高一數(shù)學(xué)歐拉公式第1頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四歐拉歐拉公式著名的數(shù)學(xué)家，瑞士人，大部分時(shí)間在俄國和法國度過．他16歲獲得碩士學(xué)位，早年在數(shù)學(xué)天才貝努里賞識下開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，畢業(yè)后研究數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)史上最高產(chǎn)的作家．在世發(fā)表論文700多篇，去世后還留下100多篇待發(fā)表．其論著幾乎涉及所有數(shù)學(xué)分支．他首先使用f(x)表示函數(shù)，首先用∑表示連加，首先用i表示虛數(shù)單位．在立體幾何中多面體研究中，首先發(fā)現(xiàn)并證明歐拉公式．第2頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四多面體（6）(8)簡單多面體表面經(jīng)過連續(xù)變形能變成一個球面的多面體(5)第3頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四討論問題1：（1）數(shù)出下列四個多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E并填表（1）（2）（3）（4）圖形編號頂點(diǎn)數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E（1）（2）（3）（4）規(guī)律：V+F-E=2464861268129815（歐拉公式）第4頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四(8)(5)5851616327812問題1：（2）數(shù)出下列四個多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E并填表圖形編號頂點(diǎn)數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E（5）（7）（6）V+F-E=2（歐拉公式）簡單多面體討論第5頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四問題2：如何證明歐拉公式（證法一：內(nèi)角和法）ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1討論第6頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四思考1：多面體的面數(shù)是F，頂點(diǎn)數(shù)是V，棱數(shù)是E，則平面圖形中的多邊形個數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)分別為思考2：設(shè)多面體的F個面分別是n1,n2,···,nF邊形，各個面的內(nèi)角總和是多少？(n1-2)·1800+(n2-2)·1800+···+(nF-2)·1800=(n1+n2+···+nF-2F）·1800思考3：n1+n2+···+nF和多面體的棱數(shù)E有什么關(guān)系n1+n2+···+nF=2EF、V、E．問題2：如何證明歐拉公式（證法一：內(nèi)角和法）討論ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1第7頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四多邊形內(nèi)角和=（E－F）·3600思考4：設(shè)平面圖形中最大多邊形（即多邊形ABCDE）是m邊形，則它和它內(nèi)部的全體多邊形的內(nèi)角總和是多少？2（m-2)·1800+(V-m)·3600=(V-2)·3600∴（E-F）·3600=(V-2)·3600問題2：如何證明歐拉公式（證法一：內(nèi)角和法）討論ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1V+F-E=2歐拉公式第8頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四證法二：去邊法第9頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四問題3:歐拉公式的應(yīng)用例11996年的諾貝爾化學(xué)獎授予對發(fā)現(xiàn)C60有重大貢獻(xiàn)的三位科學(xué)家．C60是有60個C原子組成的分子，它結(jié)構(gòu)為簡單多面體形狀．這個多面體有60個頂點(diǎn)，從每個頂點(diǎn)都引出3條棱，各面的形狀分別為五邊星或六邊形兩種．計(jì)算C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有多少？解：設(shè)C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有x個和y個．由題意有頂點(diǎn)數(shù)V=60，面數(shù)F=x+y，答：C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有12個和20個．第10頁，共11頁，2023年，2月20日，星期四