專題16一次函數與幾何綜合壓軸題型專訓【題型目錄】題型一根據兩直線的交點求不等式的解集題型二兩直線的交點與二元一次方程組的解題型三一次函數中最短路徑問題題型四動點問題的函數圖象題型五一次函數的規律探究問題題型六一次函數與全等三角形綜合題型七一次函數與平行四邊形綜合題型八一次函數綜合壓軸題【經典例題一根據兩直線的交點求不等式的解集】【知識歸納】由于任何一個一元一次不等式都可以轉化為＞0或＜0或≥0或≤0（、為常數，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）時求相應的自變量的取值范圍.要點詮釋：求關于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，從“數”的角度看，就是為何值時，函數的值大于0？從“形”的角度看，確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點的橫坐標的范圍.（≠，且）的解集的函數值大于的函數值時的自變量取值范圍直線在直線的上方對應的點的橫坐標范圍．【例1】（2023秋·江蘇鎮江·八年級統考期末）一次函數（）與的圖像如圖所示，當時，，則滿足條件的k的取值范圍是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．或【變式訓練】【變式1】（2022·安徽·天長市實驗中學八年級階段練習）如圖，函數與的圖象相交于點，則關于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【變式2】（2021·全國·八年級專題練習）在平面直角坐標系中，垂直x軸的直線l分別與函數的圖像交于P、Q兩點，若平移直線l，可以使P、Q都在x軸的下方，則實數a的取值范圍是_________．【變式3】（2022·安徽阜陽·八年級期中）如圖，已知直線分別與x，y軸交于點A、B，與直線相交于點C，點P為直線上一點．(1)求n和k的值；(2)若點P在射線上，且，求點P的坐標；(3)觀察函數圖象，請直接寫出不等式的解集．【經典例題二兩直線的交點與二元一次方程組的解】【知識歸納】一次函數與二元一次方程組每個二元一次方程組都對應兩個一次函數，于是也對應兩條直線.從“數”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數的值相等，以及這時的函數為何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.

要點詮釋：

1.兩個一次函數圖象的交點與二元一次方程組的解的聯系是：在同一直角坐標系中，兩個一次函數圖象的交點坐標就是相應的二元一次方程組的解.反過來，以二元一次方程組的解為坐標的點一定是相應的兩個一次函數的圖象的交點.如一次函數與圖象的交點為(3，－2)，則就是二元一次方程組的解.

2.當二元一次方程組無解時，相應的兩個一次函數在直角坐標系中的直線就沒有交點，則兩個一次函數的直線就平行.反過來，當兩個一次函數直線平行時，相應的二元一次方程組就無解.如二元一次方程組無解，則一次函數與的圖象就平行，反之也成立.

3.當二元一次方程組有無數解時，則相應的兩個一次函數在直角坐標系中的直線重合，反之也成立.方程組解的幾何意義1．方程組的解的幾何意義：方程組的解對應兩個函數的圖象的交點坐標．2．根據坐標系中兩個函數圖象的位置關系，可以看出對應的方程組的解情況：根據交點的個數，看出方程組的解的個數；根據交點的坐標，求出（或近似估計出）方程組的解．3．對于一個復雜方程組，特別是變化不定的方程組，用圖象法可以很容易觀察出它的解的個數．【例2】（2022·廣東·九年級專題練習）已知函數（為常數，）的圖象經過點，且實數，，滿足等式：，則一次函數與軸的交點坐標為（

）A． B． C． D．【變式訓練】【變式1】（2021·全國·八年級期中）在平面直角坐標系中，將函數的圖象向上平移個單位長度，使其與的交點在位于第二象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2】（2021·全國·八年級專題練習）對于實數a，b，我們定義符號max{a，b}的意義為：當a≥b時，max{a，b}＝a；當a＜b時，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若關于x的函數為y＝max{x+3，﹣x+1}，則該函數的最小值是_____．【變式3】（2022·黑龍江鶴崗·八年級期末）在平面直角坐標系中，直線與軸交于點．(1)如圖，直線與直線交于點，與軸交于點，點的橫坐標為．①求點的坐標及的值；②直線、直線與軸所圍成的的面積等于多少？(2)在（1）的條件下直線與軸交于點，在軸上是否存在點，使是以為腰的等腰三角形？如存在，請直接寫出點的坐標．【經典例題三一次函數中最短路徑問題】【解題技巧】我們將“連點之間，線段最短”，“連接直線外一點與直線上個點的所有線段中，垂線段最短”這樣的問題稱為最短路徑問題。一次函數背景下的最短路徑問題通常表現為：動點在直線上（一次函數或者x軸，y軸上），動點與兩定點的距離之和最小，求點的坐標或者線段之和的最小值。【例3】（2022秋·八年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，點是直線與直線的交點，點B是直線與y軸的交點，點P是x軸上的一個動點，連接PA，PB，則的最小值是（

）A．6 B． C．9 D．【變式訓練】【變式1】（2022·山東·濟南市章丘區第四中學八年級階段練習）如圖，已知直線：分別交軸、軸于點兩點，，分別為線段和線段上一動點，交軸于點，且．當的值最小時，則點的坐標為（）A． B． C． D．【變式2】（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學八年級期中）如圖，已知，點P在線段上（點P不與點A重合），點Q在線段上，，當最小時，點Q的坐標________．【變式3】（2022·陜西·西安市鐵一中學八年級階段練習）（1）如圖①，在中，，，點D為線段上的動點，則最小值為．（2）如圖②，在平面直角坐標系中，直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，D為線段上的一點且平分的面積，請求出D點坐標．（3）如圖③，在平面直角坐標系中，是某地市政施工的一塊區域示意圖，其中，米，點D坐標為．按設計要求在線段上任取一點C，以為底，在右側作等腰直角三角形區域，取中點F，連接．現對區域進行圍擋施工，為節約材料，設計要求圍擋區域的周長最小，請你根據以上信息求出符合設計的的周長，并說明理由．【經典例題四動點問題的函數圖象】【解題技巧】根據一次函數中的點位置關系，找出對應圖形中的對應點，分析圖形中點的運動狀態，代入即可計算；【例4】（2022秋·廣東茂名·八年級茂名市第一中學校考期中）如圖①，在中，，點D為的中點，動點P從A點出發沿運動到點B，設點P的運動路程為x，的面積為y，y與x的圖像如圖②所示，則的長為（

）A． B．13 C． D．15【變式訓練】【變式1】（2022·浙江金華·八年級期末）如圖①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，點D是AB邊的中點，點P從點A出發，沿著AC﹣CB運動，到達點B停止．設點P的運動路徑長為x，連DP，記△APD的面積為y，若表示y與x有函數關系的圖象如圖②所示，則△ABC的周長為（）A．6+2 B．4+2 C．12+4 D．6+4【變式2】（2022·湖北孝感·八年級期末）如圖1，在矩形ABCD中，E為邊BC上一點，連接AE．動點P從點A出發，沿折線A→D→C→E方向勻速運動至點E停止．設點P的運動速度為1cm/s，運動時間為t（s），的面積為，S與t的函數圖像如圖2所示，則AE的長為______cm．【變式3】（2022·江蘇·昆山市周莊中學八年級階段練習）在中，，點P為邊上的動點，速度為．(1)如圖1，點D為邊上一點，，動點P從點D出發，在的邊上沿D→B→C的路徑勻速運動，當到達點C時停止運動．設的面積為（cm2），的面積為（），點P運動的時間為t（）．，與t之間的函數關系如圖2所示，根據題意解答下列問題：①在圖1中，，；②在圖2中，求和的交點H的坐標；(2)在（1）的條件下，如圖3，若點P，點Q同時從點A出發，在的邊上沿A→B→C的路徑勻速運動，點Q運動的速度為，當點P到達點C時，點P與點Q同時停止運動．求t為何值時，最大？最大值為多少？【經典例題五一次函數的規律探究問題】【例5】（2023秋·山東濟南·八年級統考期末）如圖，直線：與直線：相交于動點，直線與y軸交于點A，一動點C從點A出發，先沿平行于x軸的方向運動，到達直線上的點處后，改為垂直于x軸方向運動，到達直線上的點A1處后，再沿平行于x軸的方向運動，到達直線上的點處后，又改為垂直于x軸的方向運動，到達直線的點處后，仍沿平行于x軸的方向運動，．．．，照此規律運動，動點C依次進過點，，，，，，…，，則當動點C到達處時，運動的總路徑的長為（

）A．22022-1 B．22022-2 C．22023+1 D．22023-2【變式訓練】【變式1】（2022·山東德州·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，，，…和，，，…分別在直線和x軸上．，，，…都是等腰直角三角形．如果點，那么點的縱坐標是（

）A． B． C． D．【變式2】（2021·山東·濟南市歷城區教育教學研究中心八年級期中）如圖，已知直線a：，直線b：和點，過點P作y軸的平行線交直線a于點，過點作x軸的平行線交直線b于點，過點作y軸的平行線交直線a于點，過點作x軸的平行線交直線b于點，…，按此作法進行下去，則點的橫坐標為_______【變式3】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，正方形ABCD、正方形A1B1C1D1、正方形A2B2C2D2均位于第一象限內，它們的邊平行于x軸或y軸，其中點A、A1、A2在直線OM上，點C、C1、C2在直線ON上，O為坐標原點，已知點A的坐標為，正方形ABCD的邊長為1.（1）求直線ON的表達式；（2）若點C1的橫坐標為4，求正方形A1B1C1D1的邊長；（3）若正方形A2B2C2D2的邊長為a，則點B2的坐標為（

）.（A）（B）（C）（D）【經典例題六一次函數與全等三角形綜合】【例6】（2022秋·江蘇常州·八年級統考期末）如圖，直線與x軸、y軸交于A、B兩點，在y軸上有一點C(0，4)，動點M從A點發以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動．當動到△COM與△AOB全等時，移的時間t是（

）A．2 B．4 C．2或4 D．2或6【變式訓練】【變式1】（2021秋·八年級單元測試）如圖，直線y＝-2x+2與x軸和y軸分別交與A、B兩點，射線AP⊥AB于點A．若點C是射線AP上的一個動點，點D是x軸上的一個動點，且以C、D、A為頂點的三角形與△AOB全等，則OD的長為（）A．2或+1 B．3或 C．2或 D．3或+1【變式2】（2022秋·浙江·八年級期末）如圖，直線y＝－x＋8與x軸，y軸分別交于點A，B，直線y＝x＋1與直線AB交于點C，與y軸交于點D．則△BDC的面積=____．若P是y軸正半軸上的一點，Q是直線AB上的一點，連接PQ．△BDC與△BPQ全等(點Q不與點C重合)，寫出所有滿足要求的點Q坐標______．【變式3】（2021秋·山東濟南·八年級統考期中）如圖①，已知直線與x軸、y軸分別交于點A、C，以為邊在第一象限內作長方形．(1)點A的坐標為__________，點B的坐標為__________；(2)如圖②，將對折，使得點A與點C重合，折痕交于點，交于點D，求點D的坐標；(3)在第一象限內，是否存在點P（點B除外），使得與全等？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【經典例題七一次函數與平行四邊形綜合】【例7】（2022春·福建廈門·八年級校考期末）在平面直角坐標系中，已知直線與軸和軸分別交于，兩點，直線與軸交于點，過點作軸，與直線交于點．當以，，，四個頂點圍成的四邊形為平行四邊形時，點的坐標可以是（）A． B． C． D．【變式訓練】【變式1】（2022春·江蘇無錫·八年級校聯考期中）已知四個點、、、能組成平行四邊形，則的最小值為（

）A．5 B．10 C． D．【變式2】（2023春·八年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形OABC的頂點B的坐標為，直線l：恰好將平行四邊形OABC的面積平分，則b的值為______．【變式3】（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，直線與軸、軸分別相交于點、，與直線相交于點．(1)求點坐標；(2)在平面直角坐標系中，是否存在一點M，使得以O，A，M，C為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，試寫出所有符合條件的點M的坐標；如果不存在，請說明理由；【經典例題八一次函數綜合壓軸題】【例8】（2023秋·江蘇鎮江·八年級統考期末）定義：平面直角坐標系中，若點A到x軸、y軸的距離和為2，則稱點A為“成雙點”．例如：如圖，點到x軸、y軸的距離分別為，距離和為2，則點B是“成雙點”，點也是“成雙點”．一次函數的圖象經過點，且圖象上存在“成雙點”，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式訓練】【變式1】（2022秋·河南鄭州·九年級校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形的一邊在軸上，，在第二象限，在左側，，，，直線的解析式為，現將平行四邊形沿軸向右平移，當直線恰好平分平行四邊形的面積時，此時的平移距離為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·江蘇·八年級統考期末）如圖．直線：與軸，軸分別交于點，，直線經過點，與軸負半軸交于點，且，則直線的函數表達式為______．【變式3】（2022秋·廣西百色·八年級統考期中）如圖，已知直線的函數關系式為，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將直線平移得直線，直線分別交x軸、y軸于點C、D，且經過點．(1)求直線的函數表達式；(2)求點C和點D的坐標；(3)在直線上是否存在點E，使得？若存在，請求出符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由．【培優檢測】1．（2023春·八年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象分別交x、y軸于點A、B，將直線繞點B按順時針方向旋轉，交x軸于點C，則的面積是（

）A．22 B．20 C．18 D．162．（2021秋·浙江湖州·八年級統考期末）如圖（1），在中，，動點從的頂點出發，以的速度沿勻速運動回到點，圖（2）是點運動過程中，線段的長度隨時間變化的圖象，其中點為曲線部分的最低點，若的面積是，則的值為（

）．A．18 B．16 C．20 D．153．（2023秋·江蘇蘇州·八年級蘇州中學校考期末）如圖，直線交軸，軸于點，點在第一象限內，且縱坐標為4．若點關于直線的對稱點恰好落在軸的正半軸上，則點的橫坐標為（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江蘇鎮江·八年級校聯考期末）如圖，△ABC中，，把△ABC放在平面直角坐標系xOy中，且點A，B的坐標分別為（2，0），（12，0），將△ABC沿x軸向左平移，當點C落在直線上時，線段AC掃過的面積為（

）A．66 B．108 C．132 D．1625．（2022·河南許昌·統考二模）如圖1，點是的中線上的一動點，點是的中點，連接，設，，圖2是點運動時隨變化的關系圖象，其中點是函數圖象的最低點，則的值為（

）A．33 B．34 C．35 D．366．（2022秋·八年級課時練習）如圖，點A、B的坐標分別為、，點P為x軸上的動點，若點B關于直線AP的對稱點恰好落在x軸上，則點P的坐標是（

）A． B． C． D．7．（2021·河南·模擬預測）如圖，正方形OABC中，點A（4，0），點D為AB上一點，且BD＝1，連接OD，過點C作CE⊥OD交OA于點E，過點D作MN∥CE，交x軸于點M，交BC于點N，則點M的坐標為（

）A．（5，0） B．（6，0） C．（，0） D．（，0）8．（2022秋·重慶·八年級西南大學附中校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于B、A兩點，以線段AB為邊在AB右側作等邊三角形ABC，邊AC與x軸交于點E，邊BC與y軸交于點F，點D是y軸上的一個動點，連接AD，BD，CD．下面的結論中，正確的個數有（

）個①；②；③當時，；④點C的坐標為；⑤當時，；A．2 B．3 C．4 D．59．（2023秋·四川成都·八年級校考期末）如圖，平面直角坐標系中，已知直線上一點，連接，以為邊做等腰直角三角形，，過點作線段軸，直線與直線交于點，且，直線與直線交于點，則點的坐標是_____．10．（2022秋·遼寧沈陽·八年級沈陽市第七中學校考期末）如圖，一次函數與軸交于點，點在直線上且橫坐標為．點為軸上一點，，若點是軸上的動點，在直線上找在一點（點與點不重合），使與全等，點的坐標為______．11．（2022春·廣東江門·八年級江門市第二中學校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線：與x軸交于點，以為邊長作等邊三角形，過點作平行于軸，交直線于點，以為邊長作等邊三角形，過點作平行于軸，交直線于點，以為邊長作等邊三角形，……，則點的橫坐標是__________．12．（2022秋·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學校考期中）如圖，已知，點P在線段上（點P不與點A重合），點Q在線段上，，當最小時，點Q的坐標________．13．（2022秋·北京·九年級北大附中校考開學考試）如圖，直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點．從點P（1，0）射出的光線經直線AB反射后又經直線OB反射回到P點，則光線第一次的反射點Q的坐標是________．14．（2022春·浙江金華·八年級校聯考期