二次函數與圓的問題9【典例1】如圖，拋物線y=ax2+4x+c經過點A(-1,0)和點C(0,3)與x軸的另一交點為點B,點M是直線BC上一動點，過點M作MP〃y軸，交拋物線于點P.(1)求該拋物線的解析式；(2)在拋物線上是否存在一點Q,使得4QCO是等邊三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；(3)以M為圓心，MP為半徑作。M,當。M與坐標軸相切時，求出。M的半徑.【答案】(1)y=-3x2+4x+3；(2)不存在，理由見解析；(3)0M的半徑為1或8【解析】【分析】9(1)已知拋物線y=ax2+4x+c經過點A(-1,0)和點C(0,3),利用待定系數法即可求得拋物線解析式；(2)在拋物線上找到一點Q,使得^QC。是等邊三角形，過點Q作OMXOB于點M,過點Q作QNLOC于點N,根據^QC。是等邊三角形，求得Q點坐標，再驗證Q點是否在拋物線上;(3)分兩種情況①當。M與y軸相切，如圖所示，令M點橫坐標為t,PM=t,將PM用t表示出來，列出關于t的一元二次方程，求得t,進而求得半徑；②。M與x軸相切，過點M作MNLOB于N,如圖所示，令M點橫坐標為m,因為PN=2MN,列出關于m的一元二次方程，即可求出m,進而求得。M的半徑.【詳解】9(1)???拋物線丫=@乂2+4x+c經過點A(-1,0)和點C(0,3)9,_na——+c=04c=3解得13a=——4c=33 9???該拋物線的解析式為：y=-4X2+-x+339故答案為：y=-4x2+4x+3(2)在拋物線上找到一點Q,使得^QC。是等邊三角形，過點Q作OMXOB于點M,過點Q作QNLOC于點N?「△QCO是等邊三角形，OC=33???CN=-2??.NQ=(CQ2—CN2=生-63<3F即機323,2)當圻應時，y2-3X(壁)2+9X至+3=2—至W34 2 4 28 162??.q(三,3)不在拋物線上y=--x2+--x+34 4故答案為：不存在，理由見解析(3)①。M與y軸相切，如圖所示3 9?'y=-4x2+4x+3當y=0時，—-x2+—x+3=04 4解得x1=-1,x2=4.??B(4,0)令直線BC的解析式為y=kx+b4k+b=0b=3k=-1-解得1 4、b=33???直線BC的解析式為y=--%+34令M點橫坐標為t?「MP〃y軸，。M與y軸相切9 ，3 仆/.t=--Tt2+t+3-(——t+3)4 4解得廿3y0M的半徑為§3②。M與x軸相切，過點M作MNLOB于N,如圖所示令M點橫坐標為m???PN=2MN3 9 「?3 °、一一m2+—m+3=2(——m+3)4 4 43 -一一m+3=一43+3二9449 8故答案為：。M的半徑為或84 3【典例2】將拋物線C:y=(%-2)2向下平移6個單位長度得到拋物線C1,再將拋物線C1向左平移2個單位長度得到拋物線C2.⑴⑵（1）直接寫出拋物線C，C的解析式；1 2（2）如圖（1）,點A在拋物線C1對稱軸l右側上，點B在對稱軸l上，aOAB是以OB為斜邊的等腰直角三角形，求點A的坐標；（3）如圖（2），直線y=kx（k豐0，k為常數）與拋物線C2交于E，F兩點，M為線4段EF的中點；直線y=-7x與拋物線C交于G，H兩點，N為線段GH的中點.求證:k 2直線MN經過一個定點.【答案】（1）拋物線C1的解析式為：y=x2-4x-2；拋物線C2的解析式為：y=x2-6；（2）點A的坐標為（5,3）或（4,-2）；（3）直線MN經過定點（0,2）【解析】【分析】（1）根據函數圖象上下平移：函數值上加下減；左右平移：自變量左加右減寫出函數解析式并化簡即可；（2）先判斷出點A、B、O、D四點共圓，再根據同弧所對的圓周角相等得到NBDA=NBOA=45°,從而證出△DAC是等腰直角三角形.設點A的坐標為（x,x2-4x-2）,把DC和AC用含x的代數式表示出來，利用DC二AC列方程求解即可，注意有兩種情況；（3）根據直線y=kx（k豐0,k為常數）與拋物線C2交于E,F兩點，聯立兩個解析式，得到關于x的一元二次方程，根據根與系數的關系求出點M的橫坐標，進而求出縱坐標，同理求出點N的坐標，再用待定系數法求出直線MN的解析式，從而判斷直線MN經過的定點即可.【詳解】解：(I)???拋物線c：y=(x-2)2向下平移6個單位長度得到拋物線q,再將拋物線q向左平移2個單位長度得到拋物線c,??拋物線G的解析式為：y=(x-2)2-6,即y=x2-4x-2,拋物線Q的解析式為：Y=(x-2+2)2-6,即y=x2-6.(2)如下圖，過點A作AC，x軸于點C,連接AD,Va^AB是等腰直角三角形,Z.ZBOA=45°,又VNBDO=NBA0=90°,?.點A、B、0、D四點共圓，.\ZBDA=ZB0A=45°,ZADC=90°-ZBDA=45°,?.△DAC是等腰直角三角形，二DC=AC.點A在拋物線C1對稱軸l右側上，點B在對稱軸l上，二拋物線C1的對稱軸為x=2,設點A的坐標為(x,x2-4x-2),DC=x-2,AC=x2-4x-2,二x-2=x2-4x-2,解得：x=5或x=0（舍去），???點A的坐標為（5,3）；同理，當點B、點A在x軸的下方時，x-2=-（x2-4x-2），x=4或x=-1（舍去），???點A的坐標為（4,-2）,綜上，點A的坐標為（5,3）或（4,-2）.（3）???直線y=kx（k豐0,k為常數）與拋物線C2交于E,F兩點，y=kxy=x2—6?x2-kx-6=0,設點E的橫坐標為\,點F的橫坐標為xF,?xE+xF=k,x+xk,中點M的橫坐標xM=EF=-,k2中點M的縱坐標yM=kx=—,k k2.,.點M的坐標為（—,—）；28同理可得：點N的坐標為（-，丁）,k k2設直線MN的解析式為y=ax+b（aW0）,k2k2—)、N228一k,元）代入得:-2?a+b

kb=2k將M(,<28kk=2+ba=J解得：<k,左2—4 ?x+2(kW0),k不論k取何值時(kW0)，當x=0時，y=2,??直線MN經過定點(0,2).1【典例3】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=--X+2與X軸交于點A,與y軸交于……… 2 [點B,拋物線y=-3X2+bx+c，530過點B且與直線相交于另一點C77,7.k247備用圖(1)求拋物線的解析式;(2)點P是拋物線上的一動點，當/PAO=/BAO時，求點P的坐標;……L 5) …、(3)點N(n,0) 0<n<7在x軸的正半軸上，點M(0,m)是y軸正半軸上的一動點，k 27且滿足/MNC=90。.①求m與n之間的函數關系式;②當m在什么范圍時，符合條件的N點的個數有2個?(53)萬，彳或(3k2472 7c【答案】(1)y=--X2+-x+2；(2)3 61——)或(-2,-3)；(3)①,4 10 25m=--n2+—n；②0<m<3 3 12【解析】【分析】(1)利用一次函數求出A和B的坐標，結合點C坐標，求出二次函數表達式;(2)當點P在x軸上方時，點P與點C重合，當點P在x軸下方時，AP與y軸交于點Q,求出AQ表達式，聯立二次函數，可得交點坐標，即為點P；（3）①過點C作CD，x軸于點D,證明△MNOs^NCD,可得MONONDCD'②作以MC為直徑的圓E,根據圓E與線段OD的交點個數來判斷M的位置,整理可得結果；即可得到m的取值范圍.【詳解】解：（1）???直線y=—?X+2與X軸交于點A,與y軸交于點B,令x=O,則y=2,令y=O,則x=4,AA(4,0),B(0,2),2 ,??拋物線y=一942+區+c經過B(0,2),0舊｝.*.132=c=xA+O+>解得:14 342b=L6,c=227，.拋物線的表達式為：y-~~x2+-73 6x+2.（2）當點P在x軸上方時，點P與點C重合，滿足*/C(5J34?一尸349（27當點P在X軸下方時，如圖，AP與y軸交于點Q,ZPAO=/BAO,AB,Q關于x軸對稱,AQ(0,-2),又A(4,0),設直線AQ的表達式為y=px+q,代入,一2—q0=40+q'解得：1P=2,

q=-21c???直線AQ的表達式為：y=-x-2,聯立得:1°--—X-227 ，解得：x=3或-2,y=--X2+—x+261???點P的坐標為（3,--）或（-2,-3）,綜上，當/PAO=/BAO時，點P的坐標為:(53)[2,4)或(3,1--)或(-2,-3)；(3)①如圖，NMNC=90°,過點C作CD^x軸于點D,.\ZMNO+ZCND=90°,VZOMN+ZMNO=90°,.\ZCND=ZOMN,XZMON=ZCDN=90°,.?.△MNOMNCD,MO_NO

Nd一而mn3即5-n

244 10,7八(八 5???N(n,0) 0<n<-I 2???點N在線段0D上（不含。和D）