1．隨機(jī)對比試驗(yàn)隨機(jī)對比試驗(yàn)的試驗(yàn)組由隨機(jī)選出的對象構(gòu)成，試驗(yàn)組的成員要接受某種特別的待遇或治療等，而對比組由那些沒有接受這種特別待遇的對象構(gòu)成，一個(gè)好的試驗(yàn)設(shè)計(jì)都應(yīng)當(dāng)有一個(gè)試驗(yàn)組和一個(gè)對比組．2．大事的性假如大事A1，A2，…，An是相互的，那么P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．3．兩個(gè)重要參數(shù)(1)隨機(jī)變量χ2：隨機(jī)變量χ2是用來推斷兩個(gè)因素在多大程度上相關(guān)的變量．性分析即計(jì)算χ2的觀測值，從而得到兩個(gè)因素在多大程度上相關(guān)．(2)相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)是用來刻畫兩個(gè)因素(變量)之間線性相關(guān)程度強(qiáng)弱關(guān)系的；其值的肯定值越大，其相關(guān)性就越強(qiáng)．4．一元線性回歸方程對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其線性回歸方程為：y＝bx＋a，其中b＝eq\f(sxy,s\o\al(2,x))，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).大事的性[例1]甲、乙、丙三人參與了一家公司的聘請面試，面試合格者可正式簽約．甲表示只要面試合格就簽約．乙、丙那么商定：兩人面試都合格就一同簽約，否那么兩人都不簽約．設(shè)每人面試合格的概率都是eq\f(1,2)，且面試是否合格互不影響．求：(1)至少有1人面試合格的概率；(2)沒有人簽約的概率．[解]用A，B，C分別表示大事甲、乙、丙面試合格．由題意知A，B，C相互，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,2).(1)至少有1人面試合格的概率是1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).(2)沒有人簽約的概率為P(eq\x\to(A)Beq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(B)P(eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(C)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(3,8).大事概率的求法：(1)在求概率問題中，常常遇到“恰有〞、“至少〞、“至多〞等術(shù)語，在此肯定要深刻理解其含義，分清它的各種狀況，以免計(jì)算錯(cuò)誤．(2)對于含有“至少〞、“至多〞的概率問題，我們通常轉(zhuǎn)化為求其對立大事的概率，即利用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))到達(dá)求解的目的．(3)假如大事A1，A2，…，An相互，對于公式P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An)中任意多個(gè)大事Ai換成其對立大事后等式仍成立．1．某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確答復(fù)者進(jìn)入下一輪考核，否那么即被淘汰．某選手能正確答復(fù)第一、二、三、四輪的問題的概率分別為0.6,0.4,0.5,0.2.各輪問題能否正確答復(fù)互不影響．(1)求該選手被淘汰的概率；(2)求該選手在選拔中至少答復(fù)了2個(gè)問題后最終被淘汰的概率．解：記“該選手能正確答復(fù)第i輪的問題〞為大事Ai(i＝1,2,3,4)，那么P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.(1)法一：該選手被淘汰的概率：P＝P(eq\x\to(A)1∪A1eq\x\to(A)2∪A1A2eq\x\to(A)3∪A1A2A3eq\x\to(A)4)＝P(eq\x\to(A)1)＋P(A1)P(eq\x\to(A)2)＋P(A1)P(A2)P(eq\x\to(A)3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(eq\x\to(A)4××××××0.8＝0.976.法二：P＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)·P(A4×××0.2＝1－0.024＝0.976.(2)法一：P＝P(A1eq\x\to(A)2∪A1A2eq\x\to(A)3∪A1A2A3eq\x\to(A)4)＝P(A1)P(eq\x\to(A)2)＋P(A1)P(A2)P(eq\x\to(A)3)＋P(A1)P(A2)·P(A3)P(eq\x\to(A)4××××××0.8＝0.576.法二：P＝1－P(eq\x\to(A)1)－P(A1A2A3A4×××6.性分析[例2]某高校為調(diào)查同學(xué)喜愛“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)〞課程是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了選修課程的55名同學(xué)，得到數(shù)據(jù)如下表：喜愛“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)〞課程不喜愛“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)〞課程總計(jì)男生20525女生102030總計(jì)302555推斷是否有99.5%的把握認(rèn)為喜愛“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)〞課程與性別有關(guān)？[解]由表中數(shù)據(jù)，得χ2＝eq\f(55×20×20－10×52,30×25×25×30)≈11.978>7.879，所以有99.5%的把握認(rèn)為喜愛“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)〞課程與性別有關(guān)．性分析是對兩個(gè)因素間是否存在相關(guān)關(guān)系的一種案例分析方法．利用假設(shè)檢驗(yàn)求隨機(jī)變量χ2的值能更精確地推斷兩個(gè)分類變量間的相關(guān)關(guān)系．2．在一次天氣惡劣的飛機(jī)航程中，有關(guān)人員調(diào)查了男女乘客在飛機(jī)上暈機(jī)的狀況：男乘客暈機(jī)的有24人，不暈機(jī)的有31人；女乘客暈機(jī)的有8人，不暈機(jī)的有26人．請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)判定：能否有90%的把握認(rèn)為在天氣惡劣的飛機(jī)航程中，男乘客比女乘客更簡單暈機(jī)？(假如χ2>2.706就有90%的把握認(rèn)為有關(guān))解：依據(jù)題意，列出2×2列聯(lián)表如下：暈機(jī)不暈機(jī)總計(jì)男乘客243155女乘客82634總計(jì)325789由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得χ2＝eq\f(89×24×26－31×82,55×34×32×57)≈3.689>2.706，因此，能以90%的把握認(rèn)為在天氣惡劣的飛機(jī)航程中，男乘客比女乘客更簡單暈機(jī).線性回歸分析[例3](全國卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測量其尺寸(單位：cm)．下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸抽取次序910111213141516零件尺寸經(jīng)計(jì)算得eq\x\to(x)＝eq\f(1,16)eq\i\su(i＝1,16,x)i＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,)xi－\x\to(x)2)＝eq\r(\f(1,16)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,16,x)\o\al(2,i)－16\x\to(x)2)))≈0.212,eq\r(\i\su(i＝1,16,)i2)≈18.439，eq\i\su(i＝1,16,)(xi－eq\x\to(x))(i－8.5)＝－2.78，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i＝1,2，…，16.(1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關(guān)系數(shù)r，并答復(fù)是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(假設(shè)|r|＜0.25，那么可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小)．(2)一天內(nèi)抽檢零件中，假如消失了尺寸在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能消失了特別狀況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．①從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？②在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估量這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差．(精確到0.01)附：樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，eq\r(0.008)≈0.09.[解](1)由樣本數(shù)據(jù)得(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關(guān)系數(shù)為r＝eq\f(\i\su(i＝1,16,)xi－\x\to(x)i,\r(\i\su(i＝1,16,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,16,)i2))＝eq\,×\r(16)×18.439)≈－0.18.由于|r|＜0.25，因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小．(2)①由于eq\x\to(x)＝9.97，s≈0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個(gè)零件的尺寸在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)以外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．②剔除離群值，即第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,15)(16×9.97－9.22)＝10.02，所以這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估量值為10.02，eq\i\su(i＝1,16,x)eq\o\al(2,i)＝16×2＋16×2≈1591.134，剔除第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為eq\f(1,15)2－15×2)≈0.008，所以這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估量值為eq\r(0.008)≈0.09.回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法，其步驟是先畫出散點(diǎn)圖，并對樣本點(diǎn)進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，在此根底上選擇適合的函數(shù)模型去擬合樣本數(shù)據(jù)，從而建立較好的回歸方程，并且用該方程對變量值進(jìn)行分析；有時(shí)回歸模型可能會(huì)有多種選擇．3．對一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程觀測了4次，得到如表所示的數(shù)據(jù)，那么刻畫y與x的關(guān)系的線性回歸方程為____________.x1234y1356解析：由表可知eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝2.5，eq\x\to(y)＝eq\f(1＋3＋5＋6,4)＝eq\f(15,4)，Sxy＝eq\f(17,8)，Seq\o\al(2,x)＝eq\f(5,4)，所以b＝eq\f(Sxy,S\o\al(2,x))＝1.7，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝eq\f(15,4)×2.5＝－0.5.故所求線性回歸方程為yx－0.5.答案：yx4．某市5年中的煤氣消耗量與使用煤氣戶數(shù)的歷史資料如下：年份20132014201520162017x用戶(萬戶)1y(萬立方米)6791112(1)檢驗(yàn)是否線性相關(guān)；(2)求回歸方程；(3)假設(shè)市政府下一步再擴(kuò)大兩千煤氣用戶，試猜測該市煤氣消耗量將到達(dá)多少？解：(1)作出散點(diǎn)圖(如圖)，觀看呈線性正相關(guān)．(2)eq\x\to(x)＝eq\,5)＝eq\f(7,5)，eq\x\to(y)＝eq\f(6＋7＋9＋11＋12,5)＝9，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝122222＝10.26，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1×××××12＝66.4