PAGE2-中檔大題規范練——圓錐曲線1．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，實半軸長為eq\r(3).(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：y＝kx＋eq\r(2)與雙曲線C的左支交于A，B兩點，求k的取值范圍；(3)在(2)的條件下，線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M(0，b)，求b的取值范圍．解(1)設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由已知，得a＝eq\r(3)，c＝2，b2＝c2－a2＝1，故雙曲線方程為eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)設A(xA，yA)，B(xB，yB)，將y＝kx＋eq\r(2)代入eq\f(x2,3)－y2＝1，得(1－3k2)x2－6eq\r(2)kx－9＝0.由題意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3k2≠0，,Δ＝361－k2>0，,xA＋xB＝\f(6\r(2)k,1－3k2)<0，,xAxB＝\f(－9,1－3k2)>0，))解得eq\f(\r(3),3)<k<1.所以當eq\f(\r(3),3)<k<1時，直線l與雙曲線C的左支有兩個交點．(3)由(2)，得xA＋xB＝eq\f(6\r(2)k,1－3k2)，所以yA＋yB＝(kxA＋eq\r(2))＋(kxB＋eq\r(2))＝k(xA＋xB)＋2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),1－3k2)，所以AB中點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2)k,1－3k2)，\f(\r(2),1－3k2))).設l0的方程為y＝－eq\f(1,k)x＋b，將P點的坐標代入l0的方程，得b＝eq\f(4\r(2),1－3k2)，∵eq\f(\r(3),3)<k<1，∴－2<1－3k2<0，∴b<－2eq\r(2).∴b的取值范圍是(－∞，－2eq\r(2))．2．已知離心率為eq\f(1,2)的橢圓C1的左，右焦點分別為F1，F2，拋物線C2：y2＝4mx(m>0)的焦點為F2，設橢圓C1與拋物線C2的一個交點為P(x0，y0)，PF1＝eq\f(7,3).(1)求橢圓C1的標準方程及拋物線C2的標準方程；(2)直線x＝m與橢圓C1在第一象限的交點為Q，若存在過點A(4,0)的直線l與橢圓C1相交于不同的兩點M，N，使得36AQ2＝35AM·AN，求出直線l的方程．3x2－4eq\r(3)x＝0，即A(0，eq\r(3))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))，所以可得AB＝eq\f(4\r(6),3)；將y＝x＋m代入eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1得：3x2＋4mx＋2m2－6＝0，設C(x3，y3)，D(x4，y4)，則CD＝eq\r(2)eq\r(x3＋x42－4x3x4)＝eq\f(2\r(2),3)eq\r(18－2m2)，又因為Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3<m<3，所以當m＝0時，CD取得最大值4，所以四邊形ACBD面積的最大值為eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(8\r(6),3).4．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，⊙O：x2＋y2＝b2，點A，F分別是橢圓C的左頂點和左焦點，點P是⊙O上的動點．(1)若P(－1，eq\r(3))，PA是⊙O的切線，求橢圓C的方程；(2)是否存在這樣的橢圓C，使得eq\f(PA,PF)恒為常數？如果存在，求出這個常數及C的離心率e；如果不存在，請說明理由．解(1)由P(－1，eq\r(3))在⊙O：x2＋y2＝b2上，得b2＝1＋3＝4.直線PA的斜率kPA＝eq\f(\r(3)－0,－1－－a)＝eq\f(\r(3),a－1)，而直線PA的斜率kPA＝－eq\f(1,kOP)＝eq\f(1,\r(3))，所以eq\f(\r(3),a－1)＝eq\f(1,\r(3))，解得a＝4.所以a2＝16，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)假設存在橢圓C，使得eq\f(PA,PF)恒為常數．設橢圓C的半焦距為c，當P(－b,0)時，則有eq\f(PA,PF)＝eq\f(a－b,|c－b|)；當P(b,0)時，則有eq\f(PA,PF)＝eq\f(a＋b,b＋c).依假設有eq\f(a－b,|c－b|)＝eq\f(a＋b,b＋c).①當c－b>0時，有eq\f(a－b,c－b)＝eq\f(a＋b,b＋c)，所以(a－b)(b＋c)＝(a＋b)(c－b)，化簡整理得a＝c，這是不可能的．②當c－b<0時，有eq\f(a－b,b－c)＝eq\f(a＋b,b＋c).所以(a－b)(b＋c)＝(a＋b)(b－c)，化簡整理得ac－b2＝0.所以c2－a2＋ac＝0，兩邊同除以a2，得e2＋e－1＝0.解得e＝eq\f(－1＋\r(5),2)，或e＝eq\f(－1－\r(5),2)?(0,1)(舍去)．可見，若存在橢圓C滿足題意，只可能離心率e＝eq\f(－1＋\r(5),2).設P(x，y)為⊙O：x2＋y2＝b2上任意一點，則eq\f(PA,PF)＝eq\f(\r(x＋a2＋y2),\r(x＋c2＋y2))eq\f(PA2,PF2)＝eq\f(x＋a2＋b2－x2,x＋c2＋b2－x2)＝eq\f(2ax＋a2＋b2,2cx＋c2＋b2)＝eq\f(2ax＋2a2－c2,2cx＋a2).(*)由上c2－a2＋ac＝0，得a2－c2＝ac，所以eq\f(2a2－c2,a2)·eq\f(c,a)＝eq\f(a2＋ac,a2)·eq\f(c,a)＝eq\f(a＋c,a2)·c＝eq\f(ac＋c2,a2)＝eq\f(a2,a2)＝1，從而eq\f(2a2－c2,a2)＝eq\f(a,c).代入(*)式得eq\f(PA2,PF2)＝eq\f(a,c)＝eq\f(\r(5)＋1,2)，所以存在滿足題意的橢圓C，這個常數為eq\r(\f(\r(5)＋1,2))，橢圓C的離心率為e＝eq\f(－1＋\r(5),2).5．已知平面內一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y軸的距離的差等于1.(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設l1與軌跡C相交于點A，B，l2與軌跡C相交于點D，E，求eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))的最小值．解(1)設動點P的坐標為(x，y)，由題意有eq\r(x－12＋y2)－|x|＝1.化簡得y2＝2x＋2|x|.當x≥0時，y2＝4x；當x<0時，y＝0.所以，動點P的軌跡C的方程為y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．(2)由題意知，直線l1的斜率存在且不為0，設為k，則l1的方程為y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個實根，于是x1＋x2＝2＋eq\f(4,k2)，x1x2＝1.因為l1⊥l2，所以l2的斜率為－eq\f(1,k).設D(x3，y3)，E(x4，y4)，則同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.故eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝(eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→)))·(eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→)))＝eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝|eq\o(AF,\s\up6(→))|·|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FD,\s\up6(→))|·|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(4,k2)))＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1,k2)))≥8＋4×2eq\r(k2·\f(1,k2))＝16.當且僅當k2＝eq\f(1,k2)，即k＝±1時，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))取最小值16.6．在平面直角坐標系xOy中，動點P在橢圓C1：eq\f(x2,2)＋y2＝1上，且到橢圓C1的右焦點的距離與到直線x＝2的距離之比等于橢圓的離心率．動點Q是動圓C2：x2＋y2＝r2(1<r<2)上一點．(1)設橢圓C1上的三點A(x1，y1)，B(1，eq\f(\r(2),2))，C(x2，y2)與點F(1,0)的距離依次成等差數列，線段AC的垂直平分線是否經過一個定點？請說明理由；(2)若直線PQ與橢圓C1和動圓C2均只有一個公共點，求P，Q兩點的距離PQ的最大值．解(1)橢圓C1：eq\f(x2,2)＋y2＝1的離心率e＝eq\f(\r(2),2)，右焦點為(1,0)，由題意可得AF＝eq\f(\r(2),2)(2－x1)，BF＝eq\f(\r(2),2)(2－1)，CF＝eq\f(\r(2),2)(2－x2)．因為2BF＝AF＋CF，所以eq\f(\r(2),2)(2－x1)＋eq\f(\r(2),2)(2－x2)＝2×eq\f(\r(2),2)(2－1)，即得x1＋x2＝2.因為A，C在橢圓上，故有eq\f(x\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),2)＋yeq\o\al(2,2)＝1，兩式相減，得kAC＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝－eq\f(x2＋x1,2y2＋y1)＝－eq\f(1,y2＋y1).設線段AC的中點為(m，n)，而m＝eq\f(x1＋x2,2)＝1，n＝eq\f(y1＋y2,2)，所以與直線AC垂直的直線斜率為k′＝y2＋y1＝2n.則線段AC的垂直平分線的方程為y－n＝2n(x－1)，即y＝n(2x－1)經過定點(eq\f(1,2)，0)．即線段AC的垂直平分線過一個定點(eq\f(1,2)，0)．(2)依題意得，直線PQ的斜率顯然存在，設直線PQ的方程為y＝kx＋t，設P(x′1，y′1)，Q(x′2，y′2)，由于直線PQ與橢圓C1相切，點P為切點，從而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y′1＝kx′1＋t，,\f(x′\o\al(2,1),2)＋y′\o\al(2,1)＝1，))得(2k2＋1)x′eq\o\al(2,1)＋4ktx′1＋2(t2－1)＝0.故Δ＝(4kt)2－4×2(t2－1)(2k2＋1)