學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精【新教材】2020-2021學年高中數學人教B版必修第二冊學案：4.5增長速度的比較含解析4.5增長速度的比較素養目標·定方向課程標準學法解讀1.能利用函數的平均變化率,說明函數的增長速度．2．比較對數函數、一元一次函數、指數函數增長速度的差異,理解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”等術語的現實含義。通過本節課的學習，使學生體會常見函數的增長速度，提升學生數學抽象、邏輯推理等素養．必備知識·探新知知識點函數的平均變化率（1）定義：函數y＝f(x）在區間［x1,x2］上的平均變化率為eq\f（Δf，Δx)＝__eq\f(fx2－fx1，x2－x1）__．（2)實質:___函數值__的改變量與自變量的改變量之比．(3)理解：自變量每增加1個單位,函數值將增加__eq\f(Δy,Δx）__個單位．（4)應用：比較函數值變化的快慢．思考：對于函數f（x)＝x＋1，g(x)＝4x－3，當Δx足夠大時，對于x∈R，f(x0＋Δx）,g（x0＋Δx）的大小關系能確定嗎？提示:當Δx足夠大時,f(x0＋Δx)＜g（x0＋Δx)．知識點三種常見函數模型的增長差異函數性質y＝ax（a＞1）y＝logax（a＞1）y＝kx(k＞0）在（0，＋∞)上的增減性__增函數__增函數__增函數__圖像的變化隨x的增大逐漸變“陡"隨x的增大逐漸趨于穩定隨x的增大勻速上升增長速度y＝ax的增長快于y＝kx的增長，y＝kx的增長快于y＝logax的增長增長后果會存在一個x0，當x＞x0時，有ax＞kx＞logax思考：指數增長和線性增長中增長速度哪一個大？提示：指數增長．關鍵能力·攻重難題型探究題型比較函數值增加的快慢┃┃典例剖析__■典例1已知函數y＝4x，分別計算函數在區間［1，2]與［3，4］上的平均變化率，并說明，當自變量每增加1個單位時，函數值的變化規律．[分析］按照平均變化率的公式進行計算，再說明變化規律．[解析］因為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4x2－4x1,x2－x1)＝eq\f(4x14x2－x1－1,x2－x1)，所以y＝4x在區間[1,2］上的平均變化率為eq\f（4142－1－1，2－1）＝12，在區間[3,4]上的平均變化率為eq\f（4344－3－1,4－3)＝192，所以當自變量每增加1個單位時,區間的左端點越大，函數值增加越快．規律方法：平均變化率在研究函數值增加快慢中的應用(1）計算函數在不同區間上的平均變化率,利用平均變化率的大小比較函數值增加的快慢．（2)平均變化率的大小也代表了區間的端點處的曲線上兩點連線斜率的大小，通過直線可以直觀觀察函數值的變化對曲線變化趨勢的影響．┃┃對點訓練__■1．已知函數y＝x2－2x－3．(1）分別計算函數在區間[1,2]與[3,4]上的平均變化率，分析當自變量每增加1個單位時，函數值變化的規律；（2）設f（x)＝x2－2x－3.記A（1，f(1）），B（2,f（2）)，C（3，f(3)），D（4,f（4))，比較直線AB的斜率與直線CD的斜率的大小關系．［解析］（1)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f（x\o\al（2,2)－2x2－3－x\o\al(2，1)－2x1－3,x2－x1）＝x2＋x1－2,所以在區間[1,2]上的平均變化率為1，在區間[3，4］上的平均變化率為5，所以自變量每增加1個單位，區間長不變的條件下,端點之和越大，函數值增加越快．（2）直線AB的斜率為1，直線CD的斜率為5，直線AB的斜率小于直線CD的斜率．題型比較函數的平均變化率大小┃┃典例剖析__■典例2已知函數f(x）＝3x，g(x）＝2x，h(x)＝log3x，比較這三個函數在區間［a，a＋1］(a＞1）上的平均變化率的大?。甗分析]計算出平均變化率，再利用指數函數、對數函數的性質比較大?。劢馕觯菀驗閑q\f（Δf，Δx）＝eq\f(3a＋1－3a,a＋1－a)＝2×3a,eq\f(Δg,Δx）＝eq\f（2a＋1－2a，a＋1－a)＝2，eq\f(Δh,Δx）＝eq\f(log3a＋1－log3a，a＋1－a)＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1,a）))，又因為a＞1，所以2×3a＞2×31＝6,log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1,a）））＜log3eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f（1,1）)）＝log32＜log33＝1＜6，因此在區間[a,a＋1]上，f(x）的平均變化率最大，h(x)的平均變化率最小．規律方法：不同函數平均變化率大小的比較計算不同的函數在同一個區間上的平均變化率；利用指數、對數函數的性質比較大小，一般選取一個中間值進行比較,以確定平均變化率的大小．┃┃對點訓練__■2．已知函數f(x）＝4x,g（x）＝5x，分別計算這兩個函數在區間［2,3］上的平均變化率，并比較它們的大?。甗解析］eq\f(Δf,Δx）＝eq\f（43－42,3－2）＝48，eq\f（Δg,Δx)＝eq\f(53－52，3－2)＝100，所以在區間[2,3］上f（x）的平均變化率比g（x)的?。}型函數增長速度的應用┃┃典例剖析__■角度1增長曲線的選擇典例3高為H,滿缸水量為V0的魚缸的軸截面如圖所示，其底部碰了一個小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時水的體積為V，則函數V＝f（h）的大致圖像是（B)[解析］當h＝H時，體積是V，排除A，C，h由0變到H的變化過程中，V的變化開始時增長速度越來越快，類似于指數型函數的圖像,后來增長速度越來越慢,類似于對數型函數模型，綜合分析知選B．角度2函數變化率大小的應用典例4函數f(x）＝2x和g(x)＝x3的圖像如圖所示．設兩函數的圖像交于點A(x1，y1)，B(x2,y2）,且x1＜x2．（1)請指出示意圖中曲線C1，C2分別對應哪一個函數;(2）結合函數圖像示意圖，判斷f（6),g（6），f(2020），g(2020)的大?。甗分析](1）根據兩類函數圖形的特征判斷．(2)由圖像的交點坐標分界，利用圖像高低判斷大小．［解析］（1）C1對應的函數為g（x)＝x3,C2對應的函數為f（x）＝2x．(2)因為f(1)＞g（1），f(2)＜g（2)，f（9)＜g(9），f(10)＞g(10),所以1＜x1＜2，9＜x2＜10,所以x1＜6＜x2，2020＞x2，從圖像上可以看出，當x1＜x＜x2時,f（x)＜g（x)，所以f(6）＜g（6)；當x＞x2時，f（x)＞g（x)，所以f（2020）＞g（2020)；又因為g（2020)＞g（6），所以f（2020）＞g（2020）＞g(6)＞f（6）．┃┃對點訓練__■3．函數f（x）＝lgx，g（x)＝0.3x－1的圖像如圖所示：（1)試根據函數增長差異找出曲線C1，C2對應的函數;（2）比較函數增長差異（以兩圖像交點為分界點，對f（x)，g（x）的大小進行比較)．［解析]（1)C1對應的函數為g(x)＝0。3x－1，C2對應的函數為f（x）＝lgx．(2）當x＜x1時，g（x)＞f(x)；當x1＜x＜x2時，f(x)＞g(x)；當x＞x2時，g（x）＞f（x）；當x＝x1或x＝x2時，f（x)＝g(x）．易錯警示┃┃典例剖析__■典例5下列四種說法中，正確的是（D)A．冪函數增長的速度比一次函數增長的速度快B．?x＞0，xn＞logaxC．?x＞0，ax＞logaxD．不一定存在x0，當x＞x0時，總有ax＞xn＞logax[辨析]四類增長函數模型是有前提的：一次函數模型中要求k＞0，指數、對數函數模型要求底數a＞1，冪函數模型要求指數n＞0。當一次函數模型中k＜0，指數、對數函數模型中底數0＜a＜1，冪函數模型中n＜0時，四類函數模型都是衰減的．［正解]對于A，冪函數與一次函數的增長速度分別受冪指數及一次項系數的影響，冪指數與一次項系數不確定，增長速