第九章拉普拉斯變換(TheLaplacetransformation)第一講授課題目：§9.1拉普拉斯變換的概念§9.2拉普拉斯變換的性質教學內容：1、拉普拉斯變換的定義2、 拉普拉斯變換存在條件3、 拉普拉斯變換的性質學時安排：2學時教學目標：1、正確理解拉普拉斯變換的定義2、 了解拉普拉斯變換存在條件3、 掌握拉普拉斯變換的性質教學重點：1、拉普拉斯變換的定義2、卷積和卷積定理教學難點：拉普拉斯變換的性質教學方式：講授法、圖形類比法、演繹法作業布置：習題九1-5板書設計：一、拉普拉斯變換的定義二、 拉普拉斯變換存在條件三、 拉普拉斯變換的性質主要參考資料：1、《積分變換》，南京工學院數學教研室，高等教育出版社，1987.2、 《復變函數與積分變換學習輔導與習題全解》，高等教育出版2003.3、 《復變函數與積分變換》，賀才興編著，遼寧大學出版社，2000.課后記：1、理解了拉普拉斯積分變換的定義2、 拉普拉斯積分變換存在條件，不能正確掌握3、 掌握了拉普拉斯積分變換的性質教學過程§9.1拉普拉斯變換的概念(TheconceptionandpropertyoftheLaplacetransformation)傅氏變換具有廣泛的應用，特別是在信號處理領域，直到今天它仍然是最基本的分析和處理工具，甚至可以說信號分析本質就是傅里葉積分變換.但任何東西都有局限性，傅里葉變換也一樣，人們對傅里葉積分變換的局限性做了各種各樣的改進.一方面提高它對問題的刻畫能力，如窗口傅里葉變換、小波變換等；另一方面，擴大它本身的使用范圍，比如本章要介紹的拉普拉斯變換就是.我們知道傅里葉變換對函數有一定的要求，即滿足狄利克雷條件，還要求在(-8,+8)上絕對可積，才有古典意義下的傅里葉積分變換，而絕對可積是一個很強的條件，即使一些簡單函數，有時也不能滿足這個條件，引入狄拉克函數后，傅里葉積分變換應用廣泛了很多，但對于指數增長的函數仍然不能使用，另外傅里葉積分變換必須在整個實數軸上定義，但在工程實際問題中，許多以時間為自變量的函數，就不能在整個實數上定義，因此傅里葉積分變換在處理這樣的問題時，有一定的局限性.19世紀末英國工程師赫維賽德發明了一種算子法，最后發展成了今天的拉普拉斯積分變換，而其數學上的根源還是來自拉普拉斯，所以稱其為拉普拉斯積分變換.一、拉普拉斯變換的定義(DefinitionwhichRupprathvaries)定義(Definition)設函數f(t)是定義在［0,+8)上的實值函數，如果對于復參數s二。+加，積分F(s)=j+8f(t)e-stdt0在復平面s的某一域內收斂，則稱F(s)為f(t)的拉普拉斯變換，記為r[f(t)]=F(s)=f+-f(t)e-stdt，稱f(t)為F(s)的拉普拉斯逆0變換，記為f(t)=L-i[F(s)].，F(s)稱為像函數，f(t)稱為原像函數事實上，我們從下面可以看出傅里葉積分變換和拉普拉斯積分變換的關系：F[f(t)u(t)e-Pt]=J+8f(t)u(t)eMe-^dt=f+wf(t)e-(")tdt一3 0令s=p+jrn，則刊f(t)u(t)e-Pt]=J+8f(t)e-stdt=F(s)=L[f(t)].0由此可以知道，f(t)的拉普拉斯積分變換就是f(t)u(t)e-Pt的傅里葉積分變換，首先通過單位階躍函數u(t)使函數f(t)在t<0的部分為0，其次對函數f(t)在t>0的部分乘一個衰減的指數函數e-Pt以降低其增長速度，這樣就有希望使函數f(t)u(t)e-Pt滿足傅里葉積分變換的條件，從而對它進行傅里葉積分變換.例9.1分別求出單位階躍函數u(t)，符號函數sgnt，f(t)=1的拉普拉斯積分變換.TOC\o"1-5"\h\z解：L[f(t)]=F(s)=f+wf(t)e-stdt=J+8e-stdt=1，(Res>0)0 0 sL[u(t)]=J+"u(t)e-stdt=J+"e-stdt=—，(Res>0)0 0 sL[sgnt]=J+"sgnte-stdt=J+"e-stdt=—，(Res>0)0 0 s例9.2求指數函數f(t)=ekt的拉氏變換(k為實數).+3L[f(t)]=J+3ekte—stdt=J+3e—(s—k)tdt=J+3e—(s—k)tdt=———-e—(s—k)t0 0 0 s—k+31所以L[ekt]=——(Re(s)>k).s—k二、拉普拉斯積分變換存在條件(Laplasseintegralexistconditions)拉氏變換的存在定理(Laplassetheexistenceoftransformationtheorems): 若函數f(t)滿足:在t>0的任一有限區間上分段連續；當tT+8時，f(t)的增長速度不超過某一指數函數，即存在常數M>0及c>0,使得If(t)l<Meet,(0<t<+3)則f(t)的拉氏變換F(s)=f+3f(t)e-stdt在半平面Re(s)>e上一定0存在，并且在Re(s)>e的半平面內，F(s)為解析函數.證明設s=&+j①，則Ie-st|=e-&，所以IF(s)l=lJ+3f(t)e-stdtI<MJ+3e-(P-e)tdt

00由Re(s)=P>e，可以知道右端積分在上半平面上收斂.關于解析性的證明省略.注1:大部分常用函數的拉普拉斯變換都存在(常義下)；注2：存在定理的條件是充分但非必要條件.對于任意函數來說，其拉普拉斯變換有三種情況，或者不存在，或者在整個復平面上存在，或者在一個半平面內存在.

§9.2拉普拉斯變換的性質(Changethenatureofthelaplasse)"、拉普拉斯變換的性質(Changethenatureofthelaplasse)1、線性性質(Linearnature)L[af(t)±Pg(t)]=aL[f(t)]±PL[g(t)] ；L-i[af(t)±Pg(t)]=aL-i[f(t)]±PL-i[g(t)]2、相似性質(Similarnature)設L[f(t)]=F(s)，則對任意常數a>0，有L[f(at)]=1F(蕓avaJ證明：令x=at，則。L[f(at)]=「8f(at)e-stdt=-f+Mf(x)e-:xdx=1Ff-

0 a0 aVaJ例9.3求cos?t的拉普拉斯積分變換.解 ：r1/ 1 1/1I\SL[cos①t]=L[—(ej?t+e-j?t)]=—(l[ej?t]+l[e-j?t])=—/ + )= 2 2' 2'sf?s+j? s2+①2例9.4已知F例9.4已知F(s)=5s-1 ，(s+1)(s—2)求L-1[F(s)]..5s—1 2 3 11L-1[F(s)].=L-1[―-]=L-1[―-+―]=2l-1[—-]+3l-1[—]=2e-1+3(s+1)(s—2)s+1s—2)s+1s—23、微分性質(Differentialnature)(1)設L[f(t)]=F(s)，則有L[f'(t)]=sF(s)-f(0)，一般地

有￡[/(?)(0]=s〃尸(s)—S〃Tf(0)—S〃-2f，(0)—-/(n-l)(0)證明利用分部積分方法和拉普拉斯積分變換的定義.卜戶⑴…而二了⑴牛，I-+J+oo/(f)^d^F(5)-f(0)

0 0 0用數學歸納法可以得到(〃)Q)]=snF(s)-if(0)-gqf，(0)--f(〃-1)(0)此性質可以使我們有可能將f⑴的微分方程轉化為尸(S)的代數???方程(2)設￡[f(0]=fG),則有F ；一般地有R〃)G)=(-1>4^/(0].證明：尸心)=』+"(。(八。也=一「8丁(。八浦=—應"用0 0數學歸納法可以得到Fs)G)=(-l>4^/(0].可以用來求的拉普拉斯積分變換.例9.5求解微分方程y(0+okyQ)=0,y(0)=0,y(0)=co?解對方程的兩邊做拉普拉斯積分變換，可以得到s2Y(s)-sy(0)-y(0)+co2/($)=0得到Y(s)= ,y(t)=G[P(s)]=A[ ]=sincotS2+C02 S2+C02例9.6求的拉普拉斯積分變換.解設 則/(m)(0=m!,且故L[tm]=—L[m!]=匹./(0)=7'(0)/(0)=7'(0)=f(777-1)(0)=0Sm Sm+1例9.7求函數f(t)=tsinst的拉普拉斯積分變換.解L[f(t)]=卬湖期=一.sinst]}'=-{鹽)'=(S22^例9.8求函數f(t)=12cos21的拉普拉斯積分變換.解L[f(t)]=L[t2cos21]=-L[t2(1+cos2t)]=2d2,1 1d21s、2(s6+24s2+32) L[(1+cos2t)]= (-+ )=— ds2 2ds2SS2+4 S3(S2+4)34、積分性質(Integralnature)(1)設L[f(t)]=F(s)，則有L[ftf(t)dt]=1F(s)，一般地有0 sL[ftdtftdtftdtftf(t)dt]=—F(s).0 0 0 0 Sn證明設g(t)=ftf(t)dt，則g(t)=f(t)，且g(0)=0，利用0???微分性質可以得到L[f(t)]=L[g'(t)]=SL[g(t)]-g(0)=SL[g(t)]，所以L[ftf(t)dt]=1F(s).0s用數學歸納法可以得到L[ftdtftdtftdtftf(t)dt]=—F(s)0 0 0 0 Sn(2)設L[f(t)]=F(s)，則有。F(s)ds=l[史)]，一般地有s t???卜dsf。dsf8dsf"F(s)ds=L[如].sss s tntn可以用來求Mtn證明「F(s)ds=「J+8f(t)e-stdt]ds=J+8f(t)["e-stds]=f+rof(t)[-l?]dt=f+rof(t)[M]dt=L[業]s s0 0 s 0 ts 0 t t反復利用上面可以得到J"dsfwdsfwds「F(s)ds=￡[典)].sss s tn例9.9求函數f(t)=業的拉普拉斯積分變換.t解由于L[sint]=—-—，貝。L^——]=J"—-—ds=arccotss2+1 tss2+1令s=0，有J+8sintdt=-.0t2由此可以知道利用拉普拉斯積分變換，可以計算一些反常積分.例9.10計算下列積分J心e-3tcos2tdt0J+8^OS!e-1dt0t解(1)L/(cos2t)]=^—，J+"e-3tcos2tdt=—^l=—s2+4 0 s2+4s=313(2)L[J*t]=J"l[1c^o^st]ds=J"—1—ds=Ln^2^1ts ss(s2+1) 2s2令s=1，則J+"1-coSte-tdt=iln20t 25、延遲性質(Delaynature)設L[f(t)]=F(s)，當t<0時f(t)=0，則對任一非負實數t有LIf(t-t)]=e-stL[f(t)]=e-stF(s).證明令t1=t-t，則L[f(t-t)]=J+"f(t)e-s(伊)dt=e-stL[f(t)]=e-stF(s)0 1 16、位移性質(Displacementnature)設L[f(t)]=F(s),則有L[e^tf(t)]=F(s-a),a為常數.證明Leatf(t)=J+"eatf(t)e-stdt=j+“f(t)e-(s-a)tdt=F(s—a).兀TOC\o"1-5"\h\z例9.11設f(t)=sint，求L[f(t )].2兀 兀 1力解L[f(t—-)]=L[sin(t—-)]= -e-2s2 2 s2+1例9.12求l-i[1-e-s].s-1解因為L-1[^—]=etu(t)s-1… 1 et-1一t>1所以L-1[ e-s]=et-1u(t—1)=\s—1 0,t<1二、卷積和卷積定理(Rollsandrollsatheorem)1、 卷積的定義(Rolleduptothedefinition):f、(t)*孔(t)=Jtf^)f2(t-T)dT,結合率、交換律和分配率仍然成立.2、 卷積定理(Rolledatheorem):設L[f(t)]=F(s),L[f^(t)]=F(s)，則有L[f(t)*f(t)]=F(s)F(s);L-1[F(s)F(s)]=f(t)*f(t)TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2 1 2 1 2證明由定義L[f(t)*f(t)]=J+"[f(t)*f(t)]e-stdt=J+"[Jtf(T)f(t-T)dT]e-stdt1 2 0 1 2 0 01 2然后交換二重積分的次序，令t]=t-TL[f(t)*f(t)]=J+"f(T)[Jtf(t-T)e-stdt]dT1 2 0 1 02

=J心f(T)[J+8f(t)e-ste-st1dt]&=F(s)J+8f(t)e質&=F(s)F(s)

0 1 0 21 1 2 0 1 1 2例9.14求函數f(t)=t與f2(t)=sint的卷積.<?f】(t)*f2(t)=Jtfi(T)f(t-T)dT=ttsin(t-t)dT=tttsin(t-t)dT=tcos(t-t)|t-Jtcos(t-t)dT=t一sint09292例9.15已知F(s)=-——代,求f(t)=L-i[F(s)].解由于期=f=土*己，E左］.=COst所以f(t)=L-1[F(s)].=cost*cost=Jtcostcos(t-t)dT=LJt[cost+cos(2t-1)dT=—(tcost+sint)0 20 2拉氏變換在線性系統分析中的應用，要涉及到響應、傳遞函數等專業術語，這在后面專業課中會詳細討論.在運用拉普拉斯積分變換解決具體問題時，在求的像函數后，常常需要進一步求得原像函數.從前面我們知道可以利用拉普拉斯積分變換的性質并根據一些已知的變換來求像函數的原像，其中對像函數進行分解和分離非常關鍵，對于已知的變換可以從拉普拉斯積分變換表中查得.這是一種很常用的方法，但使用范圍有限，下面介紹一般的求拉普拉斯逆變換的方法.三、周期函數的像函數(Cyclefunctionasafunction)設f(t)是［0,+8］內以T為周期的函數，且f(t)在一個周期內1 …逐段光滑，則L［f(t)］=^-—--\Tf(t)e-stdt.證明：由定義有L[f(t)]=J+"(t)e-stdt=\Tf(t)e-stdt+「"(t)e-碩，對第二個積TOC\o"1-5"\h\z0 0 T分令t廣t-T由于f(t)是[0,+8]內以T為周期的函數，則L[f(t)]=J+8f(t)e-stdt=fTf(t)e-stdt+J*8f(t)e-%-Tdt=JTf(t)e-stdt+e-tl[f(t)]0 0 0 1 1 0,, 1 …故￡[f(t)]=1Z7；7'f(t)e-stdt.例9.13求全波整流后的正弦波f(t)=1sinw11的像函數.解f(t)的周期是-，故①L[f(t)]=削sinwtI]=-^J『sin咖-Mt= -?e-"(一ssinWt-WcosWt)It=1—e-sT0 1—e-sT s2+w2 0w1+e-stw,s兀 ? = ?cth——s2+w21—e-sTs2+w2 2w2 1§9.3拉普拉斯逆變換 §9.4拉普拉斯逆變換的應用及綜合舉例1、反演積分公式 2、利用留數計算反演積分3、求解微分方程組 4、綜合舉例1、正確理解反演積分公式 2、了解拉普拉斯積分變換應用3、掌握利用留數計算反演積分拉普拉斯逆變換的應用及綜合舉例拉普拉斯逆變換講授法、圖形類比法、演繹法一、 反演積分公式二、 利用留數計算反演積分三、 求解微分方程組四、 綜合舉例《積分變換》，南京工學院數學教研室，高等教育出版社，1987.《復變函數與積分變換學習輔導與習題全解》，高等教育出版2003.《復變函數與積分變換》，賀才興編著，遼寧大學出版社，2000.不能靈活運用拉普拉斯逆變換解決實際問題第二講授課題目：§9.3拉普拉斯逆變換§9.4拉普拉斯逆變換的應用及綜合舉例主要內容：1、反演積分公式2、 利用留數計算反演積分3、 求解微分方程組4、 綜合舉例學時安排：2學時教學目標：1、正確理解反演積分公式2、 了解拉普拉斯積分變換應用3、 掌握利用留數計算反演積分教學重點：拉普拉斯逆變換的應用及綜合舉例教學難點：拉普拉斯逆變換教學方式：講授法、圖形類比法、演繹法作業布置：習題9.5、9.6、9.7板書設計：一、反演積分公式二、 利用留數計算反演積分三、 求解微分方程組四、 綜合舉例主要參考資料：1、《積分變換》，南京工學院數學教研室，高等教育出版社，1987.2、《復變函數與積分變換學習輔導與習題全解》，高等教育出版2003.3、《復變函數與積分變換》，賀才興編著，遼寧大學出版社，2000.課后記：不能靈活運用拉普拉斯逆變換解決實際問題教學過程：§9.3拉普拉斯逆變換(Revisitinginversetransform)一、 反演積分公式(Againsttheintegralequations)我們知道拉普拉斯積分變換和傅里葉積分變換有密切的關系，f(t)的拉普拉斯積分變換其實就是f(t)u(t)e-Pt的傅里葉積分變換，F(s)=F(P+加)二』+8f(t)u(t)e-Pte"t，這樣我們可以-8得到1?c .f(t)u(t)e-Pt=——』+F(P+j^)e-河dt2兀-8兩邊同乘以ePt，并且令s=P+js，貝Uf(t)u(t)=。F(s)estdt因此f(t)=2L-fP+>F(s)estdt,(t>0)這就是求像函數的原像的一般方法，我們成為反演積分公式，其中右端的部分稱為反演積分.積分路徑是一條直線Res=P，在此直線的右邊F(s)沒有奇點.我們可以考慮用孤立奇點留數理論來研究拉普拉斯逆變換.二、 利用留數計算反演積分(Ofstaywouldbecountedasoneagainst)定理(Theorem)9.2設F(s)除在半平面Res<c內有限個孤立奇點s,s,,s外是解析的，且當sT8時，F(s)-0，則有1 2nf(t)=-^』S"F(s)estds,(t>0)=￡Res[F(s)est,s]2丸j阡j 心 k即f(t)=￡Res[F(s)est,s],(t>0).k=1證明令曲線C=L+Cr,L在半平面Res<c內，Cr是半徑為R的半圓狐，當R充分大，可以使s,s,,s都在C內.由于1 2nF(s)est除孤立奇點s,s,,s外是解析的，故由留數定理有12nJCF(s)estds=”j|Res[F(s)est,sk]即:J吧8F(s)estds+jF(s)estds]=￡Res[F(s)es,s^]根據約當定理，可以知道limJF(s)estds=0RT8CR因此有f(t)=上js”F(s)estds,(t>0)=￡Res[F(s)est,s「.j阡j” k=1例9.16已知F(s)=—-1——，求f(t)=L-i[F(s)].(s-2)(s-1)2解由于s=2,s=1是像函數的簡單極點和二階極點，所以12f(t)=Res[F(s)est,2]+Res[F(s)est,1]=e21-et-tet另外還可以用部分分式和卷積的方法解答.§9.4拉普拉斯逆變換的應用及綜合舉例(Revisitinginversetransformtheapplicationandillustrate)一、利用拉普拉斯積分變換求微分方程(Useofthelaplasseintegraltothedifferentialequation)許多工程實際問題可以用微分方程來描述，下面舉例說明它在數學中的應用：用拉氏變換求解微分(常微分，偏微分)方程、積分方程.而拉普拉斯變換對于求解微分方程非常有效，首先通過拉普拉斯變換將微分方程化為像函數的代數方程，由代數方程求出像函數，然后再用拉普拉斯逆變換，就得到微分方程的解.例9.17求解微分方程x(t)-2x(t)+2x(t)=2e'cost,x(0)=x(0)=0.解令X(s)=￡[x(t)]，方程的兩邊取拉普拉斯積分變換，并利用初始條件，得s2X(S)-2sX(s)+2X(s)=2((-1)(S-1)2+1解此方程得2(s-1)[(s-1)2+1]2求拉普拉斯逆變換，可以得到x(t)=廠1]F(s)]=lT[ 2(s-1)]=et乙-1] 2s]=et?崛-^)']=tetfT1[—^]=tetsint[(s-1)2+1]2 (s2+1)2 s2+1 s2+1例9.18求解微分方程組尤(t)+x(t)_y(t)=e,x(0)=y(0)=11y(t)+3x(t)-2y(t)=2et解令X(s)=L[x(t)],Y(s)=L[y(t)],對方程的兩邊取拉普拉斯積分變換，并利用初始條件，可以得到'“、— 1sX(s)-1+X(s)-Y(s)=—-,s-11sY(s)-1+3X(s)-2Y(s)=2七求解方程組可以得到1X(s)=Y(s)=—^s-1因此x(t)=y(t)=e.例9.19設質量為m的物體靜止在原點，在t=0時受到x軸方向的沖擊力F08(t)，求物體的運動方程.解運動的微分方程初值問題為^^—x(t)=徐8(t),x(0)=x(0)=0dt2 0令X(s)=L[x(t)]，在方程兩邊取拉普拉斯積分變換，可以得到ms2X(s)=F0，艮口X(s)=業2ms故物體的運動方程為x(t)=—t.m二、綜合舉例(Comprehensiveexample)

例9.20求函數f(t)=rT，0-'-1的像函數.I0,t<0,t>1解將函數f(t)寫為f(t)=(1-1)u(t)+