第14講二次函數的應用命題點1二次函數的實際應用1．(2020·南充)某工廠計劃在每個生產周期內生產并銷售完某型設備，設備的生產成本為10萬元/件．(1)如圖，設第x(0＜x≤20)個生產周期設備售價z萬元/件，z與x之間的關系用圖中的函數圖象表示．求z關于x的函數解析式(寫出x的范圍)．體驗南充中考真題(2)設第x個生產周期生產并銷售的設備為y件，y與x滿足關系式y＝5x＋40(0＜x≤20)．在(1)的條件下，工廠第幾個生產周期創造的利潤最大？最大為多少萬元？(利潤＝收入－成本)解：(1)由圖可知，當0<x≤12時，z＝16；當12<x≤20時，z是關于x的一次函數，設z＝kx＋b，(2)設第x個生產周期工廠創造的利潤為w萬元，①當0<x≤12時，w＝(16－10)(5x＋40)＝30x＋240，∴由一次函數的性質可知，當x＝12時，w最大值＝30×12＋240＝600；②當12<x≤20時，w＝(－1/4x＋19－10)(5x＋40)＝－5/4x2＋35x＋360＝－5/4(x－14)2＋605.∵－5/4<0，∴當x＝14時，w最大值＝605.綜上所述，工廠第14個生產周期創造的利潤最大，最大為605萬元．2．(2019·南充)在“我為祖國點贊”征文活動中，學校計劃對獲得一、二等獎的學生分別獎勵一支鋼筆，一本筆記本．已知購買2支鋼筆和3個筆記本共38元，購買4支鋼筆和5個筆記本共70元．(1)鋼筆、筆記本的單價分別為多少元？(2)經與商家協商，購買鋼筆超過30支時，每增加一支，單價降低0.1元；超過50支，均按購買50支的單價銷售．筆記本一律按原價銷售．學校計劃獎勵一、二等獎學生共計100人，其中一等獎的人數不少于30人，且不超過60人，這次獎勵一等學生多少人時，購買獎品金額最少，最少為多少元？解：(1)設鋼筆、筆記本的單價分別為x元、y元．根據題意，得答：鋼筆、筆記本的單價分別為10元，6元．(2)設鋼筆單價為a元，購買數量為b支，支付鋼筆和筆記本總金額為w元．①當30≤b≤50時，a＝10－0.1(b－30)＝－0.1b＋13，w＝b(－0.1b＋13)＋6(100－b)＝－0.1b2＋7b＋600＝－0.1(b－35)2＋722.5.∵當b＝30時，w＝720，當b＝50時，w＝700，∴當30≤b≤50時，700≤w≤722.5.②當50＜b≤60時，a＝8，w＝8b＋6(100－b)＝2b＋600.∵700<w≤720，∴當30≤b≤60時，w的最小值為700元，∴當一等獎學生為50人時花費最少，最少為700元．3．(2013·南充)某商場購進一種每件價格為100元的新商品，在商場試銷發現：銷售單價x(元/件)與每天銷售量y(件)之間滿足如圖所示的關系：(1)求出y與x之間的函數關系式；(2)寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數關系式；若你是商場負責人，會將售價定為多少，來保證每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少？解：(1)設y與x之間的函數關系式為y＝kx＋b(k≠0)．由所給函數圖象，得∴函數關系式為y＝－x＋180.(2)W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)＝－x2＋280x－18000＝－(x－140)2＋1600，當x＝140時，W最大＝1600.∴售價定為140元/件時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是1600元．4．(2020·遂寧)新學期開始時，某校九年級一班的同學為了增添教室綠色文化，打造溫馨舒適的學習環境，準備到一家植物種植基地購買A、B兩種花苗．據了解，購買A種花苗3盆，B種花苗5盆，則需210元；購買A種花苗4盆，B種花苗10盆，則需380元．(1)求A、B兩種花苗的單價分別是多少元？(2)經九年級一班班委會商定，決定購買A、B兩種花苗共12盆進行搭配裝扮教室．種植基地銷售人員為了支持本次活動，為該班同學提供以下優惠：購買幾盆B種花苗，B種花苗每盆就降價幾元．請你為九年級一班的同學預算一下，本次購買至少準備多少錢？最多準備多少錢？變式訓練解：(1)設A、B兩種花苗的單價分別是x元和y元．根據題意，得答：A、B兩種花苗的單價分別是20元和30元．(2)設購買B花苗x盆，則購買A花苗為(12－x)盆，設總費用為w元．根據題意，得w＝20(12－x)＋(30－x)x，即w＝－x2＋10x＋240(0≤x≤12)．∵－1＜0，∴w有最大值，當x＝5時，w的最大值為265；當x＝12時，w的最小值為216.答：本次購買至少準備216元，最多準備265元．命題點2

二次函數的綜合應用(必考)5．(2020·南充)已知二次函數圖象過點A(－2，0)，B(4，0)，C(0，4)．(1)求二次函數的解析式；(2)如圖，當點P為AC的中點時，在線段PB上是否存在點M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．(3)點K在拋物線上，點D為AB的中點，直線KD與直線BC的夾角為銳角θ，且tanθ＝5/3，求點K的坐標．解：(1)∵二次函數圖象過點B(4，0)，點A(－2，0)，∴設二次函數的解析式為y＝a(x＋2)(x－4)．∵二次函數圖象過點C(0，4)，∴4＝a(0＋2)(0－4)，∴a＝－1/2，∴二次函數的解析式為y＝－1/2(x＋2)(x－4)，即y＝－1/2x2＋x＋4.

6．(2019·南充)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于點A(－1，0)，點B(－3，0)，且OB＝OC.(1)求拋物線的解析式；(2)點P在拋物線上，且∠POB＝∠ACB，求點P的坐標；(3)拋物線上兩點M，N，點M的橫坐標為m，點N的橫坐標為m＋4.點D是拋物線上M，N之間的動點，過點D作y軸的平行線交MN于點E.①求DE的最大值；②點D關于點E的對稱點為F.當m為何值時，四邊形MDNF為矩形？解：(1)∵拋物線與x軸交于點A(－1，0)，點B(－3，0)，∴設交點式y＝a(x＋1)(x＋3)，∵OC＝OB＝3，點C在y軸負半軸，∴C(0，－3)．把點C代入拋物線解析式，得3a＝－3，∴a＝－1.∴拋物線解析式為y＝－(x＋1)(x＋3)，即y＝－x2－4x－3.(2)如圖1，過點A作AG⊥BC于點G，過點P作PH⊥x軸于點H，

∴∠AGB＝∠AGC＝∠PHO＝90°.∵∠ACB＝∠POB，∴△ACG∽△POH.

①當p＜－3或－1＜p＜0時，點P在點B左側或在AC之間，橫縱坐標均為負數，∴OH＝－p，PH＝－(－p2－4p－3)＝p2＋4p＋3，∴－p＝2(p2＋4p＋3)，②當－3＜p＜－1或p＞0時，點P在AB之間或在點C右側，橫縱坐標異號，∴p＝2(p2＋4p＋3)，解得p1＝－2，p2＝－3/2，∴P(－2，1)或(－3/2，3/4)．綜上所述，點P的坐標為(－2，1)或(－3/2，3/4)或(3)①如圖2，∵x＝m＋4時，y＝－(m＋4)2－4(m＋4)－3＝－m2－12m－35，∴M(m，－m2－4m－3)，N(m＋4，－m2－12m－35)．設直線MN解析式為y＝kx＋n，∴直線MN：y＝(－2m－8)x＋m2＋4m－3.設D(t，－t2－4t－3)(m＜t＜m＋4)，∵DE∥y軸，∴xE＝xD＝t，E[t，(－2m－8)t＋m2＋4m－3]，∴DE＝－t2－4t－3－[(－2m－8)t＋m2＋4m－3]＝－t2＋(2m＋4)t－m2－4m＝－[t－(m＋2)]2＋4，∴當t＝m＋2時，DE最大，最大值為4.②如圖3，∵D、F關于點E對稱，∴DE＝EF.∵四邊形MDNF是矩形，∴MN＝DF，且MN與DF互相平分，∴DE＝1/2MN，E為MN中點，

7．(2018·南充)如圖，拋物線頂點P(1，4)，與y軸交于點C(0，3)，與x軸交于點A，B.

(1)求拋物線的解析式；(2)Q是拋物線上除點P外一點，△BCQ與△BCP的面積相等，求點Q的坐標；(3)若M，N為拋物線上兩個動點，分別過點M，N作直線BC的垂線段，垂足分別為D，E.是否存在點M，N使四邊形MNED為正方形？如果存在，求正方形MNED的邊長；如果不存在，請說明理由．解：(1)設y＝a(x－1)2＋4(a≠0)，把C(0，3)代入拋物線解析式，得a＋4＝3，即a＝－1，則拋物線解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.(2)由B(3，0)，C(0，3)，得到直線BC解析式為y＝－x＋3.∵S△OBC＝S△QBC，∴PQ∥BC，①過P作PQ1∥BC，交拋物線于點Q1，如圖1所示．∵P(1，4)，∴直線PQ1解析式為y＝－x＋5.即Q1(2，3)．②設對稱軸交BC于G，則G的坐標為(1，2)，∴PG＝GH＝2，過H作直線Q2Q3∥BC，交x軸于點H，則直線Q2Q3解析式為y＝－x＋1.(3)存在點M，N使四邊形MNED為正方形，如圖2所示．過M作MF∥y軸，過N作NF∥x軸，過N作NH∥y軸，則有△MNF與△NEH都為等腰直角三角形．設M(x1，y1)，N(x2，y2)，設直線MN解析式為y＝－x＋b，消去y，得x2－3x＋b－3＝0，∴NF2＝|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝21－4b.∵△MNF為等腰直角三角形，∴MN2＝2NF2＝42－8b.∵NH2＝(b－3)2，∴NE2＝1/2(b－3)2.∵△MNF為等腰直角三角形，∴MN2＝2NF2＝42－8b.

8．(2020·內江)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A(－1，0)、B(4，0)、C(0，2)三點，點D(x，y)為拋物線上第一象限內的一個動點．(1)求拋物線所對應的函數表達式；(2)當△BCD的面積為3時，求點D的坐標；(3)過點D作DE⊥BC，垂足為點E，是否存在點D，使得△CDE中的某個角等于∠ABC的2倍？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．延伸訓練解：(1)將A(－1，0)、B(4，0)、C(0，2)代入y＝ax2＋bx＋c，得(2)方法一：如圖1，過D作DM∥BC交y軸于M，設點M的坐標為(0，m)．∵△BCD的面積為3，∴△BCM的面積為3，∴3×2÷4＝1.5，則m＝2＋1.5＝7/2，M(0，7/2)．∵點B(4，0)，C(0，2)，∴直線BC的解析式為y＝－1/2x＋2，∴直線DM的解析式為y＝－1/2x＋7/2，聯立直線DM及拋物線解析式成方程組，得∴點D的坐標為(3，2)或(1，3)．方法二：如圖2，過D作DG⊥x軸，垂足為G點，與BC交于K點，設D(a，b)(其中a＞0，b＞0)，∴K(a，2－a/2)，∴DK＝b－2＋a/2，∴S△BCD＝S△CDK＋S△BDK＝1/2×4×(b－2＋a/2)＝2b－4＋a＝3，∴2b＋a＝7.∵D在拋物線y＝－1/2x2＋3/2x＋2上，∴b＝－1/2a2＋3/2a＋2，∴a2－4a＋3＝0，∴(a－1)(a－3)＝0，∴a＝1或3.∵當a＝1時，b＝3，當a＝3時，b＝2，∴點D的坐標為(3，2)或(1，3)．(3)存在．分兩種情況考慮：①當∠DCE＝2∠ABC時，取點F(0，－2)，連接BF，如圖3所示．∵OC＝OF，OB⊥CF，∴∠ABC＝∠ABF，∴∠CBF＝2∠ABC.∵∠DCB＝2∠ABC，∴∠DCB＝∠CBF，∴CD∥BF.∵點B(4，0)，F(0，－2)，∴直線BF的解析式為y＝1/2x－2，∴直線CD的解析式為y＝1/2x＋2.聯立直線CD及拋物線的解析式成方程組，得∴點D的坐標為(2，3)．②當∠CDE＝2∠ABC，過點D作MD∥x軸交y軸于點N，交BC的延長線于點M，

解得n1＝0(舍去)，n2＝29/11.∴點D的橫坐標為29/11.綜上所述：存在點D，使得△CDE的某個角恰好等于∠ABC的2倍，點D的橫坐標為2或29/11.焦點1二次函數的實際應用樣題1

某商店購進一批成本為每件30元的商品，商店按單價不低于成本價，且不高于50元銷售．經調查發現，該商品每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示．重點難點素養拓展(1)求該商品每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的函數關系式；(2)銷售單價定為多少元時，才能使銷售該商品每天獲得的利潤w(元)最大？最大利潤是多少？(3)若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤高于800元，請直接寫出每天的銷售量y(件)的取值范圍．[分析]

(1)將點(30，100)、(45，70)代入一次函數表達式y＝kx＋b，即可求解；(2)由題意，得w＝(x－30)(－2x＋160)＝－2(x－55)2＋1250，即可求解；(3)由題意，令(x－30)(－2x＋160)＝800，結合二次函數的圖象和性質及x的取值范圍，求出方程的解，即可得到結論．[解答]解：(1)設y與x之間的函數關系式為y＝kx＋b，將點(30，100)、(45，70)代入一次函數表達式，得∴該商品每天的銷售量y與銷售單價x之間的函數關系式為y＝－2x＋160(30≤x≤50)．(2)由題意，得w＝(x－30)(－2x＋160)＝－2(x－55)2＋1250.∵－2＜0，故當x＜55時，w隨x的增大而增大，而30≤x≤50，∴當x＝50時，w有最大值，此時w＝1200.答：銷售單價定為50元時，該超市每天的利潤最大，最大利潤是1200元．(3)由題意，令(x－30)(－2x＋160)＝800，解得x1＝40，x2＝70.又30≤x≤50，∴根據二次函數的圖象和性質，可得銷售單價x的取值范圍為40<x≤50，當x＝40時，y＝－2×40＋160＝80，當x＝50時，y＝－2×50＋160＝60，∴60≤y＜80，∴每天的銷售量應為不少于60件而少于80件．1．(2020·成都)在“新冠”疫情期間，全國人民“眾志成城，同心抗疫”，某商家決定將一個月獲得的利潤全部捐贈給社區用于抗疫．已知商家購進一批產品，成本為10元/件，擬采取線上和線下兩種方式進行銷售．調查發現，線下的月銷量y(單位：件)與線下售價x(單位：元/件，12≤x<24)滿足一次函數的關系，部分數據如下表：變式訓練x(元/件)1213141516y(件)120011001000900800(1)求y與x的函數關系式；(2)若線上售價始終比線下每件便宜2元，且線上的月銷量固定為400件．試問：當x為多少時，線上和線下月利潤總和達到最大？并求出此時的最大利潤．x(元/件)1213141516y(件)1200110