高數二重積分的計算第1頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四一、利用直角坐標計算二重積分且在D上連續時,由曲頂柱體體積的計算可知,若D為X–型區域則若D為Y–型區域則第2頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四

X型區域的特點：

穿過區域且平行于y軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點.

Y型區域的特點：穿過區域且平行于x軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點.若區域如圖，在分割后的三個區域上分別使用積分公式則必須分割.第3頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例1.計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區域.解法1.將D看作X–型區域,則解法2.將D看作Y–型區域,

則作草圖、選擇類型、確定上下限------后積先定限、限內化條線第4頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區域.解1:及直線1第5頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區域.解2:為計算簡便,后對y積分,及直線則第6頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例3.計算其中D是直線所圍成的閉區域.解:由被積函數可知,先對x積分不行,第7頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四說明:選擇積分序的原則：先積分的容易，并能為后積分創造條件；積分域的劃分，塊數越少越好第8頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例4.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區域,則第9頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例5.計算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,第10頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四二、利用極坐標計算二重積分則除包含邊界點的小區域外,小區域的面積及射線

=常數,分劃區域D為在極坐標系下,用同心圓

=常數第11頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四對應有在內取點即第12頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四則1、極點在邊界外注意：積分域的邊界曲線用極坐標表示如何確定上下限？第13頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四2、極點在邊界上(1)(2)第14頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四3、極點在邊界內第15頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四何時選用極坐標？積分域D形狀：圓域、環域、扇域、環扇域被積函數形式：第16頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例6.計算其中解:在極坐標系下原式的原函數不是初等函數,故本題無法用直角由于故坐標計算.第17頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四注:利用例6可得到一個反常積分公式Rs1s2第18頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例7.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內的)立體的體積.解:

由對稱性可知o第19頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例8:其中D為由圓所圍成的及直線解：平面閉區域.第20頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例9.交換積分順序提示:積分域如圖第21頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第三節一、三重積分的概念

二、三重積分的計算三重積分第九章第22頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四一、三重積分的概念

類似二重積分解決問題的思想,采用引例:設在空間有限閉區域內分布著某種不均勻的物質,求分布在內的物質的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質量

M.密度函數為第23頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四定義.

設存在,稱為體積元素,

若對作任意分割:任意取點則稱此極限為函數在上的三重積分.在直角坐標系下常寫作三重積分的性質與二重積分相似.性質:下列“乘積和式”極限記作第24頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四二、三重積分的計算1.利用直角坐標計算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)第25頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四如圖，方法1.投影法第26頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四得第27頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四其中為三個坐標例1.

計算三重積分所圍成的閉區域.解:面及平面第28頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例2.

計算三重積分解:

第29頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四解第30頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第31頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四方法2.截面法記作第32頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例2.

計算三重積分解:

用“先二后一”注：被積函數為一元函數時，多選用截面法第33頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例3.計算積分其中是兩個球(R>0)的公共部分.提示:由于被積函數缺x,y,原式=利用“截面法”計算方便.第34頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四小結:直角坐標系三重積分的計算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”“三次積分”具體計算時應根據二種方法(包含6種次序)各有特點,被積函數及積分域的特點靈活選擇.第35頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例4：設計算提示:利用對稱性原式=奇函數靈活應用對稱性：第36頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例5：計算解：積分域關于y=x、y=z、x=z平面對稱第37頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四1.

將用三次積分表示,其中由所提示:六個平面圍成,第38頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四2.利用柱坐標計算三重積分

就稱為點M的柱坐標.直角坐標與柱面坐標的關系:坐標面分別為圓柱面半平面平面第39頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四如圖所示,在柱面坐標系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單;2)被積函數用柱面坐標表示時變量互相分離.第40頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四其中為由例1.計算三重積分所圍解:在柱面坐標系下及平面柱面成半圓柱體.第41頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例2.

計算三重積分解:在柱面坐標系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=第42頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四解知交線為第43頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第44頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四解所圍成的立體如圖，第45頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四所圍成立體的投影區域如圖，第46頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第47頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四3.利用球坐標計算三重積分

就稱為點M的球坐標.直角坐標與球面坐標的關系坐標面分別為球面半平面錐面第48頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四如圖所示,在球面坐標系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標表示時方程簡單;2)被積函數用球面坐標表示時變量互相分離.第49頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例5.計算三重積分解:在球面坐標系下所圍立體.其中與球面第50頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四例6.求曲面所圍立體體積.解:由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yoz面對稱,并與xoy面相切,故在球坐標系下所圍立體為且關于xoz

第51頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第52頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四第53頁，共58頁，2023年，2月20日，星期四