第2章平面匯交力系[內容提要]本章主要介紹了用解析法推出的平面匯交力系平衡條件，以及平衡條件的應用。2.1平面匯交力系的概念和實例2.1.1概念實際工程中，作用在構件或結構上的力系是多種多樣的。但是，按照力作用線的分布情況，主要分為兩類力系：凡各力的作用線都在同一平面內的力系稱為平面力系；凡各力的作用線不在同一平面內的力系，稱為空間力系。在平面力系中，

各力作用線交于一點的力系，稱為平面匯交力系；各力作用線互相平行的力系，稱為平面平行力系；各力作用線任意分布的力系，稱為平面一般力系。、、2.1.2實際工程中的平面匯交力系問題平面匯交力系是力系中最簡單的一種，在工程中有很多實例。例如，起重機起吊重物時(圖2-1a))，作用于吊鉤C的三根繩索的拉力都在同一平面內，且匯交于—點，就組成了平面匯交力系(圖2-1b))。又如三角支架當不計桿的自重時(圖2-2a))，作用于鉸B上的三個力FN1、FN2、也組成平面匯交力系(圖2-2b))。

圖2-1圖2-2又如圖2-3所示的屋架，它通常被看作為由一些在其兩端用光滑圓柱鉸互相連接的直桿組成，而且由于各桿的自重比屋架所承受的各個荷載小很多而可忽略不計，因此每根直桿都在作用于其兩端的兩個力的作用下處于平衡。

圖2-3當以各個鉸結點(或稱節點)為研究對象時，與結點相連接的各桿作用于該節點上的力也組成一個平面匯交力系。例如，圖2-3b)就是結點C的受力圖，它構成了一個平面匯交力系。

圖2-3研究平面匯交力系，一方面可以解決一些簡單的工程實際問題，另一方面也為研究更復雜的力系打下基礎。2.2平面匯交力系的合成平面匯交力系的合成問題可以采用幾何法和解析法進行研究。其中，平面匯交力系的幾何法具行直觀、簡捷的優點，但其精確度較差，在力學中用得較多的還是解析法。這種方法是以力在坐標軸上的投影的計算為基礎。2.2.1用解析法求平面匯交力系的合力我們在第一章已討論了力在坐標軸上的投影規則和方法。現在我們來討論匯交力系各力投影與匯交力系合力投影之間的關系。設有一平面匯交力系F1、F2、F3作用在物體的點，如圖。根據平行四邊形法則可求得該力系的合力。因此可得

這一關系可推廣到任意匯交力的情形，即由此可見，合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數和。這就是合力投影定理。（2-2）從圖2-5中的幾何關系可知，合力R的大小和方向可由下式確定：

（2-3）

圖2-5

式中為合力R與x軸所夾的銳角，角在哪個象限由

和的正負號來確定。圖2-7

解得即解：取直角坐標系如圖所示。因已知合力R沿y軸向下，故RX=0，RY=

-R。由式(2-2)知，得例2-1如圖2-7所示，已知F1=20kN，F2=40kN，如果三個力F1、F2、F3的合力R沿鉛垂向下，試求力F3和R的大小。圖2-7

又由【例】固定于墻內的環形螺釘上，作用有3個力

，各力的方向如圖所示，各力的大小分別為，

，

。試求螺釘作用在墻上的力。解：要求螺釘作用在墻上的力可先求作用在螺釘上所有力的合力。根據力的平衡可知，墻給螺釘的作用力應與

大小相等方向相反。再根據牛頓第三定律可知，螺釘作用在墻上的力，方向與

相同。

2.3平面匯交力系平衡條件從上面章節可知，平面匯交力系合成的結果是一個合力。顯然物體在平面匯交力系的作用下保持平衡，則該力系的合力應等于零；反之，如果該力系的合力等于零，則物體在該力系的作用下，必然處于平衡。所以，平面匯交力系平衡的必要和充分條件是平面匯交力系的合力等于零。而根據式（2-3)的第一式可知上式與恒為正數，要使R=0，必須且只須所以平面匯交力系平衡的必要和充分的解析條件是：力系中所有各力在兩個坐標軸中每一軸上的投影的代數和都等于零。式(2-4)稱為平面匯交力系的平衡方程。應用這兩個獨立的平衡方程可以求解兩個未知量。

（2-4）2.4平面匯交力系平衡方程的應用例2-2平面剛架在C點受水平力P作用，如圖2-8a)圖所示。已知P=30kN，剛架自重不計，求支座A、B的反力。圖2-8解取剛架為研究對象，它受到力P、RA和RB的作用。這三力平衡其作用線必匯交于一點，故可畫出剛架的受力圖如圖2-10b)所示，圖中RA、RB的指向是假設的。設直角坐標系如圖，列平衡方程

解得得負配號表既示RA的實傾際方誤向與志假設阿的方盛向相廚反。布再由由于黎列得的者數值游連同天負號廢一起捕代入信，即傅將代入疤，于欺是得得正的號表廊示RB假設著的方鞭向正追確。為了激形象誦地表鄭示支靠座反泉力的貢方向音，可亂在反書力答于數后穩面加講一括朝號標扔出反頂力的至實際流方向杠。時，RA仍按鞏原假毛設的貼方向命求其恨投影蠶，故公應將卻上面合求例2-岸3一結框構受送水平P作用本如圖2-噸11豪a)所示鬼。不南計各緣瑞桿自侄重，靜求三朝根桿AB、BC、CA所受劣的力脈。解譯桿AB、BC、CA兩端電鉸接津，中否間不傘受力淹，故蛾三根塞桿都饑是二素力桿佳。先取正鉸鏈C為研濱究對躍象，尸假定鮮桿CA、BC都受濟拉，巾畫出校鉸C的受喪力圖文如圖2-鄙11銅b)所示待。設直觸角坐厭標系望如圖倡，列朵平衡符方程(a配)由式(a淡)、(b短)解得FNC肯B的結主果為落負值梢，表知示其騙指向恩與假旅設的莊相反肢，桿BC應是蘭受壓盤；FNC有A得正那號，曠表示捏桿CA受拉步。再取取鉸鏈B為研宏究對羅象，才假定變桿BC、AB受拉貌，畫會出鉸B的受邊力圖鵲如圖2-蒜11破c)所示光。桿BC是二喜力桿青，故剩它對菌兩端客鉸鏈茶的作倦用力咬，應服當是怕大小廟相等雪，方亦向相拉反，規用FNB腹C表示僵，FNB響C=FNC酸B。(b身)設直圖角坐五標系緣瑞如圖軍，列渾平衡錫方程原假樓設桿BC受拉軋，得正號辭表示脹桿AB受拉穿。通過紋以上宮各例施的分進析，耽可知杏用解身析法宅求解心平面劍匯交窩力系惠平衡削問題環的步零驟一悟般如液下:1．選搶取研豆究對潛象。2．畫唐受力蜓圖晉約謠束反叢力指揀向未斗定者親應先近假設梨。3．選舟坐標定軸涂最地好使喂某一池坐標啄軸與壯一個命未知勾力垂請直，駁以便屠簡化舞計算衡。4．列銀平衡釣方程巴求解證未知師量射列非方程世時注買意各盛力的物投影柳的正摸負號繭。當醉求出美的未付知力搜為負木數時被，就躲表示屑該力羊的實抓際指恢向與外假設伍的指寇向相憲反。(c量)將其簡代入條式(c趁)，于劉是得解：嗎⑴選融球為揮研究喪對象炕。⑵貌畫出腫受力餃圖。為億主童動力爬，為約朗束力傲。三字力匯照交于點。山⑶以壇球心為坐弄標原亡點，憑建立使圖示沖坐標冊系。傍⑷根醋據平潑衡條乓件建競立平陳衡方令程。【例】重的球零放在掃與水惱平成的光院滑斜賽面上放，并將用與遍斜面摘平行劣的繩系住暖。試麗求繩受到種的拉武力及搖球對妄斜面腳的壓抵力。根據美作用冷與反誕作用筑定律賭，繩回子所蓮受拉肉力為；球茄對斜跳面的她壓力黎為，其話方向特與圖消中相襯反。也可盼以沿刪斜面徑向上軍、垂竭直斜醬面向蕉上為軸，事則聯立茶解之源，得由此譽可見驕，選推擇恰閥當的倒坐標衣系，光可使坊問題照求解墨變得長更簡被單。【例】圖所像示為腥起重膜機起汗吊一扮無縫姿鋼管城而處混于平蛛衡時巖的情外況。搞已知剛鋼管日重，銷，不至計吊余繩和無吊鉤壞的重欺量。舉試求銜鉛垂腦吊索蔥和鋼純絲繩、中的炮拉力宅。解：怨由對藏稱性肚可知蛋，節點證：【例】簡易暴絞車體如圖比所示釘，處為著鉸鏈錦連接纏，鋼男絲繩午繞過粗滑輪將的重歌物緩邀緩吊凡起。閥桿件戀和滑概輪重朵量以饞及一遭切摩亭擦均記不計腸。滑非輪半徑趟很小瘡，可慚視為懲一個障點。滅試求和所受苦的力癥。解：⑶以為坐登標原換點，謎建立碰圖示蛇坐標棉系。【例】平面胳剛架彎如圖該所示渡，和為已欠知，巨不考共慮自論重，蜓求支俊承和處的寇約束率反力裹。解：搭⑴選姥剛架分為研捆究對蒸象。籮⑵畫柴出受半力圖炊。因處為治活動沖鉸，雅故的方靜向豎臨直向揭上。處為剛固定芽鉸，魄其約陶束反燈力方向盞未知別，但共因剛唱架受朽三力遠作用鞏平衡齡，根雹據三怪力平豬衡匯舟交定賀理，脖可知囑三力賀必匯慢交于點。誤故沿方向悲，注意坡：寫切平衡壘方程黎時，的指察向是喬以圖斤示指緒向為角準，渠故將代入見②式夸時仍條保留己負號柱。⑷根謝據平嗓衡條唱件建假立平副衡方良程。（負毯號表估示的方駕向與達圖中婆所設擾的方遭向相劣反）①②小微結平面召匯交奧力系饞是最葛簡單徹的力店系，蝕也是托基本姨力系姐之一灘，它裹解決壇問題易的方向法在籠其他團力系標中仍汗要采汁用，色一定照要掌碰握好捎。1．平累面匯如交力逆系的刺合成期合成朋方法蠅有兩還種，小一是桿幾何善法，鍵二是格解析罰法。純幾何委法直鼠觀、早明了升，但岡不太制實用需。實舅際工逐程中督多采推用解勾析法晴，因占此應謎重點騙掌握搭。2．合牧力投換影定陳理濫合迷力在麗某軸篇上的仗投影患等于菌力系昨中各己力在彎同一揮軸上熊投影今的代餅數和奇。3．平走面匯劫交力焦系的晴平衡霞條件(1晨)平衡溉的幾辟何條吐件是譜力多良邊形津自行塔封閉肉。(2母)平衡劣的解妻析條架件是內力系案中各警力在籠兩坐因標軸夏上投播影的祖代數混和分萬別等犧于零敘。平膚衡方轎程為爬：這兩島個方姿程式依相互忘獨立念，可股根據隔計算噸需要份任意伙選擇拖。選貞擇依覺據是含一個熔方程眉解出吊一個朝未知庸數，拔盡量伸避免隨聯立疤方程金求解偷。4．解容題步鑄驟(1占)首先怒進行稻受力征分析送，根擁據解喝決問莖題的辟需要關確定駐研究聽對象躬，畫荒出受偏力圖驅；(2牲)畫出頁坐標木系，趨列出忘平衡酸方程幼式，礙在列粘平衡湊方程綢式時梢要注裙意力寧投影蘆的正愁負號善。思考敲題1.分力襲與投陡影有蹄什么稻不同?2.如果撥平面郵匯交丘力系綠的各傾力在援任意對兩個日互不帶平行寬的坐控標軸捎上投納影的恢代數肉和等設于零監，該掩力系城是否秤平衡?習擁題2-色1如題2-留1圖，播某桁串架接律頭，科由四腦根角機鋼焊切接在澤連接框扳上極而成痕。已虧知作馳用在各桿件A和C上的黃力為FA＝2k鐘N，FC＝4k旨N，并伸知作歸用在坑桿B和D上的FB、FD力作誰用的悠方向光，該呈力系銜匯交仙于O點。刃求在戰平衡垃狀態升下力FB、FD的值監。(答：FB＝2.萬83錢kN噸,FD＝3.勞46場kN墾)。題2-淚1圖桶題2-卵2圖2-予2如題2-齡2圖所炕示，敏一個秧固定王在墻交壁上幕的圓狼環受啞三條仍繩的嫂拉力炭作用乓。F1沿水蜓平方雨向，F2與水紐奉平線植成400角，F3沿鉛葡垂方跨向。利三力租大小停分別灰為：F1＝20私0k禽N，F2＝25走0k稱N，F3＝15歷0k穴N。求傷這三信力的竟合力眨。(答：F＝50劫0k夸N，∠(F，F1)＝38027始′，∠(F，F3)＝51033恰′)題2-卷4圖題圖2-企32-辛3如題2-索3圖，鹽一均結質球涼重W＝10日0k混N，放通在兩箭個相成交的債光滑木面之志間。疲斜面AB的傾不角為＝450，斜萌面BC的傾抄角為2-梨4如題2-姑4圖，貍用兩板根繩襯子AC和BC懸掛園一個軋重W＝1k勝N的物臨體。殲繩AC長0.披8m，繩BC長1.想6m，A、B兩點沸在同里一水滴平線詢上，灘相距2m。求示這兩耗根繩畏子所烏受的誕拉力答。(答：FA＝0.趕97屑4k塑N，FB＝0.瓶68蹤蝶4k灘N)2-根5梁AB的支恨座如笨題2-撫5圖所晃示。日在梁場的中個點作殿用一董力F＝2k貫N，力輪和梁低的軸扯線成450角。遼若梁浙的重葡量略兆去不勒計，麻試分紐奉別求a)和b)兩種辰情形氧下的經支座臟反力腔。(答：a)FA＝1.息58布k鬼N，FB＝0.攔71態kNb)FA＝2.音16后kN，FB＝0.繡82其kN鉆)題2-鄰5圖＝-6塌00，求蜻兩斜灑面的爬反力FD和FE的大膏小。2-遠6如題2-龍6圖，君壓路固機滾鄉豐子重W＝20圍kN，半策徑R＝40范cm，今孕用水只平力F拉滾膛