第1頁/共1頁2022-2023學年高二元月期末考試數學試卷本試卷全卷滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區戰均無效．4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.經過點且與直線平行的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據平行得到斜率，結合點坐標得到答案.【詳解】直線的斜率為，兩直線平行，故所求直線方程為.整理得：.故選：D2.焦點在軸的正半軸上，且焦點到準線的距離為的拋物線的標準方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接由焦點位置及焦點到準線的距離寫出標準方程即可.【詳解】由焦點在軸的正半軸上知拋物線開口向上，又焦點到準線的距離為，故拋物線的標準方程是.故選：A.3.已知空間向量，，，若向量共面，則實數（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意和空間向量的基本定理列出方程組，解之即可.【詳解】因為三向量、、共面，設，其中、，則，解得.故選：C.4.在棱長為2的正方體中，點E為棱的中點，則點到直線BE的距離為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標系，得到各點坐標，再根據向量公式計算得到距離.【詳解】如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標系.則，，，，，，點到直線BE的距離為.故選：C.5.曲線與直線的公共點的個數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據以及分別得曲線為橢圓以及雙曲線的一部分，根據直線與其關系即可求解.【詳解】當時，曲線的方程為，表示橢圓的上半部分含與軸的交點，此時曲線與的交點為(0,3),(4,0),當時，曲線的方程為，表示雙曲線在軸下方的部分，其一條漸近線方程為：，故直線與無交點，曲線與直線的公共點的個數為.故選：B6.已知雙曲線的左焦點為，M為雙曲線C右支上任意一點，D點的坐標為，則的最大值為（）A.3 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線定義把轉化為到右焦點的距離，然后由平面幾何性質得結論．【詳解】設雙曲線C的實半軸長為，右焦點為，所以，當且僅當M為的延長線與雙曲線交點時取等號.故選：C．7.為建設宜居之城，某市決定每年按當年年初住房總面積的建設新住房，同時拆除面積為單位：的舊住房已知該市年初擁有居民住房的總面積為單位：，則到年末，該市住房總面積為（）參考數據：，A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意可得，根據等比數列的求和公式即可化簡求值.【詳解】由題意，年末的住房面積為，年末的住房面積為，年末的住房面積為，……年末的住房面積為.到年末，該市住房總面積為.故選：A8.已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，，離心率分別為，，點為橢圓與雙曲線在第一象限的公共點，且.若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據橢圓和雙曲線定義可得，，進而在焦點三角形中由余弦定理即可得，由即可得的范圍.【詳解】由題意設焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸長為，在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，由橢圓定義，可得，，又，由余弦定理得，可得，得，即，可得，即，又時，可得，即，亦即，得.故選：B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設“第一枚正面朝上”為事件A，“第二枚反面朝上”為事件，“兩枚硬幣朝上的面相同”為事件，則（）A. B.事件A與事件互斥C.事件與事件對立 D.事件A與事件相互獨立【答案】AD【解析】【分析】對A：根據古典概型的計算公式分析運算；對B：根據互斥事件的概念分析判斷；對C：根據對立事件的概念分析判斷；對D：根據獨立事件的概念分析判斷.【詳解】對A：由題意可知：一枚硬幣有兩個等可能結果：正面朝上、反面朝上，則，兩枚硬幣有兩個等可能結果：正正、正反、反正、反反，則，A正確；對B：事件A與事件可以同時發生，即事件A與事件不是互斥，B錯誤；對C：事件對立事件包含兩種情況：正反、反正，事件僅有一種情況：正反，故事件與事件不對立，C錯誤；對D：∵，故事件A與相互獨立，D正確.故選：AD.10.已知數列為等差數列，，，其前項和為，則（）A.數列的公差為B.時，取得最大值C.D.數列中任意三項均不能構成等比數列【答案】ACD【解析】【分析】根據等差數列基本量的計算可判斷AB,根據求和公式可判斷C，根據等比中項的關系，結合不等式即可求解D.【詳解】對于,設公差為則，解得，選項正確；對于B,，，，當時，取得最大值，B選項錯誤.對于C,，C選項正確.對于D,假設中三項，，成等比數列，則有；整理得：，由①知，將其代入中得這與矛盾，故假設不成立，數列中任意三項均不能構成等比數列，D選項正確.故選：ACD11.已知圓和圓，則（）A.直線與圓有兩個公共點B.圓被直線截得的弦長可能為C.圓心直線上D.圓與圓有且僅有條公切線【答案】AC【解析】【分析】確定直線過定點且定點在圓內得到A正確；計算最短弦長為得到B錯誤；計算圓心代入直線方程得到C正確；舉反例得到D錯誤，得到答案.【詳解】對選項A：直線即，過定點，則，即點在圓內，因此直線與圓有兩個公共點，正確；對選項B：由選項A可知當垂直于直線時，所截得的弦長最短且為，因此圓被直線截得的弦長不可能為，錯誤；對選項C：圓的圓心為，則，即圓心坐標滿足方程，即圓心在直線上，正確；對選項D：取，圓的方程為，即，其圓心為，半徑為，，此時圓與圓外切，有條公切線，錯誤.故選：AC12.若數列滿足，，則稱該數列為斐波那契數列如圖所示的“黃金螺旋線”是根據斐波那契數列畫出來的曲線圖中的長方形由以斐波那契數為邊長的正方形拼接而成，在每個正方形中作圓心角為的扇形，連接起來的曲線就是“黃金螺旋線”記以為邊長的正方形中的扇形面積為，數列的前項和為，則（）A. B.是奇數C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據遞推公式求出即可判斷A；觀察數列的奇偶特點即可判斷B；根據遞推公式，結合累加法即可判斷C；根據遞推公式可得，結合累加法計算即可判斷D.【詳解】對于A，由，且，可得斐波那契數列：，，，，，，，，故故A正確；對于B：由斐波那契數列：，，，，，，，，，，，，可得每三個數中前兩個為奇數，后一個偶數，且，所以是奇數，故B正確；對于C：因為，相加可得：，故C錯誤；對于D：因為斐波那契數列總滿足，且，所以，，，類似的有，，其中累加得，，故：，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知數列為正項等比數列，且，則____.【答案】【解析】【分析】根據等比數列性質得到，計算得到答案.【詳解】數列為正項等比數列，..故答案為：14.已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且過點，則雙曲線的標準方程為____.【答案】【解析】【分析】設雙曲線方程為，代入點坐標，計算得到答案.【詳解】雙曲線即，雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，所以雙曲線的方程可設為：，代入點的坐標，可得，則雙曲線的方程為，即雙曲線的標準方程為.故答案為：15.如圖所示，在棱長均為的平行六面體中，，點為與的交點，則的長為_____.【答案】【解析】【分析】設，，為基底，，，平方計算得到答案.【詳解】設，，為基底，，則，所以，故.故答案為：16.已知為坐標原點，直線與拋物線交于，兩點，且，點為點在直線上的射影，則點到直線的距離的最大值為______.【答案】【解析】【分析】設直線：，聯立方程得到根與系數的關系，根據垂直計算得到，考慮和兩種情況，得到的軌跡，計算距離得到答案.【詳解】由題可知直線斜率存在，設直線：，，，聯立方程：，整理得：，，，，，得或（舍），滿足，故直線：.當時，點，點到直線為；當時，直線，又直線：，消去整理得：，，圓心為，半徑，點到直線距離的最大值為圓心到直線的距離加半徑，即，綜上所述：點到直線的距離的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.為弘揚憲法精神，某校舉行憲法知識競賽.在初賽中，已知甲同學晉級的概率為，乙同學晉級的概率為，甲、乙兩人是否晉級互不影響.（1）求甲、乙兩人同時晉級的概率；（2）求甲、乙兩人中至少有一人晉級的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據相互對立事件的乘法計算公式即可求解，（2）根據相互對立事件的乘法公式以及對立事件的概率即可求解.【小問1詳解】設“甲晉級”為事件，“乙晉級”為事件，設“甲、乙兩人同時晉級”為事件，則；【小問2詳解】設“甲、乙兩人中至少有一人晉級”事件，由題事件，相互獨立，則，也相互獨立，所以，則.18.已知數列的前n項和為，且．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前n項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用公式求解；（2）根據第（1）的結論，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】因為①，所以時，②，由①②相減，可得，，當時，，滿足，故的通項公式為，．【小問2詳解】因為，所以③，則④，由③-④，得，∴，∴.19.已知點和直線點是點A關于直線的對稱點.（1）求點的坐標；（2）為坐標原點，且點滿足.若點的軌跡與直線有公共點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設點，根據點關于直線對稱可列出方程，聯立解得答案；（2）設點，根據求得P點軌跡方程，根據點的軌跡與直線有公共點，可知圓心到直線距離小于等于半徑，解不等式可得答案.【小問1詳解】設點，由題意知線段的中點在直線上，故：，①又直線垂直于直線，故，②聯立①②式解得：，故點的坐標為；【小問2詳解】設點，由題，則，故，化簡得，又直線與圓有公共點，故，解得

.20.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且，E是棱BC上的動點，F是線段PE的中點．（1）求證：平面ADF；（2）是否存在點E，使得平面DEP與平面ADF所成角的余弦值為？若存在，請求出線段BE的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明推理作答.（2）由（1）中坐標系，求出平面DEP與平面ADF的法向量，再利用面面角的向量求法計算判斷作答.【小問1詳解】在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，以A為原點建立空間直角坐標系，如圖，，設，，則，，，于是，，有，，又，平面，平面，因此平面.【小問2詳解】由（1）平面ADF的法向量為，又，，設平面的法向量為，則，不妨令，則，故平面的一個法向量為，設平面與平面所成角為，則，解得或，此時點在線段的延長上，所以，不存在這樣的點.21.在數列中，已知，.（1）證明：數列為等比數列；（2）記，數列的前項和為，求使得的整數的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）5【解析】【分析】（1）計算，，得到等比數列的證明.（2）確定，，根據裂項相消法得到，代入不等式計算得到答案.【小問1詳解】，得，，，故數列是以為首項，為公比的等比數列；小問2詳解】，故，故，，，即，即，，故，故使得的最大整數為.22.已知平面內點P與兩定點連線的斜率之積等于．（1）求點P的軌跡連同點所構成的曲線C的方程；（2）設不過坐標原點且不垂直于坐標軸的直線l與曲線C交于A、B兩點，點M為弦AB的中點．①求證：直線OM與直線l的斜率之積為定值；②過點M作直線l的垂線交曲線C于D、E兩點，點N為弦DE的中點．設直線ON與直線l交于點T，若有，求的最大值．【答案】（1）點的軌跡方程為，曲線的方程為.（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）由求軌跡的方程的步驟結合兩點間的斜率公式，即可求得（2）①設，代入橢圓方程利用點差法，即可求出直線OM與直線l的斜率之積為定值.②結合①中的結論，結合兩條直線的垂直條件求出點N的縱坐標，通過直線ON與直線聯立方程，求出交點T的縱坐標，通過將轉化，通過基本不等式，求得的最大值.小問1詳解】設點為軌跡上任意一點，由題意得，則，，，故點的軌跡方程為，所以點P的軌跡連同點所構成的曲線C的方程為.【小問2詳解】①