學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2.2建立概率模型［學習目標]1.根據需要會建立合理的概率模型,解決一些實際問題。2。理解概率模型的特點及應用．知識點古典概率模型1．在建立概率模型時,把什么看作是一個基本事件（即一個試驗結果）是人為規定的，如果每次試驗有一個并且只有一個基本事件出現，只要基本事件的個數是有限的，并且它們的發生是等可能的,就是一個古典概型．2．從不同的角度去考慮一個實際問題，可以將問題轉化為不同的古典概型來解決，而所得到的古典概型的所有可能結果越少，問題的解決就變得越簡單．3．在求古典概型的概率時，我們往往要列舉基本事件，樹狀圖法是進行列舉的一種常用方法．題型一用樹狀圖求概率例1甲、乙、丙、丁四名學生按任意次序站成一排，試求下列事件的概率：(1）甲在邊上；（2)甲和乙都在邊上；（3)甲和乙都不在邊上．解利用樹狀圖來列舉基本事件，如圖所示．由樹狀圖可看出共有24個基本事件．(1）甲在邊上有12種情形：(甲,乙，丙，丁），(甲,乙，丁，丙)，（甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁,乙），(甲，丁,乙,丙)，（甲，丁，丙，乙），（乙，丙，丁，甲），(乙，丁，丙，甲)，（丙，乙，丁，甲），(丙，丁，乙，甲），(丁，乙，丙,甲），（丁,丙，乙，甲）．故甲在邊上的概率為P＝eq\f（12,24)＝eq\f（1，2）。(2）甲和乙都在邊上有4種情形：(甲,丙,丁,乙)，(甲，丁，丙，乙)，（乙，丙,丁，甲),(乙，丁,丙,甲)，故甲和乙都在邊上的概率為P＝eq\f（4，24）＝eq\f(1，6）.(3）甲和乙都不在邊上，有4種情形：（丙，甲，乙，丁)，（丙，乙，甲，丁），(丁，甲，乙，丙)，（丁，乙，甲，丙）,故甲和乙都不在邊上的概率為P＝eq\f(4，24)＝eq\f(1，6）.反思與感悟對于一些比較復雜的古典概型問題，一般可以通過分類，有序地把事件包含的情況分別羅列出來，從而清晰地找出滿足條件的情況，在列舉時一定要注意合理分類,才能做到不重不漏，結果明了,而樹狀圖則是解決此類問題的較好方法．跟蹤訓練1甲、乙兩同學下棋,勝一盤得2分，和一盤各得1分，負一盤得0分．連下三盤,得分多者為勝，求甲獲勝的概率．解甲同學的勝負情況畫樹狀圖如下：每盤棋都有勝、和、負三種情況,三盤棋共有3×3×3＝27種情況．設“甲獲勝"為事件A，甲獲勝的情況有：三盤都勝，得6分有1種情況，兩勝一和得5分有3種情況,兩勝一負得4分有3種情況，一勝兩和得4分有3種情況，共10種情況．故甲獲勝的概率為P(A）＝eq\f(10,27）.題型二由列表法求概率例2某乒乓球隊有男乒乓球運動員4名、女乒乓球運動員3名，現要選一男一女兩名運動員組成混合雙打組合參加某項比賽，試列出全部可能的結果；若某女乒乓球運動員為國家一級運動員，則她參賽的概率是多少？解由于男運動員從4人中任意選取，女運動員從3人中任意選取,為了得到試驗的全部結果，我們設男運動員為A，B,C，D,女運動員為1，2,3,我們可以用一個“有序數對"來表示隨機選取的結果．如(A,1)表示：第一次隨機選取從男運動員中選取的是男運動員A，從女運動員中選取的是女運動員1，可用列表法列出所有可能的結果．如下表所示，設“國家一級運動員參賽”為事件E。女結果男123A（A，1）(A,2）(A，3）B(B,1）（B，2)(B,3)C（C,1）(C,2)(C,3）D（D,1）（D,2)（D,3）由上表可知，可能的結果總數是12個．設女運動員1為國家一級運動員，她參賽的可能事件有4個，故她參賽的概率為P(E)＝eq\f(4，12)＝eq\f(1，3).反思與感悟列表法的優點是準確、全面、不易漏掉，對于試驗的結果不是太多的情況，都可以采用此方法．跟蹤訓練2在一次數學研究性實踐活動中，興趣小組做了兩個均勻的正方體玩具,組長同時拋擲2個均勻的正方體玩具（各個面上分別標上數字1、2、3、4、5、6)后,讓小組成員求:(1）兩個正方體朝上一面數字相同的概率是多少？(2）兩個正方體朝上一面數字之積為偶數的概率是多少？解兩個玩具正面向上的情況如下表：1234561（1,1）（1，2)(1，3)（1,4)(1，5）（1，6）2(2,1)（2，2)（2,3)（2，4）（2，5）(2,6）3(3,1)（3,2)(3,3）（3，4)(3,5)(3，6）4(4，1）（4,2)（4,3)(4,4）（4，5)(4,6）5（5,1）(5,2)（5，3）（5，4）（5，5)(5,6）6（6，1)（6，2）(6,3）(6，4）(6，5)(6，6）(1）事件“兩個正方體朝上一面數字相同的情況”只有6種，故它的概率是eq\f(6,36)＝eq\f（1，6）.（2）事件“兩個正方體朝上一面數字之積為偶數的情況”有27種,如表中有下劃線的情況，即兩個正方體朝上一面數字之積為偶數的概率為eq\f(27，36）＝eq\f(3,4).題型三“有無放回"的古典概型例3從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續取兩次，求取出的兩件產品中恰有一件次品的概率．解每次取出一個,取后不放回地連續取兩次，其一切可能的結果組成的基本事件有6個，即（a1，a2)，(a1,b1)，（a2,a1)，（a2,b1)，(b1，a1)，(b1,a2）．其中小括號內左邊的字母表示第1次取出的產品，右邊的字母表示第2次取出的產品．總的事件個數為6，而且可以認為這些基本事件是等可能的．用A表示“取出的兩件中恰有一件次品”這一事件，所以A＝｛(a1，b1），(a2,b1)，（b1，a1)，（b1，a2)｝．因為事件A由4個基本事件組成，所以P(A）＝eq\f(4，6)＝eq\f（2,3）。反思與感悟“有放回”與“不放回”問題的區別在于：對于某一試驗，若采用“有放回”抽樣，則同一個個體可能被重復抽取，而采用“不放回"抽樣,則同一個個體不可能被重復抽取．跟蹤訓練3一個盒子里裝有完全相同的四個小球，分別標上1,2，3,4這4個數字，今隨機地抽取兩個小球，如果：(1)小球是不放回的;(2）小球是有放回的．求兩個小球上的數字為相鄰整數的概率．解設事件A：兩個小球上的數字為相鄰整數．則事件A包括的基本事件有(1,2),（2,3），(3，4),（4，3)，(3,2）,(2,1）共6個．（1）不放回取球時,基本事件有(1，2),（1,3）,(1,4),(2，1），（2，3），（2，4），（3,1），（3,2），(3,4)，(4,1）,（4，2)，（4，3）共12種．故P（A）＝eq\f（6，12）＝eq\f（1，2)。(2）有放回取球時，基本事件有(1,1)，(1，2），(1,3），(1,4）,(2，1),（2，2)，(2，3)，(2,4），(3，1），（3,2)，(3，3),(3，4），(4,1），（4，2），（4，3），（4,4）共16種．故P(A）＝eq\f(6，16）＝eq\f（3，8).1．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1，2),甲獲勝的概率是eq\f（1，3)，則甲不輸的概率為(）A.eq\f(5,6） B.eq\f（2，5)C.eq\f(1,6) D。eq\f（1,3)答案A解析先確定甲不輸包含的基本事件,再根據概率公式計算．事件“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝”這兩個互斥事件，所以甲不輸的概率為eq\f（1,2）＋eq\f(1，3)＝eq\f(5,6).2．一對年輕夫婦和其兩歲的孩子做游戲,讓孩子把分別寫有“1”“3”“1”“4”的四張卡片隨機排成一行,若卡片按從左到右的順序排成“1314”，則孩子會得到父母的獎勵，那么孩子受到獎勵的概率為(）A.eq\f（1,12) B.eq\f（5,12)C。eq\f（7,12） D。eq\f（5，6）答案A解析由題意知，基本事件個數有12個,滿足條件的基本事件就一個,故所求概率為P＝eq\f（1,12）.3．甲乙兩人隨意入住兩間空房，則兩人各住一間房的概率是(）A。eq\f(1，3) B.eq\f(1,4）C.eq\f(1,2) D。eq\f(2,3）答案C解析設兩間房分別為A，B,則基本事件有（A，A）,（A，B），(B，A)，(B,B）共計4種，則兩人各住一間房包含（A,B)，(B，A）兩個基本事件，故選C.4．從{1，2,3，4,5｝中隨機選取一個數為a，從｛1,2，3｝中隨機選取一個數為b,則b〉a的概率是（)A。eq\f(4,5) B.eq\f（3，5)C.eq\f(2,5) D。eq\f(1，5）答案D解析設Ω＝｛(a，b）|a∈{1,2，3，4,5｝，b∈{1,2，3}}，包含的基本事件總數n＝15，事件“b〉a”為{(1,2），(1，3），(2，3）}，包含的基本事件數m＝3.其概率P＝eq\f(3，15)＝eq\f（1，5).5．三張卡片上分別寫上字母E，E，B。將三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為________．答案eq\f（1,3）解析三張卡片的排列方法有EEB，EBE,BEE共3種，則恰好排成英文單詞BEE的概率為eq\f（1，3).1。建立概率模型的要求：把什么看作是一個基本事件（即一個試驗結果)是人為規定的，它要求每次試驗有一個并且只有一個基本事件出現．2．建立概率模型的作用：一方面，對于同一個實際問題，我們有時可以通過建立不同的“模型”