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導數公式：

基本積分表：

三角函數的有理式積分：

2

22212211cos12sinudu

dxxtguuuxuux+==+-=+=，，，

a

xxa

aactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1

)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22=

'='?-='?='-='='2

2

22

11

)(11

)(11

)(arccos11

)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxx+-

='+=

'--

='-=

'?

?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C

axxaxdxCshxchxdxCchxshxdxC

aadxaC

xctgxdxxCxdxtgxxC

ctgxxdxxdxCtgxxdxxdxx

x

)ln(lncsccscsecseccscsinseccos222

22

22

2Ca

x

xadxCxax

aaxadxCaxa

xaaxdxCax

arctgaxadxC

ctgxxxdxCtgxxxdxC

xctgxdxCxtgxdx+=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln2

2222222?

????++-=-+-+--=-+++++=+-=

==-C

a

xaxaxdxxaC

axxaaxxdxaxC

axxaaxxdxaxIn

nxdxxdxInnn

narcsin22ln22)ln(221

cossin22

2222222

2222222

22

2

22

2

π

π

一些初等函數：兩個重要極限：

三角函數公式：·誘導公式：

·和差角公式：·和差化積公式：

2

sin

2sin2coscos2cos

2cos2coscos2sin

2cos2sinsin2cos

2sin

2sinsinβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβ

αβα-+=--+=+-+=--+=+α

ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg±?=

±?±=

±=±±=±1

)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(x

x

arthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxx

xx

xx

x-+=-+±=++=+-=

=+=

-=

11ln

21)

1ln(1ln(:2

:2:22）雙曲正切雙曲余弦雙曲正弦...590457182818284.2)11(lim1sinlim0==+=∞→→ex

xxxxx

·倍角公式：

·半角公式：

α

α

αααααααααααα

α

ααα

cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos12

2

cos12cos2cos12

sin-=

+=-+±=+=-=+-±

=+±=-±=ctgtg

·正弦定理：RC

c

BbAa2sinsinsin===·余弦定理：

Cabbaccos2222-+=

·反三角函數性質：arcctgxarctgxxx-=

-=

2

arccos2

arcsinπ

π

高階導數公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：

)

()

()()2()1()(0

)

()()

(!

)1()1(!2)1()

(nkknnnnn

kkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv+++--++''-+

'+===-∑

中值定理與導數應用：

拉格朗日中值定理。

時，柯西中值定理就是當柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf=''=

'=-)(F)

()

()()()()())(()()(ξξξ

曲率：

.

1

;0.)

1(limMsMM:.,13202a

KaKyydsdsKMMs

Ktgydxydss=='+''==??='?'???=

=''+=→?的圓：半徑為直線：點的曲率：弧長。：化量；點，切線斜率的傾角變點到從平均曲率：其中弧微分公式：α

ααα

α

α

ααααααααα23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg--=

-=-=α

α

αααααααααα

αα22222212221

2sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg-=

-=

-=-=-==

定積分的近似計算：

???+++++++++-≈

++++-≈

+++-≈

b

a

nnnb

a

nnb

anyyyyyyyyn

a

bxfyyyynabxfyyyn

a

bxf)](4)(2)[(3)(])(2

1

[)()()(1312420220110拋物線法：梯形法：矩形法：

定積分應用相關公式：

??--==?=?=b

a

badttfabdxxfabykr

m

mkFA

pFs

FW)(1)(1

,2221均方根：函數的平均值：為引力系數引力：水壓力：功：

空間解析幾何和向量代數：

。

代表平行六面體的體積為銳角時，

向量的混合積：例：線速度：兩向量之間的夾角：是一個數量軸的夾角。

是向量在軸上的投影：點的距離：空間ααθθθ??,cos)(][..sin,cos,,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(22

2

2

2

2

2

212121*********cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaak

ji

ba

cbbbaaababababababababaajajaajujzzyyxxMM

dz

y

xzyx

z

yx

z

y

x

zyx

z

yxzyxz

zyyxxzzyyxxuu

??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-==

（馬鞍面）雙葉雙曲面：單葉雙曲面：、雙曲面：

同號）

（、拋物面：、橢球面：二次曲面：

參數方程：其中空間直線的方程：面的距離：平面外隨意一點到該平、截距世方程：、普通方程：，其中、點法式：平面的方程：

1

1

3,,2221

1};,,{,1

30

2),,(},,,{0)()()(122

222222

22222

222

22220000002

220000000000=+-=-+=+=++???

??+=+=+===-=-=-+++++=

=++=+++==-+-+-c

zbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxpt

zznt

yymt

xxpnmstpzznyymxxCBAD

CzByAxdcz

byaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA

多元函數微分法及應用

z

yzxyxyxyxyxFFyz

FFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyy

v

dxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuux

v

vzxuuzxzyxvyxufzt

v

vztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzz

udyyudxxududyyzdxxzdz-

=??-=??=?

-??

-??=-==??+??=??+??=

==???

??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=

，，隱函數＋，，隱函數隱函數的求導公式：

時，，當

：

多元復合函數的求導法全微分的近似計算：全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

)

,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFv

Gu

GvF

u

F

vuGFJvuyxGvuyxFv

uvu???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=?

??==隱函數方程組：

微分法在幾何上的應用：

)

,,(),,(),,(30

))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()

()()

(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxy

xy

xxzxzzyzy-=

-=-=-+-+-==??

??

?====-'+-'+-''-=

'-='-??

?

??===、過此點的法線方程：：、過此點的切平面方程、過此點的法向量：，則：

上一點曲面則切向量若空間曲線方程為：處的法平面方程：在點處的切線方程：在點空間曲線

ωψ?ωψ?ωψ?方向導數與梯度：

上的投影。在是單位向量。方向上的

，為，其中：它與方向導數的關系是的梯度：在一點函數的轉角。

軸到方向為其中的方向導數為：沿任一方向在一點函數lyxflf

ljieeyxfl

fjy

fixfyxfyxpyxfzlxyf

xflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(??∴?+?=?=????+??=

=??+??=??=

????

?

多元函數的極值及其求法：

????

?????=--=====不確定時值時，無極為微小值為極大值時，

則：，令：設,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22

00002

0000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx

重積分及其應用：

??????

??????????????

????++-=++=++==>===

=

==

???

?????+???????+==='

D

zD

yD

xzyxD

yD

xD

D

yD

xD

DD

ayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyM

MydyxdyxxM

MxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf2

3

22

2

2

3

22

2

2

3

22

2

22D

2

2

)

(),()

(),()

(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(σ

ρσ

ρσ

ρσρσρσ

ρσ

ρσ

ρσ

ρθ

θθ，，，其中：的引力：軸上質點平面）對平面薄片（位于軸對于軸對于平面薄片的轉動慣量：平面薄片的重心：的面積曲面

柱面坐標和球面坐標：

???????????????????????????

?????????Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

ΩΩ+=+=+====

=

=

===???=??

???=====???

??===dv

yxIdvzxIdvzyIdv

xMdvzM

zdvyM

ydvxM

xdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfz

zryrxzyxrρρρρρρρ?θ??

θθ??θ?θ

??θ???θ?θ?θθθθθθθπ

πθ?)()()(1,1,1

sin),,(sin),,(),,(sinsincossinsincossin)

,sin,cos(),,(,),,(),,(,sincos22222220

)

,(0

2

2

2

，，轉動慣量：，其中重心：，球面坐標：其中：柱面坐標：

曲線積分：

??

?==+-+-+-+-nnnn

nnnnurrusuuuuuuuuuuu肯定收斂與條件收斂：

∑∑∑∑>≤-+++++++++時收斂

１時發散ｐ級數：收斂；

級數：收斂；

發散，而調和級數：為條件收斂級數。收斂，則稱發散，而假如收斂級數；絕對收斂，且稱為肯定收斂，則假如為隨意實數；，其中11

1

)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupn

nnn

冪級數：

01

0)3(lim

)3(111

1111

221032=+∞=+∞

===

≠==>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函數f(x)當x→x0時極限存在的充分須要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

普通的說，假如lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數y=f(x)的圖形水平漸近線。假如lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

4、極限運算法則定理有限個無窮小之和也是無窮小；有界函數與無窮小的乘積是無窮小；常數與無窮小的乘積是無窮小；有限個無窮小的乘積也是無窮小；定理假如F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

5、極限存在準則兩個重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→

∞)(1+1/x)x=1.夾逼準則假如數列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對于函數該準則也成立。

單調有界數列必有極限。

6、函數的延續性設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，假如函數f(x)當x→x0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數值f(x0)，即lim(x→

x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數f(x)在點x0處延續。

不延續情形：1、在點x=x0沒有定義；2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數在x0處不延續或間斷。

假如x0是函數f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱為跳動間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為其次類間斷點(無窮間斷點和震蕩間斷點)。

定理有限個在某點延續的函數的和、積、商(分母不為0)是個在該點延續的函數。

定理假如函數f(x)在區間Ix上單調增強或削減且延續，那么它的反函數

x=f(y)在對應的區間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調增強或削減且延續。反三角函數在他們的定義域內都是延續的。

定理(最大值最小值定理)在閉區間上延續的函數在該區間上一定有最大值和最小值。假如函數在開區間內延續或函數在閉區間上有間斷點，那么函數在該區間上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在閉區間上延續的函數一定在該區間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點定理)設函數f(x)在閉區間[a，b]上延續，且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)函數在該點處延續；函數f(x)在點x0處延續≠>在該點可導。即函數在某點延續是函數在該點可導的須要條件而不是充分條件。

3、原函數可導則反函數也可導，且反函數的導數是原函數導數的倒數。

4、函數f(x)在點x0處可微=>函數在該點處可導；函數f(x)在點x0處可微的充分須要條件是函數在該點處可導。

第三章中值定理與導數的應用

1、定理(羅爾定理)：假如函數f(x)在閉區間[a，b]上延續，在開區間(a，

b)內可導，且在區間端點的函數值相等，即f(a)=f(b)，那么在開區間(a，b)

內至少有一點ξ(a0，那么函數f(x)在[a，b]上單

調增強；(2)假如在(a，b)內f’(x)0時，函數f(x)在x0處取得微小值；駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。

7、函數的高低性及其判定：設f(x)在區間Ix上延續，假如對隨意兩點x1，x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區間Ix上圖形是凸的。

定理：設函數f(x)在閉區間[a，b]上延續，在開區間(a，b)內具有一階和二階導數，那么(1)若在(a，b)內f’’(x)>0，則f(x)在閉區間[a，b]上的圖

形是凹的；(2)若在(a，b)內f’’(x)可積。

定理：設f(x)在區間[a，b]上有界，且惟獨有限個間斷點，則f(x)在區間[a，b]上可積。

3、定積分的若干重要性質性質：假如在區間[a，b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0.

推論：假如在區間[a，b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推論：|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性質設M及m分離是函數f(x)在區間[a，b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，該性質說明由被積函數在積分區間上的最大值及最小值可以估量積分值的大致范圍。

性質(定積分中值定理)假如函數f(x)在區間[a，b]上延續，則在積分區間[a，b]上至少存在一個點ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。

4、關于廣義積分設函數f(x)在區間[a，b]上除點c(a可偏導。

5、多元函數可微的充分條件定理(充分條件):假如函數z=f(x，y)的偏導數存在且在點(x，y