第01講整數和整除（3大考點）考點考點考向1.；2.整除：整數a除以整數b，若除得的商是整數且余數為零.即稱：a能被b整除；或b能整除a.整除的條件：整除與除盡的關系3.因數與倍數：整數a能被整數b整除，a就叫b的倍數，b就叫a的因數（約數）.因數與倍數的特征：4.能被2整除的數，能5整除的數的特征：個位上數字是0，5；能同時被2、5整除的數：個位上數字是0.*能被3整除的數：一個整數的各個數位上數字之和能被3整除，這個整數就能被3整除.*能同時被2、3和5整除的數：個位數是0，且各個數位上數字之和能被3整除.5.（拓展）能被9整除的數能被9整除的數的特征：各個數位上的數字和是9的倍數．考點考點精講考點一：整數和整除的意義一、單選題1．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）已知m能整除73，那么m是（

）A．146 B．9 C．1或73 D．219【答案】C【分析】根據整除的概念即可解答．【詳解】∵73=73×1，∴73能被1和73整除，即1和73能整除73，∴m是1或73，故選：C．【點睛】本題考查了整除的概念，理解整除的概念是解答的關鍵．2．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）23÷4=5.75表示（

）A．23能被4整除 B．4能整除23 C．23能被4除盡 D．23不能被4除盡【答案】C【分析】整除是被除數、除數以及商都是整數，而余數是零；除盡并不局限于整數范圍內，被除數、除數以及商可以是整數，也可以是有限小數，只要余數是零就可以了．【詳解】解：23÷4=5.75，商是有限小數，∴23能被4除盡；故選：C．【點睛】考查了有理數的除法，本題重在區分整除和除盡的區別，整除要求被除數、除數以及商都是整數，整除是除盡的特殊情況．二、填空題3．（2021·上海·新中初級中學期中）把45、18、60、15四個數中，能同時被2、5整除的是______．【答案】60【分析】根據整除的概念（若整數a除以非零整數b，商為整數，且余數為零，我們就說a能被b整除）求解即可得．【詳解】解：45不能被2整除；18不能被5整除；60能被2和5同時整除；15不能被2整除；故答案為：60．【點睛】題目主要考查整除的定義，理解整除的定義是解題關鍵．4．（2020·上海市進才實驗中學期中）用一個正整數去除16，24，32正好都能整除，則這個數可能是__________．（寫出所有符合條件的數）【答案】1，2，4，8【詳解】解：16=2×2×2×2，24=2×2×2×3，32=2×2×2×2×2，故用一個正整數去除16，24，32正好都能整除，則這個數可能是1，2，4，8故答案為：1，2，4，8．【點睛】此題考查了數字的約數，正確確定各數的約數是解題的關鍵．5．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）50以內能被6整除的正整數的個數為____________．【答案】8【分析】直接利用50除以6，即可得到整除的個數．【詳解】解：根據題意，則50÷6=8……2．∴50以內能被6整除的正整數的個數為8個；故答案為：8．【點睛】本題考查了整除的意義，解題的關鍵是掌握整除的意義進行解題．6．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）__________、_________和_________統稱為整數．【答案】

負整數

零

正整數【分析】根據整數的意義和分類即可解答．【詳解】因為整數分為負整數、零和正整數，故答案為：負整數，零，正整數．【點睛】本題考查整數的分類，理解整數的意義，熟記整數的分類是解答的關鍵．7．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）__________和___________統稱為自然數．【答案】

零

正整數【分析】根據自然數的定義填空．【詳解】零和正整數統稱為自然數．【點睛】本題考查自然數的定義，需要注意零是自然數．8．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）最小的自然數是__________，小于3的自然數是____________．【答案】

0

0、1、2【分析】根據自然數的意義（0和正整數）即可解答．【詳解】根據自然數的意義，最小的自然數是0，小于3的自然數是0、1、2，故答案為：0；0、1、2．【點睛】本題考查了自然數的意義，理解自然數的意義，知道自然數包括0和正整數是解答的關鍵．9．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）最小的正整數是________，最大的負整數是________．【答案】

1

-1試題解析：根據大于零的整數是正整數，小于零的整數是負整數，可得有理數中，最小的正整數是1，最大的負整數是-1.10．（2021·上海·九年級專題練習）既不是正數也不是負數的數是_____【答案】0【詳解】因為要以0為標準，超出的部分記為正數，不足的部分記為負數，所以0既不是正數也不是負數．故答案為0三、解答題11．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）從下列數中選擇適當的數填入相應的圈內．-200、17、-6、0、1.23、、2006、-19.6、9、【答案】-200、-6；17、0、2006、9；-200、17、-6、0、2006、9．【分析】根據整數、負整數、自然數的概念進行分類即可．【詳解】負整數：-200、-6；自然數：17、0、2006、9；整數：-200、17、-6、0、2006、9．【點睛】本題考查了整數、自然數、負整數的概念，解答的關鍵是明確整數、負整數和自然數的意義，要注意0是整數也是自然數，但0不是正數也負數．考點二：因數和倍數一、單選題1．（2020·上海·階段練習）a÷b＝5（a，b都是非0自然數），a是b的（

），b是a的（

）．①倍數

②因數

③積A．①② B．②① C．③①【答案】A【分析】a÷b＝5，a、b、5三個數字都是非0自然數，所以被除數a是除數b的倍數，除數b是被除數a的因數，由此求解．【詳解】解：因為a÷b＝5，所以：a是b的倍數，b是a的因數．故選A【點睛】一個整數能夠被另一整數整除，被除數就是除數的倍數，除數就是被除數的因數．2．（2021·上海市彭浦初級中學期中）下列說法中正確的是（

）A．任何正整數的因數至少有兩個 B．1是所有正整數的因數C．一個數的倍數總比它的因數大 D．3的因數只有它本身【答案】B【分析】根據因數與倍數的概念直接進行解答即可．【詳解】A、任何正整數的因數至少有兩個是錯誤的，例如：1的因數只有1；B、1是所有正整數的因數，故正確；C、一個數的倍數總比它的因數大是錯誤的，例如：4的其中一個倍數是4，一個因數是4，這兩個相等；D、3的因數有1和3，故錯誤；故選B．【點睛】本題主要考查因數與倍數，熟練掌握因數與倍數的概念是解題的關鍵．3．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）下列說法中正確的是（

）A．任何正整數的因數至少有兩個 B．3的因數只有它本身C．一個數的倍數總比它的因數大 D．1是所有正整數的因數【答案】D【分析】根據因數和倍數的概念分別判斷即可．【詳解】1只有一個因數，故A錯誤；3的因數有1和本身，故B錯誤；一個數的最大因數和最小倍數是本身，故C錯誤；1是所有正整數的因數，故D正確．故選D．【點睛】本題主要考查了因數和倍數的概念，熟練掌握倍數和因數的相關概念是解題的關鍵．二、填空題4．（2021·上海·青教院附中階段練習）在5、10、15、20、25中，______是100的因數．【答案】5；10；20；25【詳解】，，，，故答案為：5；10；20；25【點睛】本題考查了因數，理解因數的定義是解題的關鍵．兩個正整數相乘，那么這兩個數都叫做積的因數．5．（2021·上海虹口·期中）如果一個正整數恰好有8個因數，請寫出一個符合條件的數：____________．【答案】30（答案不唯一）【分析】由題意可知該數由三個不同的質數相乘得到．【詳解】解：由題意可知該數由三個不同的質數相乘得到，比如2×3×5＝30，故答案為：30．（答案不唯一）【點睛】本題考查因數的概念．掌握其定義是解答本題的關鍵．6．（2021·上海·期中）若a既是20的因數，又是20的倍數，那么a＝___．【答案】20【分析】根據找一個數的因數的方法：一個數的因數是有限的，最大的因數是它本身，最小的因數是1；根據找一個數的倍數的方法，一個數的倍數是無限的，最小的一個倍數是它本身，可見一個數的本身既是其最大約數又是其最小倍數．【詳解】解：根據題干分析可得：一個數既是20的因數，又是20的倍數，這個數是20．故答案為：20．【點睛】本題主要考查了因數和倍數，解答的關鍵是明確題意，理解因數和倍數的意義．7．（2021·上海·期中）18的因數有___．【答案】1、2、3、6、9、18．【分析】先寫出18的因數：18=1×18，2×9，3×6因此18的因數有1，2，3，6，9，18解答即可．【詳解】解：18的因數有：1、2、3、6、9、18．故答案為：1、2、3、6、9、18．【點睛】本題考查了有理數的乘法，掌握找一個數因數的方法是解題的關鍵．8．（2020·上海·青教院附中期中）16的因數有______．【答案】1、2、4、8、16【分析】由16=1×16=2×8=4×4，即可求得16的所有因數．【詳解】因為16=1×16=2×8=4×4，則16的因數分別為1與16，2與8，4即16的因數有：1、2、4、8、16故答案為：1、2、4、8、16【點睛】本題考查了求一個整數的因數，求一個數的因數的方法：1.除法：用從1開始的每一個整數去除這個數，則可得到這個數的所有因數；2.乘法：寫出所有兩個數的乘積等于這個數的算式，則每個因數便是這個數因數．9．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）按要求把下列各數填入圈中：1、2、3、4、6、8、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36．【答案】1、2、3、4、6、8、9、18、24、36；3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36【分析】根據題意及因數的求法可把1、2、3、4、6、8、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36依次填入圈內．【詳解】第一個圈：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36第二個圈：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36．故答案為：1、2、3、4、6、8、9、18、24、36；3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36．【點睛】本題主要考查因數與倍數的求法，關鍵是結合題意及方法得出即可．10．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）如果一個數既是19的因數，又是19的倍數，那么這個數是____________________．【答案】19【分析】一個數既是它本身的因數，也是它本身的倍數，可根據此來求解．【詳解】∵ａ既是ａ的因數，又是ａ的倍數，∴如果一個數既是19的因數，又是19的倍數，那么這個數是19．故答案為：19．【點睛】本題主要考查了因數和倍數，熟練掌握因數和倍數的求法是解題的關鍵．11．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）一個整數的最大因數和它的最小倍數比差，結果是______________【答案】0【分析】根據一個數的最大因數和最小倍數都是它本身進行解答即可．【詳解】解：一個整數，它最大的因數和最小的倍數都是它本身，差為0；故答案為：0．【點睛】此題主要考查因數與倍數的意義，利用一個數的倍數最小是它的本身，一個數的因數最大是它本身，解決問題．12．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）既是30的因數，又是3的倍數的數有________________________________．【答案】3，6，15，30【分析】首先列出30的因數，再結合3的倍數逐個篩選，從而得到答案．【詳解】30的因數為：1，30，2，15，3，10，5，6；同時是3的倍數的是：3，6，15，30；故答案為：3，6，15，30．【點睛】本題考察了倍數和因數的知識；求解的關鍵是準確掌握倍數和因數的定義，即可求得答案．13．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）一個整數_____________最大的倍數（填“有”或“無”），而最小的倍數是___________．【答案】

無

本身【分析】根據倍數的概念填空即可．【詳解】一個整數無最大的倍數，而最小的倍數是本身．故答案為：無；本身．【點睛】本題主要考查了整數的倍數問題，熟練掌握倍數的概念是解題的關鍵．14．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）一個數的因數中最小的是________________，最大的是__________________．【答案】

1

它本身【分析】根據一個數的因數的概念可直接得出．【詳解】一個數的因數最小的是1，最大的是它本身．故答案為：1；它本身．【點睛】本題主要考查因數的概念，熟練掌握概念即可．15．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）50以內13的倍數有___________________________．【答案】13，26，39【分析】根據求一個數的倍數的求法可直接得到答案．【詳解】因為倍數從1倍寫起，所以50以內13的倍數有：13，26，39．故答案為：13，26，39．【點睛】本題主要考查倍數的求法，熟練掌握方法是解題的關鍵．16．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）15的因數有__________________，100以內15的倍數有_________________________．【答案】

1，15，3，5

15，30，45，60，75，90【分析】根據題意及因數與倍數的求法可直接得到答案．【詳解】因數可以一組一組寫，不能重復，倍數從1倍寫起．故答案為：15的因數有1，3，5，15；100以內15的倍數有15，30，45，60，75，90．【點睛】本題主要考查求一個數的因數與倍數，熟練掌握方法是解題的關鍵．17．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）a能被b整除，a就叫做b的____________，b就叫做a的_____________．【答案】

倍數

因數【分析】根據因數倍數的概念可直接得答案．【詳解】因數和倍數是互相依存的；故答案為：倍數；因數．【點睛】本題主要考查因數與倍數的概念，關鍵是根據題意及概念得出答案．18．（2017·上海市玉華中學期中）寫出30以內的正整數中，7所有的倍數_____________.【答案】7，14，21，28.試題解析：，，，，，所以30以內的正整數中，7所有的倍數為7,14,21,28.三、解答題19．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）36名學生參加科技活動，若他們想分成人數相等的幾個小組，你認為可以怎樣分？【答案】可以分為2，3，4，6，9，12，18，36【分析】根據題意可知此題是求解36的因數，故直接可得出答案．【詳解】因為要把36名學生分成若干組，所以只要找36的因數（1除外）即可，故36的因數有2,3,4,6,9,12,18,36．故答案為：可以分為2，3，4，6，9，12，18，36．【點睛】本題主要考查因數的求法，熟練掌握方法是解題的關鍵．考點三：能被2，5整除的數一、單選題1．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）下列說法中錯誤的是（

）A．任何一個偶數加上1之后，得到的都是一個奇數B．一個正整數，不是奇數就是偶數C．能被5整除的數一定能被10整除D．能被10整除的數一定能被5整除．【答案】C【分析】根據數的倍數的特征，奇數與偶數的性質依次判斷即可.【詳解】A、任何一個偶數加上1之后，得到的都是一個奇數；B、一個正整數，不是奇數就是偶數；C、能被5整除的數不一定能被10整除；D、能被10整除的數一定能被5整除．故選：C.【點睛】此題考查數的倍數的特征，奇數與偶數的性質，正確理解并運算解題是關鍵.2．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）四位數2A3B能同時被2，5整除，則B等于（

）A．2 B．5 C．0 D．7【答案】C【分析】根據被2，5整除的數的特征，可知個位上的數是0，由此即可判定．【詳解】個位上是0的整數能同時被2、5整除．故選：C．【點睛】本題考查了數的整除問題，解題的關鍵是記住被2，5整除的數的特征，所以基礎題．3．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）兩個連續的自然數的和是（

）A．奇數 B．偶數 C．奇數或偶數 D．既不是奇數也不是偶數．【答案】A【分析】根據自然數的排列規律：偶數、奇數、偶數、奇數…；再根據偶數和奇數的性質，奇數+偶數=奇數，偶數+偶數=偶數，奇數+奇數=偶數，據此判斷即可．【詳解】兩個連續的自然數，一個是奇數，另一個是偶數，奇數+偶數=奇數．故選A．【點睛】此題考查的目的是掌握自然數的排列規律、偶數和奇數的性質．4．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）要把一個奇數變成偶數，下列說法中錯誤的是（

）A．加上1 B．減去1 C．乘以2 D．除以2【答案】D【分析】根據奇數和偶數的定義逐項判斷即得答案．【詳解】解：A、一個奇數加上1可以變成偶數，故本選項說法正確，不符合題意；B、一個奇數減去1可以變成偶數，故本選項說法正確，不符合題意；C、一個奇數乘以2可以變成偶數，故本選項說法正確，不符合題意；D、奇數不能被2整除，所以一個奇數除以2不能變成偶數，故本選項說法錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了奇數和偶數的定義，屬于基礎概念題型，熟知二者的概念是關鍵．5．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）既能被2整除又能被5整除的最小的三位數是（

）A．102 B．105 C．110 D．100【答案】D【分析】根據2、5的倍數特征解答即可.【詳解】能被2和5整除的數個位上是0，則最小的三位數是100故選：D.【點睛】此題考查了2和5的倍數的特征數，熟記并熟練運用特征解題是關鍵.二、填空題6．（2021·上海浦東新·期末）能同時被2和5整除的最小兩位數是_______．【答案】10【分析】根據能同時被2和5整除的數是個位是0的數，所以可直接得出答案．【詳解】能同時被2和5整除的最小兩位數是10；故答案為10．【點睛】本題主要考查因數與倍數，關鍵是熟記能同時被2和5整除的數的特征即可．7．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）兩個奇數的積一定是________，兩個偶數的積一定是_____，一個奇數與一個偶數的積一定是____．（填“奇數”或“偶數”）．【答案】

奇數

偶數

偶數【分析】根據數的乘法運算法則進行解答.【詳解】奇數×奇數=奇數，偶數×偶數=偶數，奇數×偶數=偶數，故答案為：奇數、偶數、偶數.【點睛】此題考查數的乘法運算法則，乘積的奇偶性由兩個乘數的奇偶決定：奇數×奇數=奇數，偶數×偶數=偶數，奇數×偶數=偶數，正確理解即可正確解決問題.8．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）個位上是__________的整數是奇數．【答案】1，3，5，7，9【分析】不是2的倍數的整數，叫做奇數，所以奇數的個位上的數字一定是1、3、5、7、9；據此解答．【詳解】解：∵不能被2整除的整數叫做奇數，∴個位上是單數的整數是奇數，即奇數的個位上一定是數字1、3、5、7、9．故答案為：1，3，5，7，9．【點睛】此題考查奇數的意義，明確不是2的倍數的整數叫做奇數是解答本題的關鍵．9．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）整數2009至少加上________才能同時被2、5整除．【答案】1【分析】由同時被整除的數的特點可得整數的個位數是從而可得答案．【詳解】解：因為個位上是0的整數能同時被2、5整除，所以整數2009至少加上才能同時被2、5整除．故答案為：【點睛】本題考查的是能被整除的數的特點，掌握以上整數是解題的關鍵．10．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）______________的數能被3整除．【答案】各個位上的數字之和是3的整數倍【分析】能被3整除的數的各數位上的數字之和為3的整數倍，據此解答問題.【詳解】各個位上的數字之和是3的整數倍的數能被3整除.故答案為：各個位上的數字之和是3的整數倍.【點睛】此題考查3的倍數的特點，熟記并熟練運用倍數的特點解題是關鍵.11．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）123至少加上____才能被2整除，至少加上________才能被5整除．【答案】

1

2【分析】個位上是0，2，4，6，8的整數都能被2整除，個位上是0或者5的整數都能被5整除，據此解答．【詳解】123要想被2整除，個位數字要變成偶數，需要加1；要想被5整除，個位數需變成5，則要加2；故填：1；2．【點睛】本題考查被2和5整除的數的規律，熟悉掌握基礎知識是關鍵．12．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）自然數中最小的奇數是_______，最小的偶數是___．【答案】

1

0【分析】由自然數包含0和正整數，結合奇數與偶數的特點可得答案．【詳解】解：因為：自然數包含0和正整數，.又因為：能被2整除的數叫做偶數，不能被2整除的數叫做奇數，所以：自然數中最小的奇數是，最小的偶數是故答案為：．【點睛】本題考查的是自然數，奇數，偶數的定義，掌握以上知識是解題的關鍵．13．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）個位上是_______的整數，一定能被5整除．【答案】0或者5【分析】能被5整除的數的個位上是0或5，由此得到答案.【詳解】個位上是0或者5的整數都能被5整除.故答案為：0或5.【點睛】此題考查能被5整除的數的特點，正確理解并掌握其特點是解題的關鍵.14．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）個位上是______的整數，一定能被2整除．【答案】0，2，4，6，8【分析】由能被整除的數的特點：這樣的數是偶數，從而可得答案．【詳解】解：個位上是0，2，4，6，8的整數都能被2整除．故答案為：．【點睛】本題考查的是能被整除的數，即偶數的特點，掌握以上知識是解題的關鍵．15．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）在20、30、126這些數中，______既是的倍數，又是的倍數【答案】30【分析】既是的倍數，又是的倍數的數滿足：個位上是0或者5，且各個數位上的數字之和是3的整數倍，據此解答即可．【詳解】解：在20、30、126這些數中，30既是的倍數，又是的倍數．故答案為：30．【點睛】本題考查了2、3、5倍數的數的特征，屬于基本題型，熟練掌握解答的方法是關鍵．16．（2020·上海·青教院附中期中）能同時被2、5整除的最大兩位數是______．【答案】90【分析】同時能被2、5整除的整數個位上的數字為0，最大的整數即十位為9，由此得到答案.【詳解】個位上是0的整數能同時被2、5整除，最大的兩位數是90，故答案為：90.【點睛】此題考查有理數的除法計算，掌握能被2和5整除的數的特點是解題的關鍵.17．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）能被2整除的整數叫做_____數，不能被2整除的整數叫做_____數．【答案】

偶

奇【分析】根據偶數、奇數的定義解答即可．【詳解】解：能被2整除的整數叫做偶數，不能被2整除的整數叫做奇數．故答案為：偶，奇．【點睛】本題考查了偶數與奇數的定義，屬于應知應會題型，熟知概念是關鍵．18．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）下面各數哪些能被2整除？哪些能被5整除？哪些能被3整除？哪些能被10整數？205、44、75、1、115、1000、60、128、495、1500、106、2000、478能被2整除的數：能被5整除的數：能被10整除的數：能被3整除的數：【答案】44，1000，60，128，1500，106，2000，478；205，75，115，1000，60，495，1500，2000；1000，60，1500，2000；75，60，495，1500，106【分析】根據能被2、5、10、3整除的數的特點解答.【詳解】解：能被2整除的數有：44，1000，60，128，1500，106，2000，478；能被5整除的數有：205，75，115，1000，60，495，1500，2000；能被10整除的數有：1000，60，1500，2000；能被3整除的數有：75，60，495，1500，106，故答案為：44，1000，60，128，1500，106，2000，478；205，75，115，1000，60，495，1500，2000；1000，60，1500，2000；75，60，495，1500，106.【點睛】此題考查2、5、10、3的倍數的特征：個位上是0，2，4，6，8的整數都能被2整除，個位上是0或者5的整數都能被5整除，個位上是0的整數能被10整除，各個位上的數字之和是3的整數倍的數能被3整除，熟記特征并運用解題是關鍵.19．（2021·上海市復旦初級中學期中）能同時被2、3、5整除的最大的三位數是____________．【答案】990．試題分析：同時是2、3、5的倍數的最大的三位數，只要個位是0，百位是最大的自然數9，十位滿足和百位、個位上的數加起來是3的倍數即可，這樣的數有：0、3、6、9，其中0是最小的，9是最大的，據此求出最大的三位數是990．三、解答題20．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）從3、0、5、8中任取不同的幾個數字，組成能被2整除的最大三位數是多少？能被5整除的最小四位數是多少？【答案】850，3085【分析】（1）能被2整除，則個位應為0或8，組成一個最大的三位數，最高位應為8，十位為5，個位為0；（2）能被5整除的數，個位上是0或5，因為要找最小的數，所以3在最高位，0在百位，8在十位，5在個位．【詳解】解：由題意得，滿足條件的最大三位數：8在百位，5在十位，0在個位，即850；滿足條件的最小四位數：3在千位（0不能在首位），0在百位，8在十位，5在個位，即3085．【點睛】此題重點考查能被2、5整除的數的特征及其運用，求組成的最大的數，該數從最高位到最低位，數字選擇由大到小；求組成的最小的數，該數從最高位到最低位，數字選擇由小到大，但最高位上的數字不能為0．21．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）如果a是一個奇數，那么與a相鄰的兩個偶數是多少？【答案】【分析】由相鄰的兩個偶數相差相鄰的兩個整數相差，從而可得答案．【詳解】解：因為：相鄰兩個整數相差1，所以：a是一個奇數，那么與a相鄰的兩個偶數是故答案為：【點睛】本題考查的是相鄰的兩個整數相差的特點，掌握以上知識是解題的關鍵．22．（2020·上海市靜安區實驗中學課時練習）填空，使所得的三位數能滿足題目要求（1）3□2能被3整除，則□中可填入（2）32□既能被3整除，又能被2整除，則□中可填入（3）□3□能同時被2，3，5整除，則這個三位數可能是【答案】（1）1或4或7；（2）4；（3）330或630或930【分析】（1）根據各個數位上的數字之和是3的整數倍解答即可；（2）既能被3整除，又能被2整除，則這個數是偶數且各個數位上的數字之和是3的整數倍，據此解答即可；（3）能同時被2，3，5整除，則這個三位數的個位數是0，且各個數位上的數字之和是3的整數倍，據此解答即可．【詳解】解：（1）3□2能被3整除，則□中可填入1或4或7；故答案為：1或4或7；（2）32□既能被3整除，又能被2整除，則□中可填入4；故答案為：4；（3）□3□能同時被2，3，5整除，則這個三位數可能是330或630或930．故答案為：330或630或930．【點睛】本題考查了數的整除和2、3、5倍數的數的特征，正確理解題意、熟練掌握基本知識是關鍵．拓展：能被9整除的數1.已知一個三位數，試證明：若能被9整除，則能被9整除．【難度】★★★【解析】因為能被9整除，則可得（為正整數），又=，因為能被9整除，也能被9整除，所以能被9整除．【總結】本題一方面考查三位數的表示方法，另一方面考查整除的運用．鞏固鞏固提升一、選擇題1.（2019閔行實驗西校10月考1）下面各組數中，第一個數能整除第二個數的是（）A．14和7；B.2.5和5；C.9和18；D.0.4和8.【答案】C;【解析】解：A、14能被7整除，不符合題意；B、2.5不是整數，不符合題意；C、9能整除18，符合題意，故C正確；D、0.4不是整數，故D不符合題意；因此答案選C.2.（2019上南中學10月考1）下列關于“1”的敘述不正確的是（）A.1是最小的自然數；B.1既不是素數，也不是合數；C.1是奇數；D.1能整除任何一個正整數.【答案】A；【解析】解：A、最小的自然數為0，故A錯誤；B、1既不是素數，也不是合數，故B正確；C、1是奇數，故C正確；D、1能整除任何一個正整數，故D正確；因此答案選A.3.（浦東南片2019期中2）36的全部因數的個數有（）A.6個B.7個C.8個D.9個【答案】D；【解析】解：36的因數有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，一共9個；因此答案選D.4.（2019浦東四署10月考1）在下列算式中，被除數能被除數整除的是（）A.；B.；C.；D..【答案】C；【解析】解：A、25不能被4整除，故A錯誤；B、0.6與0.3不是整數，故B錯誤；C、3能被3整除，故C正確；D、4不能被8整除，故D錯誤；因此答案選C.5.（2019上南中學10月考3）下列說法正確的是（）A.任何整數的因數至少有2個；B.一個數的因數都比這個數的倍數小；C.連續兩個自然數相加的和一定是奇數；D.8是因數，12是倍數.【答案】C；【解析】解：A、1只有一個因數，故A錯誤；B、一個數的最大因數與這個數的最小倍數相等，故B錯誤；C、連續兩個自然數相加的和一定是奇數，故C正確；D、因數與倍數是指兩個數之間的關系，如：8是16的一個因數，16是4的倍數等；故D錯誤；因此答案選C.6.（2019浦東四署10月考3）下列各組數中能同時被2和3整除的一組數是（）A.10和35；B.42和24；C.15和16；D.22和20.【答案】B；【解析】解：能同時被2和3整除的數一定能被6整除，故42和24都能被6整除，故答案選B.7.（2019建平西校10月考1）下列算式中被除數能被除數整除的是（）

A.15÷4

B.5÷2.5;C.10÷3;

D.

8÷4.【答案】D；【解析】解：A、15不能被4整除，故A錯誤；B、2.5是小數，故B錯誤；C、10不能被3整除，故C錯誤；D、8能被4整除，故D正確；因此答案選D.

8.（華師大附中2019期中1）如果M能被15整除，那么M是（）A、15B、30C、15的倍數D、15的因數【答案】C；【解析】解：如果M能被15整除，則M是15的倍數，因此答案選C.9.（2019進才北12月考1）下列說法正確的是（

）

A.一個整數不是正整數就是負整數B.一個正整數不是素數就是合數

C.一個正整數不是奇數就是偶數D.一個正整數的最大因數不是它的最小倍數.【答案】C；【解析】解：A、整數包括正整數、負整數和零，故A錯誤；B、正整數包括素數、合數與1，故B錯誤；C、正整數包括奇數和偶數，故C正確；D、一個正整數的最大因數是它的最小倍數，故D錯誤；因此答案選C.10.（2019閔行實驗西校10月考5）下列語句錯誤的是（）①2.5能被5整除；②因為4÷2=2，所以4是倍數，2是因數；A=2×3×5×B,B>1,則B一定是A的因素；④兩個整數的公倍數一定能被這兩個數整除；A.1個；B.2個；C.3個；D.4個.【答案】B；【解析】解：2.5不是整數，故①錯誤；因為4÷2=2，所以4是2的倍數，2是4的因數，故②錯誤；A=2×3×5×B,B>1,則B一定是A的因素，但不一定是A的素因數，故③正確；兩個整數的公倍數一定能被這兩個數整除，故④正確；因此錯誤語句有兩個，答案選B.11.（2019徐教院附中10月考3）在下列說法中，正確的是（）A.合數都是偶數B.2的倍數都是合數C.2的倍數都是偶數D.5的倍數都是奇數【答案】C；【解析】解：A、合數不一定是偶數，如15是合數但不是偶數，故A錯誤；B、2的倍數不一定是合數，如2不是合數，故B錯誤；C、2的倍數是偶數，故C正確；D、5的倍數不一定是奇數，如5的偶數倍是偶數，故D錯誤；因此答案選C.12.（2019晉元附校測試15）用一個數去除28和56都能整除，這個數最大是（）A.2 B.4 C.14 D.28【答案】D；【解析】解：用一個數去除28和56都能整除，這個數最大是28，故答案選D.二、填空題13.(2019南模初中10月考1)最小的自然數是.【答案】0；【解析】解：最小的自然數為0.14.（2019大同初中10月考7）4.8÷3＝1.6，填“能”或“不能”)說3能整除4.8

【答案】不能；【解析】解：因為4.8，1.6都是小數，不是整數，故不能說3能整除4.8.15.（2019晉元附校測試10）有一個數，它既是的倍數，又是的因數，這個數是__________.【答案】a；【解析】解：既是a的倍數，又是a的因數，則這個數就是它本身a.16.（2019松江九亭10月考1）寫出既能被2整除又能被5整除的最小的兩位__________.【答案】10；【解析】解：既能被2整除又能被5整除的數，個位數為0，因此最小的兩位數為10.17.（華理附中2019期中8）在75,50,42,40,66中，既是2的倍數又能被5整除的數有.【答案】50、40；【解析】解：既是2的倍數又能被5整除的數，個位數為0，因此在上述數中有：50、40.18.（2019中國中學10月考6）三位數75□能同時被2、3整除，那么□可以是。【答案】756；【解析】解：被2整除，則個位數為0、2、4、6、8，同時又能被3整除，則各位數字之和能被3整除，故這個三位數可以是756.19.（2019曹楊二附10月考1）在中，是非負正整數的是.【答案】+5，；【解析】解：因為，所以在上述數中，非負正整數的是+5，.20.（2019松江九亭10月考11）18的因數有__________，18的素因數有__________。【答案】1、2、3、6、9、18；2、3、3;【解析】解：18的因數有1、2、3、6、9、18；又因為18=2×3×3，故18的素因數為2、3、3.21.（2019建平西校10月考8）12的因數有___________.【答案】1、2、3、4、6、12；【解析】解：