM是平行四邊形，∴MF∥DE.∴就是直線DE的一個方向向量．(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC.又BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD.∵DE平面PCD，∴DE⊥BC.又PD＝CD，E為PC中點，∴DE⊥PC.從而DE⊥平面PBC.∴是平面PBC的一個法向量．由(1)可知＝，∴就是平面PBC的一個法向量．[一點通]直線的方向向量有很多個，它們之間相互平行；平面的法向量也有很多個，它們之間也都相互平行且都垂直于平面．而過空間某點作直線的方向向量或平面的法向量時，可利用線面平行及線面垂直等相關學問，在該點處作出直線的平行線或平面的垂線即可．6．直線的方向向量是()A．唯一的 B．相等的C．平行的 D．相反的解析：與直線平行的任何非零向量都是直線的方向向量．答案：C7．以下說法中不正確的選項是()A．平面α的一個法向量垂直于與平面α共面的全部向量B．一個平面的全部法向量相互平行C．假如兩個平面的法向量垂直，那么這兩個平面也垂直D．假如a，b與平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一個法向量解析：A，B，C正確，而D中，假設a∥b，雖然n⊥a，n⊥b，但n不肯定是平面的法向量．答案：D8．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為CC1中點．(1)試以E點為起點作直線AD1的方向向量；(2)試以B1點為起點作平面ABC1D1的法向量．解：(1)如下圖，取BC中點F，連EF，BC1，那么EF∥BC1.又AD1∥BC1.∴EF∥AD1，∴為直線AD1的方向向量．(2)連B1C，那么B1C⊥BC1.又AB⊥面BCC1B1，∴AB⊥B1C.∴B1C⊥面ABC1D1.∴為平面ABC1D1的法向量．1．空間向量是平面對量概念的拓展，也只有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，它的起點可以是空間內的任意一點，只要保證它的大小和方向不轉變．它是可以自由平移的，與起點無關．數量可以比擬大小，但向量不行以比擬大小，向量的模是個非負實數，可以比擬大小．2．由向量相等的定義可以知道，對于一個向量，只要大小和方向分別相同，那它們就是相等向量，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．3．平行向量的方向不肯定相同，表示共線向量的有向線段也不肯定在同一條直線上．eq\a\vs4\al([對應課時跟蹤訓練五])1．空間向量中，以下說法正確的選項是()A．假如兩個向量的長度相等，那么這兩個向量相等B．假如兩個向量平行，那么這兩個向量的方向相同C．假如兩個向量平行，并且它們的模相等，那么這兩個向量相等D．同向且等長的有向線段表示同一向量解析：只有兩個向量方向相同且長度相等，才能為相等向量．故D正確．答案：D2．以下說法中正確的選項是()A．假設|a|＝|b|，那么a，b的長度相同，方向相同或相反B．假設a是b的相反向量，那么|a|＝|b|C．假如兩個向量平行，那么這兩向量相等D．在四邊形ABCD中，＝解析：模相等的兩向量，方向不肯定相同或相反；相反向量模相等，方向相反；平行向量并不肯定相等；假設＝，那么四邊形ABCD是平行四邊形．答案：B3．在四邊形ABCD中，假設＝，且||＝||，那么四邊形ABCD為()A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不確定解析：假設＝，那么AB＝DC，且AB∥DC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又||＝||，即AC＝BD，∴四邊形ABCD為矩形．答案：B4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ACC1A1的法向量是()A． B．C． D．解析：∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥面ACC1A1，故為平面ACC1A1的法向量．答案：A5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，以A1為起點，以正方體的其余頂點為終點的向量中，與向量垂直的向量有________．解析：A1B1⊥面BCC1B1，∴⊥；A1D⊥AD1，而AD1∥BC1，∴⊥.答案：6．如圖正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是AB，AD，BC，CC1的中點，那么〈，〉＝________.解析：連接DB，BC1，DC1，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，△BDC1為等邊三角形．∵E，F，G，H分別是AB，AD，BC，CC1的中點，∴EF∥BD，GH∥BC1.∴〈，〉＝〈，〉＝60°.答案：60°7.如下圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1頂