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文檔簡介

§4.5函數的極值與最值二、最值一、極值一極值1可能成為極值的點：（1）駐點（費馬定理），即一階導數為零的點（2）不可導點說明：上述兩類點是所有可能成為極值的點，這兩類之外的任何點都不可能成為極值點，但駐點和不可導點不一定是極值點，它們是否為極值點需用具有充分性的結論去判別，下面介紹兩個極值的充分性條件定理，就是用來判別上述各點是否為極值點以及是什么性質的極值點的2極值的第一充分條件定理注：此條件定理不但可以判斷駐點是否為極值點，還可以判斷不可導點是否為極值點，因為此定理要求的條件是在去心鄰域內可導，而不要求在該點可導。3極值的第二充分條件定理（1）定理：注：此條件定理只能用來判別駐點是否為極值點，而且是一部分駐點，因為二階導數為零的點無法判別。（2）證明：4求函數的極值點和極值步驟：（1）求一階導數，找出所有的駐點和不可導點（2）利用充分性條件定理逐個判別是否為極值點以及是什么性質的極值點（3）求出是極值點的函數值，即為函數的極值5舉例例1求下列函數的極值解：解：解：解：解：二最值1最值與極值的關系（1）整體與局部的關系：極值是局部的概念，是某點及其周圍一個小范圍內的函數值的比較，而最值則是一個整體的概念，是某區間上所有點的函數值的比較。（2）極值是局部的最值。（3）區間上的極值不一定是最值，區間上的最值也不一定是極值。實際上，區間上的最值是區間上所有極值與兩端點的函數值的比較。2最值的求法（1）找出函數在區間上的駐點、不可導點和端點。（2）求出上述各點的函數值，然后進行比較，其中最大者即為函數在區間上的最大值，最小者則為最小值。（3）特別地：3舉例例2

求下列函數在所給區間上的最大值和最小值解：例3

證明證明：例4

解：所以有XXXXYYYYOOOOXXOOYY例5

設廠商的總成本函數為C=C(q)（q為產量）是q的二階可微函數，平均成本函數為解：因而是最小值，此時的邊際成本為：MC=AC，即邊際成本等于平均成本時，平均成本最小例6

設廠商的總成本函數為C=C(q)（q為產量），其需求函數為P=P(q),C(q)、P(q)都是q的二階可微函數，且廠商的利潤函數L=L(q)滿足，試確定廠商獲得最大利潤的必要條件。解：此時若存在極值，必為極小值，且是最小值因此廠商獲得最大利潤的必要條件是邊

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