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§4.5函數(shù)的極值與最值二、最值一、極值一極值1可能成為極值的點(diǎn):(1)駐點(diǎn)(費(fèi)馬定理),即一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(2)不可導(dǎo)點(diǎn)說明:上述兩類點(diǎn)是所有可能成為極值的點(diǎn),這兩類之外的任何點(diǎn)都不可能成為極值點(diǎn),但駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),它們是否為極值點(diǎn)需用具有充分性的結(jié)論去判別,下面介紹兩個(gè)極值的充分性條件定理,就是用來判別上述各點(diǎn)是否為極值點(diǎn)以及是什么性質(zhì)的極值點(diǎn)的2極值的第一充分條件定理注:此條件定理不但可以判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn),還可以判斷不可導(dǎo)點(diǎn)是否為極值點(diǎn),因?yàn)榇硕ɡ硪蟮臈l件是在去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),而不要求在該點(diǎn)可導(dǎo)。3極值的第二充分條件定理(1)定理:注:此條件定理只能用來判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn),而且是一部分駐點(diǎn),因?yàn)槎A導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)無法判別。(2)證明:4求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值步驟:(1)求一階導(dǎo)數(shù),找出所有的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(2)利用充分性條件定理逐個(gè)判別是否為極值點(diǎn)以及是什么性質(zhì)的極值點(diǎn)(3)求出是極值點(diǎn)的函數(shù)值,即為函數(shù)的極值5舉例例1求下列函數(shù)的極值解:解:解:解:解:二最值1最值與極值的關(guān)系(1)整體與局部的關(guān)系:極值是局部的概念,是某點(diǎn)及其周圍一個(gè)小范圍內(nèi)的函數(shù)值的比較,而最值則是一個(gè)整體的概念,是某區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值的比較。(2)極值是局部的最值。(3)區(qū)間上的極值不一定是最值,區(qū)間上的最值也不一定是極值。實(shí)際上,區(qū)間上的最值是區(qū)間上所有極值與兩端點(diǎn)的函數(shù)值的比較。2最值的求法(1)找出函數(shù)在區(qū)間上的駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和端點(diǎn)。(2)求出上述各點(diǎn)的函數(shù)值,然后進(jìn)行比較,其中最大者即為函數(shù)在區(qū)間上的最大值,最小者則為最小值。(3)特別地:3舉例例2
求下列函數(shù)在所給區(qū)間上的最大值和最小值解:例3
證明證明:例4
解:所以有XXXXYYYYOOOOXXOOYY例5
設(shè)廠商的總成本函數(shù)為C=C(q)(q為產(chǎn)量)是q的二階可微函數(shù),平均成本函數(shù)為解:因而是最小值,此時(shí)的邊際成本為:MC=AC,即邊際成本等于平均成本時(shí),平均成本最小例6
設(shè)廠商的總成本函數(shù)為C=C(q)(q為產(chǎn)量),其需求函數(shù)為P=P(q),C(q)、P(q)都是q的二階可微函數(shù),且廠商的利潤函數(shù)L=L(q)滿足,試確定廠商獲得最大利潤的必要條件。解:此時(shí)若存在極值,必為極小值,且是最小值因此廠商獲得最大利潤的必要條件是邊
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